基于MCMC方法對帶跳隨機波動模型的研究

廖蒸

摘要：針對股票市場波動性表現出的時變特點與“集聚效應”，本文對帶跳的隨機波動模型進行研究。應用MCMC方法對模型的參數、隨機波動率及跳時間進行估計，并對上證指數進行實證分析。

關鍵詞：MCMC方法；帶跳的隨機波動模型

0 引言

SV模型在金融領域中有著廣泛的用途，因此大多數的學者從不同的角度出發，提出多種SV模型及其相應的估計方法。本文中帶跳的隨機波動模型是SV模型的改進型，能更好的擬合股票的價格波動。但是，也正是因為SV模型中包含著潛在變量，涉及的似然函數和無條件矩要通過高維積分來計算，極大似然法不能直接求解。Jacquier E，PolsonN G和Rossi PE.于1994年在Journal of Business&Economic Statistics期刊上發表的文章中開創了一種分析條件方差自回歸的sv模型的新技術。其中用到了Metropolis算法來構建馬爾科夫鏈模擬工具，并對貝葉斯和最大似然估計的性能上進行了比較，得出了基于貝葉斯估計的馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法（MCMC）在隨機波動模型分析上更有效的結論。故本文運用MCMC方法對帶跳的隨機波動模型進行參數估計并對上證指數進行實證分析。

1 帶跳的SV模型

y_t=μ+e^h_t/2·ε_t+J_t·Z_T （1）

j_t=μ_h+φ_h（h_t-1-μ_h）+S_t （2）

其中，h₁～N（μ_h，σ_h²/1-φ_h²。y=（y₁，y₂，…，y_T）記為觀測樣本序列，h=（h₁，h₂，…，h_T）為對數波動率數列，Z_t是密度分布為N（u_j，σ_j²）的跳的大小，J^t是密度分布為Bern（λ）的跳。ε_t-N（1，1）。

1.1 模型的貝葉斯推斷

應用MCMC方法對模型進行參數估計的基礎貝葉斯理論，首先通過貝葉斯理論求得各個參數和缺失變量的后驗分布密度。然后對參數樣本進行Gibbs抽樣或MH抽樣，最終得到參數的估計值。本文中對各個參數進行了21000次迭代，去除初始的1000次迭代，保證各個參數的收斂性。考慮到各個參數在數值上可能出現的偶然性，本文中各個參數的估計值為各個參數20000次迭代的均值。

模型的聯合分布密度函數為：

模型～r/f-參數的先驗分布假定為：μ～N（0，5），μ_h～N（0，5），J_t～Bern（λ），Z_t～N（μ_j，σ_j），φ_h～N（0.95，1），σ_j²～IG（10，0.19）λ～（20，30），σ_j²～IG，（5，20），u_j～N（0，0.1）。根據參數的先驗分布及似然函數，可得出各個參數的后驗分布。

1.2 參數后驗分布密度函數

對于后驗分布密度函數為已知標準形式可直接運用Gibbs抽樣；對于后驗分布密度函數為非標準形式的，可以進行Metropolis-Hastings抽樣，選取合適的建議分布，計算接受概率，并抽取樣本。

Z_t的后驗分布，狀態變量Z_t的后驗分布分兩種狀況，當J_t=1時，Z_t-N（α₁，β₁），

對各個參數進行Gibbs抽樣；參數中φ_h的后驗分布是非標準的，故用MH方法對φ_h進行抽樣。

2 實證結果分析

本文對2005-2014年10年的上證指數的2345條日收益率數據進行實證分析。圖1為上證指數的收益率時序圖。

從表1中可以看出上證指數收益呈左偏形態（偏度<0），且具有尖峰厚尾特征（峰度>3），可以采用SV類模型建模。

應用MCMC方法，對帶跳的sv模型進行參數估計，得出以下結果：

通過表2中各個參數的標準差可得出運用MCMC方法估計得出的參數中u_h的標準差較大，波動幅度較大，其他各個參數標準差都較小，波動幅度小，較為穩定。其中k=0.02945，2345個數據中有71次跳，h的數值圖采用的數據是h的20000次迭代的估計值的均值。得出下列圖表

由圖3與圖1對比可得出，J_t=1時主要分布在2006年4月以后，此時股市開始有小幅震蕩，2007年和2008年股市的震蕩幅度最大，上證指數波動幅度也十分劇烈，此后一直震蕩不斷。圖2中h的估計值圖像也很好的描述了y值的改變，有著實質性的改變，從2006年4月開始，h值逐漸升高，到2008年1月時到達最高，也是y值震蕩幅度最大的時候，然后逐漸下降，之后持續長期小幅波動。上證指數的收益波動具有較強的持續性，并隨h的估計值的波動而波動，基于MCMC方法的帶跳隨機波動模型能夠很好的模擬上證指數的收益波動。

3 結語

本文對帶跳的隨機波動模型進行了貝葉斯分析，設定模型參數的先驗分布，構造了基于Gibbs抽樣的MCMC數值計算過程，并對上證指數進行實證研究。研究結果表明，基于MCMC方法的對帶跳的隨機波動模型能夠很好的模擬我國股市的波動，并且證明了我國股市具有較強的波動持續性。