矩陣等價與向量組等價的關系及應用

趙偉舟

摘 要：本文主要討論了矩陣等價和向量組等價之間的聯系，在包含相同個數向量的前提下，

獲得了借助初等行變換研究向量組等價的重要結論，并通過實例具體說明了應用方

法。

關鍵詞：矩陣等價； 向量組等價

中圖分類號：O151.21 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）01（a）-0000-00

1.引言

等價是描述兩個對象之間的一種關系，當這種關系具有自身性、對稱性和傳遞性時，這種關系可被稱為“等價”[1-3]。矩陣等價和向量組等價是兩個不同的概念，前者是指一個矩陣可以經過有限次初等變換得到另一矩陣，后者是指兩個向量組能夠相互線性表示。矩陣和向量組具有一一對應性，由于等價矩陣具有相同的行數和列數，從向量組的角度，兩個向量組包含相同個數的向量；而當列（行）向量組等價時，從矩陣的角度，兩個矩陣的列（行）數可以不同。初等變換作為矩陣理論的重要工具，當兩個向量組包含相同個數的向量時，項梁組等價和矩陣等價之間是否具有聯系呢？如果能獲得這種聯系，則向量組的等價問題在某種程度上可以借助初等變換研究以簡化其討論步驟。

2.理論

為方便起見，不妨設有兩個矩陣 和 且 ，從而存在兩個可逆陣 ，滿足： ?？蓪?和 表示為列向量組的形式，則有：

（*）

如果 ，由初等變換理論可知， 到 只進行了初等列變換，且（*）式可改寫為：

（*1）

兩邊同時右乘 ，得：

（*2）

由（*1）知，向量組 能由向量組 線性表示，由（*2）知，向量組 能由 線性表示，故 與 等價。因此獲得下面結論：

結論1 只經初等列變換由一個矩陣到另一矩陣，相應的列向量組等價。

對上面的（*1）式，兩邊同取轉置，得：

（*3）

兩邊同時左乘 ，得：

（*4）

同理，（*3）式和（*4）式表明行向量組 與 等價，由此獲得下面結論：

結論2 只經初等行變換由一個矩陣到另一矩陣，相應的行向量組等價。

3.應用

根據結論1和結論2，在討論兩個向量組等價時，只要包含相同個數的向量，可考慮借助矩陣等價的初等變換方法。

例 已知

試證明向量組 與向量組 等價。

分析：這里是列向量組且都包含兩個向量，應考慮使用結論1，但由于初等行變換較為常用，因此考慮兩個列向量組的轉置結果。由結論2，只需說明由一個向量組僅通過初等行變換到另一向量組，即完成了等價證明。

證明：

① ②

顯然 和 有相同的行最簡形。①式說明， 經初等行變換能獲得其行最簡形，②式由初等行變換的可逆性，該行最簡形也能獲得 。因此， 能只經過初等行變換獲得 。由上面結論2，向量組 與向量組 等價，從而 與 等價。

值得注意的是，在上面證明中，不能簡單借助等價的傳遞性直接給出 ，這是因為本文結論強調變換形式的單一性，而從 可能既涉及初等行變換，又涉及初等列變換。另外，考慮到向量組記法的靈活性以及例題的證法加之初等行變換是較為常用的初等變換形式，因此可給出如下更為實用的結論：

結論3 給定的兩個行向量組如果包含相同個數的向量，且相應的矩陣具有相同的行最簡形，則兩個行向量組等價。

這一結論對列向量組也是適合的，只需將其轉置為行向量的形式（如上面例題）。另外，結論中的“行最簡形”不能替換為“標準形”，因為只是進行初等行變換的操作。

3. 結論

矩陣等價和向量組等價從概念上看完全不同，前者是源于初等變換給出的概念，后者是源于線性表示給出的概念。當兩個向量組包含相同個數的向量時，由向量組形成的兩個矩陣是同型矩陣，按照獲得的重要結論，借助初等行變換說明向量組的等價性是相當方便的。但當兩個向量組包含不同個數的向量時，只能按照向量組等價的定義進行討論，這里不再贅述。

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系. 工程數學：線性代數（第5版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

[2] 吳贛昌.線性代數[M]. 北京：中國人民大學出版社，2011.

[3] 李炯聲，查建國，王新茂. 線性代數[M].北京：中國科學技術大學出版社， 2010.