取整函數(shù)

張建平

我們看高三模擬考的這道選擇題：個(gè)案1：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[1.1]=1，[-2.1]=-3.定義在R上的函數(shù)f（x）=[2x]+[4x]，若A={y|y=f（x），0≤x≤1}，則中所有元素的和為（ ）

A.10 B.14 C.15 D.13

這道題，學(xué)生望而生畏，大部分學(xué)生都是通過(guò)猜來(lái)完成解答的.“畏”產(chǎn)生在取整函數(shù)模糊、不熟悉，遇到這類問(wèn)題無(wú)從下手，找不到破解的方法.本題答錯(cuò)的學(xué)生多，教師如何解決，若再碰到取整函數(shù)問(wèn)題又如何應(yīng)對(duì)，教師在講題時(shí)不能就題講題，否則今后學(xué)生碰到此類題型做對(duì)的學(xué)生不會(huì)增多，如何引申拓展教學(xué)，我在教學(xué)中探究設(shè)計(jì)如下.

1.題目背景

找到取整函數(shù)在課本中的“影子”復(fù)習(xí)基本概念和解題方法，為解個(gè)案2打開學(xué)生的思路.

課本必修一第一章第25頁(yè)有這樣一道習(xí)題：

個(gè)案2：函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2.當(dāng)x∈（-2.5，x]時(shí)，寫出函數(shù)f（x）的解析式，并作出函數(shù)的圖像.

從取整函數(shù)的意義可知f（x）=[x]的定義域是R，值域是Z.教師分析時(shí)注意題中給出的定義域x∈（-2.5，3]，聯(lián)系取整函數(shù)的意義，從“例如”告訴我們可以將取整函數(shù)f（x）=[x]用分段函數(shù)來(lái)表示，并且每段的定義域區(qū)間的長(zhǎng)度都是1，這是解有關(guān)取整函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn).這樣很快得到解析式，圖像也可以畫出，圖像呈階梯狀.

我們就可以從中得到啟發(fā)，學(xué)生也許就有思路了.

這時(shí)再給時(shí)間讓學(xué)生思考，然后通過(guò)提問(wèn)師生共同解決.

解：個(gè)案1給出的函數(shù)是與取整函數(shù)有關(guān)聯(lián)的函數(shù)，由集合的意義和已知本題即是求在定義域所有函數(shù)值的和.

解題的關(guān)鍵點(diǎn)是將0≤4x≤4分成區(qū)間長(zhǎng)度為1的5段進(jìn)行討論.

綜上可知，A中所有元素的和為：0+1+3+4+6=14.

2.拓展引申

繼續(xù)鞏固現(xiàn)有成果，再擴(kuò)大戰(zhàn)果，看下面與取整函數(shù)有關(guān)的題型.

Ⅰ、取整函數(shù)與不等式：

個(gè)案3：若[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則不等式[x]≥x-1的解集是（ ）

分析：可利用圖像法解，令y=[x]，y=x-1，

問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)函數(shù)y=[x]的圖像在拋物線y=x-1的上方時(shí)，

求橫坐標(biāo)x的取值范圍.

如下圖，兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)為A（x，1）.

Ⅱ.取整函數(shù)與數(shù)列：

個(gè)案4：若x∈R，記不超過(guò)x的最大整數(shù)為[x]，

令{x}=x-[x]，則（ ）

A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列

B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列

C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

D.既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列

分析由取整函數(shù)的意義，

三數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列.

Ⅲ.取整函數(shù)與方程：

個(gè)案5.設(shè)[m]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)，則在直角坐標(biāo)平面xOy上滿足[x]+4[y]=100的點(diǎn)P（x，y）所形成的圖形的面積為（ ）

A.10 B.12 C.10π D.12π

分析：我們?cè)诮鉀Q這個(gè)方程：[x]+4[y]=100，不考慮正負(fù)，[x]，[y]的整數(shù)解有四組，

（0，5），（10，0），（6，4），（8，3）

（1）當(dāng)|[y]|=5時(shí)，5≤y<6或-5≤y<-4，由[x]=0，∴0≤x<1，圍成的區(qū)域是兩個(gè)單位正方形A，B；

（2）當(dāng)|[x]|=10時(shí)，10≤x<11或-10≤x<-9，由[y]=0，∴0≤y<1，圍成的區(qū)域也是兩個(gè)單位正方形C，D；

（3）當(dāng)|[x]|=6時(shí)，6≤x<7或-6≤x<-5，再由|[y]|=4，4≤y<5或-4≤y<-3，圍成的區(qū)域是4個(gè)正方形E，F(xiàn)，G，H；

（4）當(dāng)|[x]|=8時(shí)，8≤x<9或-8≤x<-7，再由|[y]|=3，3≤y<4或-3≤y<-2，圍成的區(qū)域也是4個(gè)正方形I，J，K，L.共12個(gè)單位正方形，圖中陰影部分的正方形所環(huán)繞的圖形是一個(gè)橢圓，故點(diǎn)P（x，y）所形成的圖形的總面積為12，答案選B.已知方程就是由焦點(diǎn)在x軸上的橢圓變式而來(lái).本題從給定方程，利用取整函數(shù)的意義，確定出滿足方程的整點(diǎn)，對(duì)整點(diǎn)進(jìn)行分類討論，化歸轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖形，以形助數(shù)通過(guò)圖形確定出面積.

3.歸納小結(jié)

取整函數(shù)（高斯函數(shù)）的性質(zhì)：

我們?cè)倏聪旅嬉坏栏呖碱}（2013年陜西卷理科選擇題最后一題第10題）.

個(gè)案6.設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，

設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有（ ）

故C錯(cuò)；由排除法知，選D.

從以上6個(gè)案，學(xué)生對(duì)取整函數(shù)會(huì)有新的認(rèn)知，解有關(guān)取整函數(shù)問(wèn)題的解題思路是抓住取整函數(shù)的意義，根據(jù)已知條件，抓住所問(wèn)，或利用特值法或利用化歸為分段函數(shù)（合理劃分區(qū)間長(zhǎng)度為1的每段是解題的關(guān)鍵點(diǎn)）或圖像法或利用其性質(zhì)解題等，學(xué)生通過(guò)積累，今后再碰到取整函數(shù)問(wèn)題，至少可為解此類題型提供思路和方向，同時(shí)也有利于在考試時(shí)增強(qiáng)自信心.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊煉.直角三棱錐的一個(gè)存在條件——從一道模考錯(cuò)題談起.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2004（05）.