利用基本圖形解決圓的幾個問題

李娜婷

內容提要：初中數學的知初識內容中，圓的基本性質、圓與直線的位置關系，圓與圓的位置關系及其這幾個方面知識結合三角函數、相似三角形、函數等知識應用是重點也是難點。下面就對本人在教學實踐中所得到的經驗給予總結。初中圓知識的復習基本可以分為四塊：1、基本知識、基本圖形的熟練掌握和應用。2、答案不唯一性的討論。3、變化中尋找不變的量或關系。4、圓在綜合題中的應用。以上這四塊知識應該分塊系統地進行復習，并且在復習中注意題目的演變和應用。再配合相應的練習，效果應該會更加的好。

關鍵詞：圓 基本圖形 不唯一性 變化

【分類號】G634.6

一、基本知識、基本圖形的熟練掌握和應用。

圓的基本知識主要可以分為：關于圓的定理，圓與點、線、其他圓位置關系兩大塊。

關于圓的基本定理可以從圓的兩個主要性質中得到。1、圓的軸對稱性—對稱軸為直徑所在的直線。根據這個性質可以方便的得到垂徑定理。2、圓的旋轉不變性—圓以圓心為旋轉中心旋轉任意角度能和原來的圓重合。由這個性質也可以容易的得到圓心角定理。再由圓心角定理推出圓周角定理。關于這幾個定理的敘述和證明同學們都應該已經熟練地掌握。

圓與點、線、其他圓位置關系。這三種位置關系的關鍵就是分別討論點與圓心之間的距離和半徑的比較、圓心與直線的距離和半徑的比較、圓心和圓心之間的圓心距和兩圓半徑關系的比較。結合在一起復習，就有對比性，學生容易掌握。

二、答案不唯一性的討論。

在初中圓的知識中，學生比較容易犯錯的還有就是碰到有兩個或兩個以上答案時，很多學生經常考慮的不夠全面，導致犯錯.下面我就對一些經常可能出現多個答案的知識點進行小結.

在一個圓中，大家知道一段弧所對的弦只有一條，但一條弦所對弧卻有兩段，并且這兩段弧組成這個圓.如圖，已知劣弧AB所對的圓心角∠AOB=

120度，則這條弧所對的圓周角度數為60度，只有一個答案.若已知

弦AB所對的圓心角∠AOB=120度，則弦AB所對的圓周角為60度或

120度，有兩個答案.此題還可以這樣問，若已知弦AB=8，圓半徑

R=5，求這條弦的中點到它所對弧中點的距離，則也應該有兩個答案，

2或8.

在圓與圓的位置關系中，若兩圓沒有交點，則有外離和內含兩種情況.若兩圓有交點，則有相切和相交兩種情況.其中需要注意的是相切有外切和內切之分.這也是比較容易考到的知識點.如，若已知相切兩圓的圓心距為2，其中一個圓的半徑為5，求另一個圓的半徑.此題首先應該明白相切有外切和內切兩種，但根據已知數據可知只能是內切關系，內切兩圓圓心距為大圓半徑減去小圓半徑，但已知條件中只告訴大家一個圓的半徑為5，并不知道這個是大圓還是小圓，所以答案有兩個，為7或3.我們也可以討論一下兩個圓移動的問題，

三、變化中尋找不變的量或關系。

變化一般是指圖形中一個點或者一部分圖形按照一定的規律在移動.解這一類題的關鍵是能夠在變的過程中尋找發現一些不變的量或者關系，并應用這些量或關系來解決問題.在第一部分的前后兩大組基本圖形中，大家也應該已經發現了這一個規律.下面我們再來看一個問題.

如圖，已知點P是圓O中直徑BC延長線

上的一個動點，過P做圓O的切線PA切圓O

于點A，連接AB，作∠APB的角平分線PM交

AB于點M.問在點P往BC的延長線移動的過程

中，∠AMP是否發生變化，若變化說明理由，若不變，請計算∠AMP的值.

分析：無論P點在什么位置，PA永遠與圓O相切，切點為A，所以可以連接AO，可知∠OAP=90度.因為BO=PO=R，PM為∠APB的角平分線，所以∠OBA=∠OAB，∠APM=

∠BPM.又因為∠AOP=∠OBA+∠OAB=2∠OBA，∠AMP=∠OBA+∠MPB，∠AOP+∠APB=90度，所以∠AMP=45度.在P的移動過程中，這個關系始終成立.所以∠AMP不會變，永遠為45度.

諸如上題的題目也比較多，同學們拿到題只要不要被變化所嚇倒，認真分析思考，尋找到一些不變的量或關系，此類題就可以引刃而解.

四、圓在綜合題中的應用

圓的知識在綜合題中的應用，就是要利用圓的性質規律，結合三角函數，相似三角形，函數等知識來解決綜合性比較高的一些問題.下面可以看個例子.

如圖所示，有一正方形ABCD，和一直徑為BC的圓.BC=2cm，現在有兩點E，F分別從點B，點A同時出發，點E沿線段BA以1cm/s的速度向點A運動，點F沿折線A-D-C以2cm/s的速度向點C運動.設點E離開點B的時間為t s.求

（1）當t為何值時，EF//BC？

（2）設t大于1小于2，當t 為何值時，EF與圓相切？

（3）當t 大于等于1小于2時，設EF與AC相交于點P，問點E，F運動時，點P的位置是否發生變化？若變化說明理由？若不變，求AP：CP的值.

分析：（1）EF//BC要成立，根據題目意思，點F肯定在DC段.

畫出E1F1//BC如備用圖一所示.可知BE1=t，CF1=4-2t.

因為四邊形E1BCF1為矩形，所以BE1=CF1.所以

t =4-2t.解得t=4/3.

像上題這樣綜合性高的題目比較多，大家只要認真分析，圖畫清楚，能夠在圖中找到我們所熟悉的基本圖形，并能結合其他知識應用，基本上也能過關.

以上觀點是本人的一些不成熟的看法，希望對大家有所幫助。