同一未知數表示多個未知量的方法在數學解題上的應用

羅運友

摘 要：同一未知數表示多個未知量的方法在解決矩形、一次函數和二次函數等問題中有廣泛的應用，能夠降低學生解題的思維難度，化解由多個未知量帶來的解題障礙，充分提高學生解題能力。

關鍵詞： 同一個未知數；矩形；一次函數；二次函數

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2016）10-037-01

初級中學學生學習數學的過程中，常常會遇到一個問題當中有多個相關聯的未知量的問題，因為未知量較多，學生解決這類問題時感覺茫然、棘手、緊張、無從下手，增加了解題的思維難度和畏難情緒。我們得教會學生掌握和應用“同一未知數表示多個未知量的方法”進行解題，以幫助學生克服和解決這類問題。

先用例題解釋“同一未知數表示多個未知量的方法”的含義。例如：用一根長為24㎝的鐵絲圍城一個斜邊長是10㎝的直角三角形，則兩直角邊長分別是多少？設其中一直角邊長為X㎝，，則另一條直角邊長度為 （24—10—X） =（14—X）㎝。這樣，直角三角形的三邊，都用數量表示出來了。再用直角三角形的勾股定理建立方程，即為X+（14—X）=10，解這個方程，就可求得兩直角邊長，問題得到解決。這里應用到同一未知數X及其代數式14—X表示兩直角邊的長，用的是同一個未知數表示兩個或兩個以上未知量的方法，再加上方程思想，問題就得到圓滿的解答。

同一未知數表示多個未知量的方法在數學解題上有廣泛的應用。

一、在矩形中的應用

例1.在矩形ABCD中，E是BC中點， 將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD的內部，延長AF交CD于G點，若AB=3，AD=4，求線段GC的長。

這里應用X及其代數式表示了GC、AG和DG這三個未知量的長度，為學生進一步應用勾股定理，建立方程，求出GC的長度，有效掃除了未知量較多而導致思維障礙上的難度，為學生增強了解題的自信心。

二、在一次函數中的應用

例2.A城有肥料200噸，B城有肥料300噸，現要把這些肥料全部運往C、D兩鄉，從A城運往C、D兩鄉的運費單價分別為20元/噸和25元/噸，從B城運往C、D兩鄉的運費單價15元/噸和24元/噸。現在C鄉需要肥料240噸，D鄉需要肥料260噸，怎樣調運肥料，可使總運費最少？

解析：本題已知和未知的數量都較多，學生解題的難度較大，引導學生畫出如下關系圖形，用同一未知數x及其代數式把全部未知量都表示出來，就會清晰、明了，該如何求解。圖表如下。

題中的未知量有A城運往C、D兩鄉的肥料各多少噸，B城運往C、D兩鄉的又各是多少噸，然后才能計算總運費。若設A城運往C鄉的肥料有X噸，則可用X的代數式表示A城到D鄉， B城到C鄉， B城到D鄉的肥料分別為（200—X）噸、 （240—X）噸、（60+X）噸 ，又因為X表示從A城運往C鄉的肥料噸數，所以X的取值范圍是0 ≤ X ≤ 200，總的運費表示為20X+25（200—X）+15（240-X）+24[300—（240—X）].

設總的費用為y， 則有y=20X+25（200—X）+15（240-X）+24（60+X），（0 ≤X≤ 200）。化簡得y=4X+10040，（0≤X≤200），

這就變成了一次函數，由一次函數知識可以知道，當取X=0時，總的運費就最少為y=10040（元）。本題應用了一個未知數及其代數式把多個未知的數量表示出來，再利用一次函數上的知識，輕松順利完成了此題的解答。