關于實函數零點的若干判別法

王有明

【摘要】 主要利用函數的單調性、函數微分中值定理與次數以及結合解析函數的儒歇定理討論實函數在某區間根的個數。本文給出這三種解題方法，來說明如何在高等數學的教學中培養學生的類推與歸納總結能力，謹僅供教學參考。

【關鍵詞】 單調性； 次數； 儒歇定理

中圖分類號：O174.5 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）01（a）-0000-00

高等數學是本科生的公共基礎課程，既為后續課程的學習打下基礎，也有助于培養學生分析問題與解決問題的能力、邏輯推理能力。為了提高學習高等數學的效率，教師需要在以后的教學中啟發學生獨立思考，培養學生學習數學的積極性與主觀能動性，開闊學生的思維與視野。下面用一些例子來說明一點這方面的體會。在學習高等數學中，我們知道大家經常利用介值定理判斷實函數在某些區間有沒有實根，但是通常比較難以確定根的個數。本文根據函數的性質及實函數與解析函數的關系，結合自己的長期的教學經驗，給出三種簡單實用的方法來確定解的個數或方程根的個數。

一 利用函數的單調性判斷函數零點的個數

定理1 如果函數 在閉區間 連續單調且 ，則 在 內有且僅有一個零點。

證明（略）。

根據上述討論得知 至少有四個零點，由于 是五次多項式，則 是四次多項式，因此 最多有四個零點，于是由定理 3知 有且僅有四個零。

三 利用儒歇定理判斷函數零點的個數

定理 3 假設

（1） 與 在簡單閉圍道 上及其內部均是解析的；

（2） 在圍道 上每點均有 ，

則函數 與 在圍道 內的零點個數相同（零點按重數計）。

證明（見[4，5，6]）。

由儒歇定理可知， 利用一些簡單的解析函數可以判斷比較復雜的解析函數在某區域的零點個數。

由儒歇定理， 與 在 內的零點個數是相同的。由于 在單位圓內顯然有一個零點，所以 在單位圓內也有一個零點。因此原方程有一個根。

我們根據實函數與解析函數的關系與性質. 也可以利用儒歇定理來考慮某些實函數根的個數問題。

由儒歇定理， 與 在 內部的零點個數是相同的。由于 在單位圓內內按重數計算有2 個零點，所以 在單位圓內也有兩個零點。因此 在 內有且僅有兩個零點。

說明： 對于某些實變函數， 由介值定理可判斷在給定的區間根的最少個數. 再結合函數的單調性、微分中值定理與系數以及復變函數中的儒歇定理， 可以確定在給定區間根的具體個數。每一門學科都有規律，這種規律需要總結與歸納。找到這些規律與學習方法，發揮主觀能動性，學好高等數學就不難了。

參 考 文 獻

[ 1] 同濟大學應用數學系，高等數學[M]， 北京： 高等教育出版社， 2007.

[ 2] 陳紀修， 淤崇華， 金路. 數學分析（上冊）[M]， 北京： 高等教育出版社， 1999..

[ 3] 劉玉璉， 傅沛仁， 等. 數學分析講義[M] 4 版， 北京： 高等教育出版社， 2003.

[ 4] 譚小江， 伍勝健， 復變函數簡明教程[M]，北京： 北京大學出版社， 2006.

[ 5] 張錦豪， 邱維元， 復變函數論[M]， 北京： 高等教育出版社， 2001.

[ 6] 龔晟， 簡明復分析[M]， 北京： 北京大學出版社， 1996.

On the zeros of real function

three discriminant method

Department of Applied Mathematics， College of Science，

Hunan Agricultural University， ChangSha 410128， China

Abstact： In this paper， we mainly use the monotonicity of function， function of differential mean value theorem of analytic function with the degree of polynomial， and use Rouche theorem by relation from real functions and analytic functions. This paper gives the three methods， we only use teaching reference.

Key words： monotonicity， degree， Rouche theorem