分類討論思想在中學數學解題中的應用

楊曉葦 柏春松

摘要：在中學數學解題時，要經常運用分類討論思想。分類討論思想體現是由整體到個體，一般到特殊的思想，它展示了問題的內在聯系，對人的思維發展起著重要的作用。

關鍵詞：中學數學；分類討論；解題

【分類號】G633.6

一 引言

在中學數學中，應用分類討論思，可以培養學生全面解決問題的能力。本文研究了分類討論思想在中學數學解題中的應用，闡述了它的含義，并敘述了它的原則和意義。

二 正文

1概念

張學暉在《分類討論思想與數學解題》中提到：“分類討論思想是指在解決一個問題時，無法用同一種方法去解決，而需要一個標準將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一加以解決，從而使問題得到解決，這就是分類討論思想”[1] 。

分類討論思想是一種教學策略，它將所研究的對象由大化小、由整體化為部分、由一般化為特殊。在數學教學過程中，經常會碰到這樣一些情況，當解答問題到了某一步驟后，就無法再沿用單一的式子和方法繼續解答，原因在于此時所研究的問題包括了多種情況。我們就把這個問題分為幾個有限的小問題，再把每一個小問題分別解答出來，那么這種解決問題的方法叫做分類討論的思想方法。

要想完整地解決問題，就必須準確地應用分類討論思想。，而且在此基礎上，要使得分類保持在同一標準。分類討論思想方法就是對問題進行分類和整合，確定分類的標準后，相當于增加了一個已知條件，將大問題化為小問題，從而降低將問題的求解難度。一般來說，運用分類討論思想，首先需要明確討論的對象和討論的范圍，確定統一的分類標準，然后，逐步討論，最后，總結概括，得出結論。

由于分類討論一般過程冗長，敘述煩瑣，且極易造成失誤。因此，擺脫思維定勢，將問題中的潛在條件挖掘出來是掌握透徹分類討論思想的要點。我們要盡可能地簡化分類討論的步驟，使解題思路得到進一步升華，使解題的途徑更加合理簡捷。

2 原則

研究和解決數學問題最常用的思想就是分類討論思想，分類討論思想的核心是對問題進行合理分類。在中學數學中，分類討論思想的應用是十分廣泛地。了解學生是否將數學知識掌握透徹，有一個重要標準，那就是能否正確地運用分類討論法去解決問題。那如何進行分類討論呢？為了合理準確地解題，分類必須要科學謹慎。在中學階段，分類討論思想的基本原則有同一性原則、互斥性原則、相稱性原則和層次性原則。

2.1 同一性原則

分類必須遵循某一特定的分類標準，也就是說每次分類時，不能將多個不同的分類標準同時使用，否則會導致分類的混亂。例如，把三角形分為銳角三角形、等腰直角三角形、等邊三角形、鈍角三角形，很明顯，以上對三角形的分類是不正確的，因為它既按邊又按角，同時使用了兩個標準進行分類，造成分類的混亂。正確的分類是把三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。

2.2 互斥性原則

分類后的每個子項都應當互不相容，即每個子項要相互排斥。也就是說分類后不能有一些事物既包含于這個子項，又包含于另一個子項，造成子項外延的重疊。例如，某班有9位女生參加書法和繪畫兩項比賽，其中6人參加書法比賽，5人參加繪畫比賽，若把女生分成書法和繪畫兩類，這就犯了子項相容的邏輯錯誤。

2.3 相稱性原則

分類應當相稱，即分類后子項的外延之和應該等于母項的外延，而不能出現分類后子項外延的遺漏。例如，某人把整數分為正整數和負整數兩類。這個分類不符合相稱性原則，因為母項的外延的大于子項外延的總和，事實上整數中還包括零。

2.4 層次性原則

有些數學問題只需一次性分類，有些數學問題則需多次分類。當被討論的對象只需分類一次時，我們稱之為一次分類；而多次分類則是由于被討論對象比較復雜，需要把首次分類后的子項作為新的母項，再次進行分類，一直到滿足需要為止，從而解決整個問題。例如，實數可以分為有理數和無理數，有理數又可以分為整數和分數，整數則可以分為正整數、負整數和零等等。

值得一提的有很多可以用分類討論思想去解答的題目，它并不是孤立的。有時可以用這種分類標準，也可以用其他的分類標準，所以在應用分類討論思想來解答題目時必須要按照相同的標準來進行，做到不重復不遺漏。

3 應用

在解決有關三角形問題時，常常運用分類討論思想。例如，已知兩邊的長度，且圖形為等腰三角形，求該三角形的面積和周長。在這個問題中，并不明確哪條邊是底邊，哪條邊是腰，所以需要進行分類討論。設其中一條邊是底邊，另一條是腰，然后求解。

在解決有關于集合問題時，常常需要結合元素與集合、集合與集合之間的關系進行分類討論。例如，對于空集的特殊性，在解題時，若未指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，進行分類討論。

在解決有關函數問題時，常常需要根據函數的單調性進行分類討論。例如，二次函數在閉區間上的最值問題，需要根據對稱軸與區間的位置關系進行分類討論。在解決不等式相關問題時，常常需要絕對值進行分類討論。

在解決有關圓問題時，包括 、 、以及 之間的關系，特別是圓與圓之間的位置關系，常常需要運用分類思想。

三 小結

通過本文的論述，我們了解了分類討論思想，很顯然，分類討論的思想方法可以幫助學生高效的解決問題。在課堂討論中，可以提高學生的學習興趣，讓學生主動地使用分類討論法去解決問題。值得注意的是，不能盲目地運用分類討論思想，不能急于運用。在運用之前，需要深入分析題目，充分領會其中的含義，再合理運用分類思想，確定正確的解題方法，避免出錯或不必要的分類討論。

參考文獻

[1] 張學暉，分類討論思想與數學解題[J]，新疆石油教育學院學報，1999，4.

[2] 羅樹全，對數學新課程中分類討論思想的再認識[J]，教育實踐與研究，2012，4.

[3] 楊藏軍，用分類討論思想解決數學問題[J]，教育實踐與研究，2007，11.

[4] 丁啟富，注重函數教學，緊抓初中數學教學重點[J]，考試周刊，2013，7.

[5] 海防，淺談分類討論思想在中學數學中的應用[J]，數學學習與研究，2009.6.

[6] 張國鳳，分類討論思想在函數教學中的滲透[J]，學園，2014，2.