有關彈簧的串并聯問題及解答方法

羅澤懷

摘要：本文通過對胡克定律的拓展，即對有關彈簧的串并聯問題做了簡單的剖析，從而使同學們看了后有一個更深刻的認識和理解。

關鍵詞：彈簧；串聯；并聯

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）13-175-01

現在我們剛好學到胡克定律，設計到彈簧問題，但針對彈簧的串并聯及其解答方法來說，同學們還不怎么理解，對他們而言既是重點，也是難點。就此問題說說我對它的一些理解：

一、彈簧的“串聯”

1、首先什么是彈簧的串聯呢？（如圖二所示）兩彈簧相串構成新彈簧的勁度系數為K=K1K2/K1+K2，我們把彈簧相串使用叫彈簧“串聯”。

2、解題思路：即兩個彈簧串聯時，每個彈簧受力都是F，因此有

F=k1x1F=k2x2F=Kx∵x=x1+x2

∴F/k=F/k1+F/k2

即1/k=1/K1+1/k2，或K=k1k/（k1+k2）

（圖二）

n個彈簧串聯，根據所受彈力相等

x1=F/k1，x2=F/k2，……，xn=F/kn

∵x=x1+x2+……+xn

∴F/K=F/k1+F/k2+……+F/kn

即1/K=1/k1+1/k2+……+1/kn（恰好是電阻并聯的情況）

3、應用：例1已知彈簧A的勁度系數為k1=100N/cm，彈簧B的勁度系數為k2=200N/cm，如果把兩彈簧相串使用，在彈簧末端掛一個重為G=30N的物體，求彈簧相串后的等效勁度系數k。

解析如圖二所示，兩彈簧相串使用，當掛上重物，彈簧A、B所受的拉力均為G。設彈簧A的伸長量為，彈簧B的伸長量，則有

（1） G=K1X1X1=G/K1=30N/100N/cm=0.3cm

（2） G=K2X2X2=G/K2=30N/200N/cm=0.15cm

由上面兩式得相串彈簧的伸長量為X=X1+X2=0。3+0。15=0。45 習題：一根輕質彈簧下面掛一重物，彈簧伸長了X1，若將該彈簧剪去，在剩下的部分下端仍然掛原重物，彈簧伸長了X2，則X2∶X1為：

A、3∶4 B、4∶3 C、4∶1 D、1∶4

解析設輕質彈簧原長為L0，則該彈簧等效于4個原長為L0的輕質彈簧的“串聯”，設原輕質彈簧的勁度系數為K，則由前面的推導知，小彈簧的勁度系數K/4。所以，在彈簧剪斷前后掛同一重物，應有，把代入上式得答案為C。

易混淆題：已知物塊A、B的質量均為m，兩輕質彈簧勁度系數分別為K1和K2，已知兩彈簧原長之L1和L2為，不計兩物體的厚度，求兩彈簧的總長度為_____。

錯解兩彈簧是“串聯”，由推導知，彈簧串后的勁度系數為，設兩彈簧壓縮量為，由胡克定律得，把代入得，所以兩彈簧的長度為。

錯解剖析解答錯誤的原因是不經分析就把該題中兩彈簧看成“串聯”。

正確解答由題意知，上面輕質彈簧上的受力為mg，下面彈簧的受力為2mg，設上面彈簧壓縮量為，下面彈簧的壓縮量為，由胡克定律易得mg=K1X1X1=mg/K12mg=K2X2X2=2mg/K2因此知題中彈簧的長度為X=L1+L2-（X1+X2）=L1+L2-（mg/K1+2mg/K2）

二、彈簧“并聯”

1什么叫彈簧的并聯？如圖三所示兩彈簧相并構成新彈簧的勁度系數為K=K1+K2。我們把彈簧相并使用叫做彈簧“并聯”。

2解題思路：兩個彈簧并聯時，各受力為F/2，兩彈簧的形變兩相同，因此有F/2=k1x1F/2=k2x2

F=Kx∵F=F/2+F/2

∴kx=k1x1+k2x2∴K=k1+k2

n個彈簧并聯，各彈簧伸長量相等

k1x+k2x+k3x+……+knx=F=Kx （k1+k2+k3+……+kn）x=Kx

即K=k1+k2+k3+……+kn（恰好是電阻串聯的情況）

3、應用：例2已知彈簧A的勁度系數為K1=250N/cm，彈簧B的勁度系數為K2=150N/cm，如果把兩彈簧相并后，在彈簧的末端掛一重物G=50N，求彈簧相并后的等效勁度系數K。

解析：如圖三所示，兩彈簧相并使用，當掛上重物后，兩彈簧A、B伸長量相同，設兩彈簧的伸長量均為X，由平衡條件得，即，K=K1+K2=250N/cm+150N/cm=400N/cm

習題：如例三圖所示，a、b兩根輕質彈簧，它們的勁度系數分別為k1=120N/cmk2=150N/cm，在下端掛一重物G，物體受到的重力為10N，平衡時物體下降了______cm。

解析由上面的推導知，a、b并聯后彈簧的勁度系數為k=k1+k2=270N/cm，由胡克定律可知G=KXX=G/K=10/270N/cm=1/27cm。

易混淆題：兩根原長相同的輕質彈簧A、B豎直懸掛，其下端用一根跨過動滑輪的細繩連在一起，不計繩與滑輪的質量，兩彈簧原來均無形變，求在動滑輪下掛一質量為的m砝碼后，動滑輪下降了多大？已知彈簧勁度系數分別為k1，k2，彈簧始終保持彈性形變。

錯解剖析解答錯誤的原因是把A、B兩彈簧看成“并聯”，其實不然，該題中的彈簧與“并聯”的區別在于，彈簧“并聯”時，彈簧末端掛一重物，兩彈簧的伸長量相同。該題中的兩彈簧通過繩繞過滑輪相連，兩彈簧上的拉力大小相等，均為，兩彈簧伸長量并不相等。

正確解答：設彈簧A的伸長量為，彈簧B的伸長量為，則由平衡條件可求得。

【總結】彈簧串聯時各彈簧受力相等，關聯時各彈簧伸長量相等，再由胡克定律推導出等效勁度系數K，各彈簧串并聯的勁度系數K情況恰好與電阻的串并聯情況相反。

因此彈簧的串并聯問題，只要同學們理解了上述兩種情況后，我們在解決這類型的題時，基本上的問題都能解決了。