運用變式題，巧設“潛在距離”

鄧夏媛

變式教學是一種傳統和典型的中國數學教學方式，意在通過變式展示知識的發生、發展、形成的過程，使學生抓住問題的本質，理解知識的來龍去脈，是對學生進行數學技能和思維訓練的重要方式. 在教學實踐中如何發揮變式題的功能，設置良好的問題情境讓學生在變式中經歷探究過程，如何把握一題多變的深度，一題多解的效度，有效發展學生深層次思維呢？本文結合教學實踐作一探討.

數學問題解決的一個基本思路是把沒有解決的問題化歸為已經解決的問題，復雜的問題化歸為簡單的問題.由于在未解決的問題（新知）和解決了的簡單問題（舊知）之間沒有清晰的聯系，因此有必要為完成這種化歸設置一系列臺階，即要設置合適的“潛在距離”.對同一問題來說，學生原有的認知水平及活動經驗與所探究問題的潛在距離的大小，深刻影響著探究活動的難易程度和教學目標的達成，當兩者的潛在距離較?。ǘ叹嗦摻Y）時，屬于近遷移，適宜于學生的理解和掌握；當兩者的潛在距離較大（長距聯結）時，屬于遠遷移，則有利于激發學生開展探究活動.下面是 “工程問題”的三種教法比較：

教法A：

教師出示準備題：1.一項工程，甲獨做10天完成，乙獨做15天完成，甲隊每天完成這項工程的幾分之幾，乙隊每天完成這項工程的幾分之幾？兩隊合做每天完成這項工程的幾分之幾？

2. 做一項工程，如果每天完成這項工程的，幾天可以完成？

在學生完成上述各題后，教師出示例題：

一項工程，甲獨做10天完成，乙獨做15天完成，兩隊合做幾天完成？

學生嘗試解答.

教法B：

出示：某山坡欲綠化的面積有30公頃，甲工程隊單獨做要10天完成，乙工程隊單獨做要15天完成，兩隊合做幾天完成？

學生嘗試解決：30 ÷ （30 ÷ 10 + 30 ÷ 15） = 6天.

師：如果將“綠化的面積有30公頃”改換為60、90、120、180公頃，又會如何呢？

學生分組計算發現：得數相等.

師：為什么面積在不斷變化，而兩隊合做的時間卻不變？

學生觀察，發現：總面積擴大幾倍，兩隊的工作效率也相應擴大了相同的倍數.

師：那如果隱藏（或不用）綠化總面積這個條件，你還能解嗎？

出示例題：一項工程，甲隊獨做10天完成，乙隊獨做15天完成，兩隊合做幾天完成？

學生探究.

教法C：

出示：一項工程，甲隊獨做20天完成，乙隊獨做也要20天完成.兩隊合做幾天完成？

學生：兩隊各完成一半，即每隊各用20天的一半時間10天就可完成.

教師出示例題：一項工程，甲獨做20天完成，乙獨做30天完成，兩隊合做幾天完成？

師設問：這時他們的合做時間還會是20天的一半嗎？或者是30天的一半呢？

學生：兩隊合做的時間在10天與15天之間.

師：嘗試猜一猜，并用你所喜歡的方法進行驗證.

學生探究.

在本例中，教法A是我們常見的一種教學方法，即通過對例題進行分解，設置準備題，縮短了學生原有認知與例題之間的潛在距離（準備題與例題屬于 “短距聯結”）. 因此學生在教師的“牽”、“引”下總能拾級而上，較容易地理解與接受，實現從舊知到新知的跨越. 但這種跨越卻是以壓縮學生自主探究空間為代價，“為什么要將總工作量視為單位1？”“為什么要這樣解答？”……學生存有疑惑.但對這些問題的探究卻隨著教師設置的“臺階”而一一“滑過”.

教法B則通過改編例題，在不改變原題結構的同時，增加一個具體量，引導學生借助整數的思考方法，獲得了求“兩隊合做時間”的基本方法. 但整數的思考方法能否進一步抽象到分數上來呢？這時，教師巧妙地運用變式題，創設一種問題情境：通過改變具體量的數據，組織學生進行解答，進而發現具體量的更改并不妨礙結論的成立，由此將學生置于變與不變的困惑之中，學生迫切需要一個更一般性的解法來涵蓋所有的類型. 這時學生原有經驗（具體化的整數思考方法）與問題（抽象化的分數思考方法）構成了認知沖突，激活了學生思維的深層次參與，進而實現對數學知識本質內在聯系的深刻理解，達到不僅知其然，而且知其所以然.

教法C則是通過改變影響結論的數據——即將兩天獨做的時間設置為相同（均為20天），學生基于生活經驗，不難發現，兩隊的合做的工作時間應為20天的一半，即10天完成.在此基礎上，教師出示原題，并設問：兩隊合做完成的時間會是多少呢？把學生思維聚焦在本題的關鍵要素（兩隊獨做的時間）上，它與兩隊合做時間有著怎樣的關聯呢？由此組織學生進行猜測、交流、驗證等一系列探究活動，呈現了多元的解決方法：有學生從10天～15天中選擇數據進行嘗試與調整，有學生則設置一個具體量（如20與30的公倍數）進行推算，有學生則先建立起等式，再求解……

教法B與教法C有著異曲同工之妙，兩者都是對原題的重新加工，通過變式題，設置了適合學生進行自主探究的“潛在距離”，前一個關注于過程，從整數的思考方法遷移到抽象的分數思考，實現知識的“再創造”，引導學生從過程的變化中獲得結論；后一個則直面結論，借助原題的一種特例（兩隊獨做時間相同），來推及一般的結論，從對結論的獲得來反推過程，建立問題中關鍵要素與結論的相互聯系，并在這一過程中推進學生創新思維的發展.