例談圍繞生活設計數學問題

許映春

摘 要：新課程教學理念對于數學問題的設計有著較高的生活化要求，從教材給出的愈來愈多的實際問題來看，數學偏重生活的應用成為問題設計的重要因素，因此課堂教學中的問題設計也需要向生活化、情境化靠攏.

關鍵詞：數學；應用；生活化；情境化；問題；設計

眾所周知，數學一向相比其他理科而言，在趣味化上顯得非常不足，因此數學往往被學生認為是枯燥、形式化、理論性大于實用性的學科. 很多調查資料顯示，學生對于理科的興趣排名最低的是數學，這與其他理科注重動手實踐密切有關. 新課程標準在強調數學教學需要注重情境化、生活化的同時，也在教材中給出了很多相關的、類似的具備使用性質的例題，在無形中向學生滲透數學來自生活、在生活中的運用這一理念. 因此，筆者以為數學教師教學，特別是概念性的教學設計需要尊崇生活化、情境化的教學理念，需要精心設計. 筆者以《不等式與不等關系》第一課時為例，舉案例給予說明：

案例設計：（展示第一幅圖片：蘇軾的《題西林壁》）（自然層面）

教師：同學們，看到圖片有怎么樣的“直觀”感受呢？

學生：在山群中不會有兩座一模一樣的山.

教師：這就是“世界上沒有相同指紋”的意思，這是大自然帶給我們的不等. （展示第二幅圖片：兩名籃球運動員的身高）（人文層面）

教師：兩名兩球運動員的身高測量值均為188 cm，他們的身高絕對相等嗎？

學生：不相等，身高測量有誤差.

教師：其實在生活中做到絕對相等著實太難，相等是相對的，不等才是絕對的. （展示第三幅圖片：古代杠桿原理）（歷史層面）

教師：古代中國，老祖先已經學會了杠桿原理從井中取水，這是不等關系在生活中的體現.

教師：我們不僅要觀察到生活中的不等關系，還要將其運用于生活生產當中，今天我們就一起來欣賞“不等關系與不等式”. （幻燈片、黑板顯示課題）

“十一”小長假剛過，我們就一起來探討一下小長假中的不等關系.

【實例1】 從2015年初開始，中國股市可謂風云莫測，十一長假前人們更關心的可能還是中國股市. 若某人持股a萬元，第一天漲了10%，第二天跌了10%，這兩天是賺了還是虧了？寫出不等式.

【實例2】 國慶前夕，第21號臺風“杜鵑”登陸浙江，使得浙江省寧波市淪為一座水城.慶幸的是蘇州地區并未受其影響. 若臺風半徑為200千米，其中心位置距蘇州為d千米，若蘇州未受此臺風影響，寫出不等式.

【實例3】 在出游過程中，選擇經濟、節時的最佳路徑非常關鍵.在這個過程中，我們通常用到數學模型“點到直線，垂線最短”，寫出其中包含的不等式.

【實例4】 安吉“樂翻天”水上樂園是黃金周許多杭嘉湖游客的去處. 園內娛樂項目水上過山車要求身高達到160 cm、體重達到45 kg的游客才可參加. 寫出其中包含的不等式.

【實例5】 10月2日西湖接待游客74.19萬人次，西湖風景區可謂是“people mountain people sea”.蘇堤全長2.8千米，堤上有映波、鎖瀾、望山、壓堤、東浦、跨虹六橋. 若把蘇堤看成數軸，望山橋為原點，則蘇堤上到望山橋的距離大于500米的點M所組成的集合為_____.（師生分析過程略，學生輪流回答，教師將答案相應地寫在實例后面）

教師：同學們看到了上述很多生活中的問題其背后均隱藏著數學的應用，要解決這些具體問題，需要進一步學會表示，用什么知識來表示這些數量關系呢？

學生：用不等式或不等式組來表示.

教師：能用不等式及不等式組把這些不等關系表示出來，也就是建立不等式數學模型的過程，通過對不等式數學模型的研究，反過來作用于我們的現實生活，這才是我們學習數學的目的.

教師給出教材中兩個例題：

【問題1】 某旅游景點售賣紀念品，原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本. 據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本. 若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？請用不等式或不等式組把此實例中的不等關系表示出來，不必解答. （分析過程略）

【問題2】某景區改造景點，要把長度為4000 mm的鋼管截成500 mm和600 mm兩種，按照生產的要求，600 mm鋼管的數量不能超過500 mm鋼管的3倍. 怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式？（分析過程略）

教師：解決這樣的問題時，要看變量有沒有設好，如果沒有，就要先設變量再找出不等關系，讓他們一一對應，同時要注意變量的實際背景，最后才能組建不等式.

自主探究：下面我們做一個糖水，在糖水中加入糖，糖水味道會越來越甜（前后均未達到飽和），你能表示其中的不等關系嗎？（學生小組進行討論探究）

學生1：題中沒有設變量，應先設變量.

學生2：題中的不等關系是糖水變甜，也就是糖水中糖的質量分數變高.

學生3：我們可以把題目改寫成“設b克糖水中含糖量為a克，現加入m克糖，糖的質量分數提高” .

教師：同學們分析得非常正確，能不能將其用數學語言進行描述.

學生4：>.

教師：這個式子完整了嗎？有沒有同學需要補充的.

學生5：在題目中其實隱含著一個條件，b>a>0，m>0.

教師：（板書不等式>（b>a>0，m>0））其實在同學們交流討論的過程中，我們已經完成數學中的一個重要的課題——數學建模，我們圍繞著一個生活中的現象，建立了合適的數學模型. 能不能進一步說明我們所建立的模型是正確的呢？要證明不等式成立，我們就需要知道不等式成立的依據.幻燈片：兩個數比較大小的依據：a-b=0?a=b，a-b>0?a>b，a-b<0?a

教師：通過作差法比較大小看似簡單，但我們仍需熟練掌握其過程. 我們再來回顧一下整個解答過程. 第一步：作差；第二步：變形，包括通分和因式分解；第三步：判斷符號；最后下結論.這就是作差法的“四部曲”.

我們所建立的模型，在實際生活中是否還有其他的用處呢？

幻燈片：景區建筑要求窗戶面積必須小于地板面積，但是按照采光標準，窗戶面積a與地板面積b的比值應該不小于0.1，且這個比值越大，建筑的采光就越好. 若同時將地板面積和窗戶面積增加m，建筑的采光是否會提高？（分析過程略）

教師：一個小小的不等式>（b>a>0，m>0），我們已經看到了它在兩個實際問題中得到運用，這足以說明不等式的魅力. 學生們能不能說說生活中有什么現象同樣可以對應上述的不等式模型呢？

學生1：籃球運動員在連續罰中幾個球以后，罰球命中率變高.

學生2：芭蕾舞演員踮起腳尖，為了讓自己的身材比例更接近于黃金比例.

教師：同學們說得都很不錯，我們要有一雙發現數學的眼睛，善于發現生活中的不等關系，并能夠將其抽象概括，最終能夠反作用于生活，用之于生活生產實踐中，這才是華羅庚先生所說的“無處不用不等”的真諦. （課堂小結略）

從上述案例的設計來看，我們發現本課處處以生活中的實際問題為載體進行了課堂教學的設計，這種設計比較適合概念性的課堂，尤其是新知教學中的感知. 筆者認為：對于新知類的教學，要多思考如何從生活情境案例入手思考，本文所舉案例不下數十個生活情境背景的實例，大大提高了學生對于數學來自生活的認知. 這種設計需要教師思考：

（1）數學本身是形式化的，但是好的教師在于將冰冷的文字轉換為鮮活的生活問題，大大提高教學的興趣，學生對于知識的理解正是從這些生活中的案例出發的；

（2）多思考生活化、情境化的案例，也從認知數學應用的角度去思考了數學知識，這種行為對于學生而言有一種從感性到理性的歸納過程，久而久之的學習也促進了學生認知水平和能力的增長，提高了其從事物背后觀察本質的能力.