一種基于偽逆平差理論的導航星座整網定軌方法

謝友方　王　玲　黃文德

1　湖南大學電氣與信息工程學院，長沙市麓山南路218號，410082 2　國防科技大學機電工程與自動化學院，長沙市三一大道，410073

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一種基于偽逆平差理論的導航星座整網定軌方法

謝友方1,2王玲1黃文德2

1湖南大學電氣與信息工程學院，長沙市麓山南路218號，410082 2國防科技大學機電工程與自動化學院，長沙市三一大道，410073

摘要：針對分布式單星自主定軌存在的次優解及濾波易發散等問題，結合整網偽逆平差理論和航天器軌道動力學定軌理論，提出一種導航星座整網自主定軌方法。討論衛星網與大地自由網平差方法的區別，結合偽逆平差和衛星動力學定軌方法，建立導航星座整網自主定軌方法，并給出整網定軌基本流程，最后以典型Walker星座為例進行整網自主定軌仿真驗證。結果表明，在初始位置誤差1 m、星間測量噪聲0.1 m、不考慮鐘差的條件下，星座自主運行5 d，每顆衛星的定軌誤差均小于0.8 m，星座平均定軌誤差小于0.5 m,驗證了該方法的有效性。

關鍵詞：導航星座；自主定軌；整網平差；星間測量；偽逆

為解決導航星座自主定軌問題，學者們提出了各種定軌方法[1-3]。僅利用星間觀測進行星座自主定軌是一個經典的自由網問題[4]，由于網中所有節點位置未知，因此該方法缺少必要的起算數據，需選擇合理的估計方法。偽逆平差是一種可解決秩虧自由網的有效平差理論，其將自由網中所有點當作未知數，網中點的相對位置不受已知點的支配。對于一個沒有固定數據的自由網，按照最小二乘原則確定平差改正值，得到一個最優的相對網形，再根據各點近似值，利用最小范數條件得到平差結果[5]。因此，該方法本質上屬于線性最小方差估計。本文討論了星座整網自主定軌的數學模型，提出整網偽逆平差模型和定軌流程。通過該方法對星座中衛星的軌道參數進行估計，并以Walker星座為例進行仿真驗證，得到一些有益的結論。

1星座整網自主定軌的數學模型

(1)

(2)

(3)

對式(3)進行線性化，在第i、j衛星概略位置處進行泰勒展開并保留一階項，有:

(4)

式中，

(5)

l=L-AX0

(6)

(7)

由于星間觀測對衛星網整體運動的不可觀測性，其衛星網只能構成空間的相對位置約束，整個衛星網缺乏一個絕對的參考基準，因此不能直接對上式進行求解。誤差方程中系數矩陣A的秩小于其列數，發生秩虧現象，相應的法方程為：

NδX=ATPl

N=ATPA

(8)

式中，P為觀測噪聲權矩陣，法方程系數矩陣N發生奇異，凱利逆不存在，在最小二乘VTPV=min條件下得不到唯一解。

1.1平差方法

在衛星網中，若沒有足夠的起算數據，或僅通過星間相對測量進行解算，則誤差方程的系數矩陣為非列滿秩，相應的法方程系數矩陣發生秩虧。應用偽逆平差理論，將星座中所有待解參數作為未知數，整個平差網不固定在任何節點上。在求解誤差方程時，添加最小范數附加約束：

δXTδX=min

(9)

在滿足NδX=ATPl的約束條件下，求目標函數δXTδX=min的極值。組成新的函數：

(10)

對δX求偏導數，令其等于0，得：

(11)

(12)

針對自由網平差問題，國內學者提出了很多有效的解決方法[5-7]。其中，最小二乘嶺估計方法通過引入嶺參數能夠較好地改善方程病態，其算法簡單、易于操作，是解決秩虧問題的經典方法。因此，本文采用張艷[7]提出的最小二乘嶺估計進行定軌方法的比較。應用最小二乘嶺估計時，將式(8)中的法方程系數矩陣N替換成(N+kI)求解待估參數，其中k為嶺參數，一般取k=10-6。

整網星座平差定軌中，衛星網是實時變動的自由網。進行星座的整網定軌時，需考慮各衛星軌道的連續性。因此，采用軌道積分的方式計算下一時刻的軌道概略值，然后通過星間測量值，對軌道預報值進行整網平差，得到優化后各衛星的軌道值。

1.2動力學模型

(13)

式中，f表示衛星受力模型。衛星所受力包括二體引力、日月引力、地球非球形攝動力、地球潮汐、太陽光壓和大氣阻力等。W表示動力學模型噪聲。一般情況下，無法得到式(13)的解析表達式，需要將上述軌道動力學模型線性化。假設狀態參數X0在初始時刻和實際軌道足夠接近，則實際軌道可以在X0處線性化。令

(14)

則軌道動力學模型線性化方程為：

(15)

式(15)一般解為：

(16)

2整網偽逆平差定軌方法及流程

整網偽逆平差定軌方法首先給出衛星的概略軌道參數及其相應的星間觀測權矩陣，然后讀取某一時刻所有星間測量值，利用動力學軌道積分解算下一時刻的狀態參數，建立平差方程，利用偽逆平差算法修正衛星的狀態值。當星座衛星所有時刻的觀測量全部讀完時，結束本次定軌流程，否則，循環計算各個時刻的衛星軌道軌道。其流程如圖1所示。

整網偽逆平差方法中，通過軌道動力學積分及狀態轉移解算，可以將兩相鄰時刻的軌道參數建立聯系，從而使整網定軌在時間上連續一致。通過偽逆平差的方法，添加目標解的最小范數約束，用偽逆代替最小二乘平差中的凱利逆，可以解決目標方程秩虧問題，得到導航星座整網解算的唯一最優解。

3仿真算例及結果分析

利用STK模擬仿真場景，建立仿真實驗平臺。選取典型Walker星座為分析對象，Walker星座描述符為24/6/1，軌道高度取25 678 km，軌道傾角取55°。動力學模型中，考慮地球重力場及日月引力，不確定模型主要考慮太陽光壓，其他攝動力暫不考慮。地球重力場參數JGM3為10×10階，光壓參數中面質比取0.002 m2/kg，反射面系數取1.2。本文僅分析平差方法的定軌精度，不考慮鐘差延遲，認為所有的觀測數據都已經歸算到同一時刻。在進行整網偽逆平差定軌中，以用戶偽距誤差值URE(user range error)作為指標，其定義為[8]：

(17)

(18)

式中，URE(i)表示第i顆衛星的URE值，R(i)表示徑向方向誤差，C(i)表示鐘差誤差，仿真時認為其為0，P(i)表示水平方向誤差，UREM表示星座中N顆衛星的平均URE值。

初始時刻由STK產生軌道數據，各衛星的初始軌道見表1。

注：S為衛星類型，V為該軌道面衛星編號，a為軌道半長軸，e為軌道偏心率，i為軌道傾角，RAAN為升交點經度，w為近地點角距，M為平近點角。

初始時刻，星座中各衛星加入均方根為1 m的隨機誤差，星間測量值加入均值為0.1 m的隨機誤差。星座自主運行5 d，分別利用整網偽逆平差定軌方法和整網最小二乘嶺估計定軌方法，得到24顆衛星平均URE變化曲線(圖2、圖3)。

為進一步分析整網偽逆平差定軌方法對星座中各衛星的定軌效果，給出自主運行5 d，星座中衛星URE變化最小(Sat1，圖4)、最大(Sat22，圖5)及第5 d各URE變化情況(圖6)。

從圖4～6可見，采用整網偽逆平差定軌方法，在加入初始位置誤差為1 m、星間噪聲為0.1 m的情況下，星座自主運行5 d，給出URE值變化最小的一顆衛星為Sat1，約為0.3 m；給出URE值最大的一顆衛星為Sat22，約為0.8 m；運行至第5 d，每顆衛星URE均小于0.6 m。說明整網定軌由于考慮每顆衛星的幾何約束，各衛星均有良好的定軌效果，并不會出現定軌誤差相差很大的情況。由圖2、圖3知，利用整網偽逆平差定軌方法，星座平均URE不超過0.5 m；利用整網最小二乘嶺估計定軌方法，星座平均URE約為0.6 m，且其發散程度大于前者。因此，偽逆平差理論可以應用于星座整網定軌，在短時間內，偽逆平差方法有利于解決星座不可觀測、抑制濾波發散等問題。

4結語

整網偽逆平差定軌方法中，利用最小二乘原則和最小范數約束建立整個衛星網的基準，使整個自由網具有參考基準，能有效解決整網秩虧問題。仿真結果表明，采用整網偽逆平差定軌方法，充分利用衛星網的星間幾何構型，可以得到衛星軌道參數估計量的最優解。星座網處于一個高動態變化的狀態，采用動力學定軌方法有利于解決星座中衛星軌道連續性問題。必須指出，在采取

整網偽逆平差方法定軌時存在部分衛星URE值突跳問題，可能與求解最小范數偽逆的條件數過大有關。另外，在短時間內，該算法的定軌效果較好，但長時間定軌時，該算法同樣存在因缺乏絕對基準而導致平差結果發散的問題。后續將針對此問題展開進一步研究。

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Foundation support:National Natural Science Foundation of China,No.41274023；Chinese Postdoctoral Science Foundation,No.2015M580365.

About the first author:XIE Youfang, postgraduate, majors in satellite navigation simulation system and method,E-mail：1260026086@qq.com.

A Method Based on Pseudo-Inverse Adjustments of Navigation Satellite Constellation Orbit Determination

XIEYoufang1,2WANGLing1HUANGWende2

1College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, 218 South-Lushan Road, Changsha 410082,China 2College of Mechatronics Engineering and Automation, National University of Defense Technology, Sanyi Road,Changsha 410073, China

Abstract:This paper is concerned with the problem of suboptimal and divergence in distributed filtering for autonomous orbit determination of satellite navigation systems. This paper proposes a concentrated filtering method, in which the navigation satellite constellation is considered as a whole, and essentially, theories of pseudo-inverse adjustment and spacecraft dynamic orbit determination are combined. First of all, differences between free network adjustment of geodetic survey and that of spacecraft network are discussed.Then a method of satellite constellation orbit determination which combines pseudo-inverse adjustment theory and satellite orbit dynamics is constructed, and the relevant technological process is given primarily. Finally, an example of network of typical walker constellations is given. The simulation results show that the user range error (URE) of any satellite is less than 0.8 m, mean URE of the satellite network is less than 0.5 m after five days’ autonomy operation.This verifies the efficiency of the method.

Key words:navigation satellite constellation; autonomous positioning； whole network adjustment；relative measurement；pseudo-inverse adjustments

收稿日期：2015-10-22

第一作者簡介：謝友方,碩士生，主要從事衛星導航仿真系統及算法研究，E-mail：1260026086@qq.com。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.06.017

文章編號：1671-5942(2016)06-0544-04

中圖分類號：P228

文獻標識碼：A

項目來源：國家自然科學基金(41274023)；中國博士后科學基金(2015M580365)。