淺談函數(shù)極限的定義解法

李航

極限是高中數(shù)學(xué)中比較重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是大學(xué)中研究數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，比如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、圓內(nèi)接正多邊形的面積等問(wèn)題都牽扯到極限的方法。而且由極限出發(fā)產(chǎn)生的極限方法，是數(shù)學(xué)分析的最基本的方法。更好地理解極限思想，掌握極限理論，應(yīng)用極限方法是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。

高中極限知識(shí)是從推理與證明中的數(shù)學(xué)歸納法引入的，數(shù)學(xué)歸納法讓我們接觸到了極限的思想，其主要的概念為：（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立，一般情況下n0取值為1或2，但也有特殊情況，例如我們?cè)谘芯慷噙呅蝺?nèi)角和公式的時(shí)候n從3開(kāi)始；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n0）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。綜合以上兩點(diǎn)可得對(duì)于一切自然數(shù)n命題都成立。在求函數(shù)在某一點(diǎn)x0處的瞬時(shí)變化率的問(wèn)題中，一般取x0所在的一個(gè)區(qū)間，當(dāng)我們逐漸減小區(qū)間的長(zhǎng)度時(shí)，它在這個(gè)區(qū)間的平均變化率趨近于某一個(gè)固定的常數(shù)，這一常數(shù)就稱(chēng)為在此點(diǎn)的瞬時(shí)變化率也就是函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即f′（x）=這些思想都與函數(shù)極限的思想相吻合。下面介紹一下用函數(shù)極限的定義解有關(guān)函數(shù)極限問(wèn)題：

一、函數(shù)極限定義

1.x趨于∞時(shí)函數(shù)的極限

設(shè)f（x）為定義在[a，+∞）上的函數(shù)，A為定數(shù)，若對(duì)于？坌ε>0，都存在一個(gè)整數(shù)M（≥a），使得當(dāng)x>M時(shí)有|f（x）-A|<ε，則稱(chēng)函數(shù)f（x）當(dāng)x趨于+∞時(shí)以A為極限，記作f（x）=A或f（x）→A（x→∞）。

這里的正數(shù)M與數(shù)列極限定義中的N相類(lèi)似（數(shù)列極限定義：？坌ε>0，？堝自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有|xn-a|<ε，則xn=a），表明x充分大的程度；但這里所考慮的是比M大的所有實(shí)數(shù)x，而不僅僅是正整數(shù)n，因此，當(dāng)x→+∞時(shí)函數(shù)f（x）以A為極限意味著：A的任意小領(lǐng)域內(nèi)比含有f（x）在+∞的某領(lǐng)域內(nèi)的全部函數(shù)值。如果設(shè)f（x）為定義在U（-∞）或U（+∞）上的函數(shù)，當(dāng)x→-∞或x→+∞時(shí)以A為極限，分別記作：

通過(guò)以上的例子，我們對(duì)于用定義法求函數(shù)極限有一定的理解，值得注意的是：

（1）定義中的正數(shù)δ，相當(dāng)于數(shù)列極限ε-N定義中的N，它依賴(lài)于ε，但也不是由ε所唯一確定，一般來(lái)說(shuō)，ε越小，δ也相應(yīng)地要小一些，而且把δ取的更小些也無(wú)妨。

（2）定義中只要求函數(shù)f（x）在x0的某一空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，而一般不考慮f（x）在點(diǎn)x0處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值，這是因?yàn)椋瑢?duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)x趨于x0過(guò)程中函數(shù)值的變化趨勢(shì)，如在例3中，函數(shù)在|f（x）-A|<εx=1處是沒(méi)有定義的，但當(dāng)x→1是f（x）的函數(shù)值趨于一個(gè)定數(shù)。

（3）定義中的不等式0<|x-x0|<δ等價(jià)于x∈Uo（xo；δ），而不等式等價(jià)于f（x）∈U（A；ε），于是，ε-δ定義又可以寫(xiě)成：對(duì)于∈U（xo；δ）使得對(duì)一切x∈U（xo；δ）有f（x）∈U（A；ε）。或？坌ε>0，？堝δ>0使得f（U0（xo；δ））？奐U（A；ε）。

用函數(shù)極限的定義解有關(guān)函數(shù)極限問(wèn)題只是用極限思想解眾多題型中的一種，在使用時(shí)一定要牢記定義和使用方法。當(dāng)然了，僅僅熟記公式猶如紙上談兵，必須要多做題目進(jìn)行鞏固。在高中時(shí)，教師一定要將這種思想貫穿于教學(xué)中，讓學(xué)生對(duì)極限有一定的了解，激發(fā)學(xué)生探索極限思想的興趣，為進(jìn)入大學(xué)深入地研究極限打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（作者單位：安徽省渦陽(yáng)第五中學(xué)南校）