淺談函數極限的定義解法

李航

極限是高中數學中比較重要的數學思想，同時也是大學中研究數學分析乃至全部高等數學必不可少的一種重要方法，比如函數的連續性、導數、圓內接正多邊形的面積等問題都牽扯到極限的方法。而且由極限出發產生的極限方法，是數學分析的最基本的方法。更好地理解極限思想，掌握極限理論，應用極限方法是繼續學習數學的關鍵。

高中極限知識是從推理與證明中的數學歸納法引入的，數學歸納法讓我們接觸到了極限的思想，其主要的概念為：（1）證明當n取第一個值n0時命題成立，一般情況下n0取值為1或2，但也有特殊情況，例如我們在研究多邊形內角和公式的時候n從3開始；（2）假設當n=k（k≥n0）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。綜合以上兩點可得對于一切自然數n命題都成立。在求函數在某一點x0處的瞬時變化率的問題中，一般取x0所在的一個區間，當我們逐漸減小區間的長度時，它在這個區間的平均變化率趨近于某一個固定的常數，這一常數就稱為在此點的瞬時變化率也就是函數在此點的導數，即f′（x）=這些思想都與函數極限的思想相吻合。下面介紹一下用函數極限的定義解有關函數極限問題：

一、函數極限定義

1.x趨于∞時函數的極限

設f（x）為定義在[a，+∞）上的函數，A為定數，若對于？坌ε>0，都存在一個整數M（≥a），使得當x>M時有|f（x）-A|<ε，則稱函數f（x）當x趨于+∞時以A為極限，記作f（x）=A或f（x）→A（x→∞）。

這里的正數M與數列極限定義中的N相類似（數列極限定義：？坌ε>0，？堝自然數N，當n>N時，有|xn-a|<ε，則xn=a），表明x充分大的程度；……