《組合》教學設計（第一課時）

田麗紅

【教材分析】

本節課是普通高中新課標人教版數學選修2-3第一章《計數原理》中的內容，包括組合的概念、組合數公式的探究和應用，分為三課時。第一課時的教學旨在探究組合的概念，組合數公式，并解決一些簡單的計數問題.本節內容在本章學習中起著承上啟下的作用.前面已經學習了兩個計數原理（分類加法計數原理和分步乘法計數原理）和排列的內容.排列與組合的區別在于一個計數問題是否與元素的順序有關.教學中采用類比的方法，通過學生在學習與生活中的實例，引導學生理解組合的概念.學習組合還為后面學習二項式定理打基礎.

【教學目標】

1.知識與技能

理解組合的概念，能寫出一些簡單問題的所有組合，能判斷一個問題是排列問題還是組合問題.掌握組合數公式，并會應用.

2.過程與方法

經歷從特殊到一般的歸納推理，總結排列數Amn與組合數Cmn之間的聯系.

3.情感態度與價值觀

在學習過程中，體會數學思想方法，提升分析問題的能力.

【教學重點】

組合的概念和組合數公式的推導與應用.

【教學難點】

組合的概念和組合數公式的推導.

【授課類型】

新授課.

【教學過程】

一、新課引入

問題1：從甲、乙、丙3名教師中選出2名去參加某天的一項培訓，其中1名教師參加上午的培訓，1名教師參加下午的培訓，有多少種不同的選法？

問題2：從甲、乙、丙3名教師中選出2名去參加某天的一項培訓，有多少種不同的選法？

思考：這兩個問題的區別在哪里？

設計意圖：引導學生通過列舉法解決這兩個問題，再找出排列與組合問題的不同，引出組合的概念.

二、新課講解

1.組合的概念

一般的，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

思考：排列與組合有什么共同點與不同點？

共同點：都要“從n個不同元素中取出m個元素”.

不同點：排列與元素的順序有關，組合與元素的順序無關.

設計意圖：采用類比的方式，通過概念辨析進一步理解組合的概念.

練習1：判斷下列問題是組合問題還是排列問題.

（1）設集合A為{a，b，c，d，e}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個？（ ）

（2）某鐵路線上有6個車站，則這條鐵路線上有多少種不同的火車票價？（ ）

（3）8個班干部中選出3個人去參加義務勞動，有多少種不同的選法？（ ）

（4）在同學聚會上每兩人要握手相互問候，有20人參加聚會，共需握手多少次？（ ）

（5）A、B、C、D、E五個籃球隊舉行單循環賽，有多少場比賽？

（ ）

設計意圖：通過解決生活和學習中的實際問題讓學生進一步理解組合的概念.

練習2：（1）從a，b，c三個元素中取出2個元素的所有排列是

.

（2）從a，b，c三個元素中取出2個元素的所有組合是 .

設計意圖：一是加深對組合的理解，二是為引出組合數的概念與組合數公式的推導做鋪墊.

2.組合數

（1）組合數的概念：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數.用符號Cmn表示.

例如：從3個不同元素中取出2個元素的組合數為C23=3，從4個不同元素中取出3個元素的組合數為C34.那么C34是多少呢？

設計意圖：讓學生對組合數的概念及符號有初步的認識，引發學生對組合數的求知欲.

（2）組合數公式的推導.

提問：從4個不同元素a，b，c，d中取出3個元素的組合數 是多少呢？

①啟發：由于排列可以看成先選擇再排序，而從4個不同元素中取出3個元素的排列數A34可以求得，我們看一下C34和A34的關系，如下：

組合 排列

abc → abc，bac，cab，acb，bca，cba

abd → abd，bad，dab，adb，bda，dba

acd → acd，cad，dac，adc，cda，dca

bcd → bcd，cbd，dbc，bdc，cdb，dcb

由此可知：每一個組合中3個元素都有A33種排列.所以，求從4個不同元素中取出3個元素的排列數A34，可以分如下兩步：

第1步，求出從4個不同元素中取出3個元素的組合數C34；

第2步，求出每一個組合中3個不同元素的全排列數A33.

由分步乘法計數原理得：A34=C34·A33，從而C34=.

設計意圖：通過解決特殊問題，然后從特殊到一般探索組合數的求法.

②推廣：一般的，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數Amn，可以分如下兩步：

第1步，求出從n個不同元素中取出m個元素的組合數Cmn；

第2步，求出每一個組合中m個不同元素的全排列數Amm，

根據分步乘法計數原理得：Amn=Cmn·Amm

③組合數公式：

另外，我們規定：C0n=1.

三、知識應用

例1.計算：（1）C46 （2）C510 （3）C28-C37

練習：課后25頁第5題.

設計意圖：組合數公式的應用.

例2.甲、乙、丙、丁4個足球隊舉行單循環賽，有多少場比賽？

（1）列出所有各場比賽的雙方；

（2）列出所有冠亞軍的可能情況.

練習：課后25頁第1題.

設計意圖：通過解決實際問題，加深學生對組合概念的理解，對組合數公式的應用.

四、課堂小結

1.組合的概念，與排列的區別與聯系.

2.組合數的概念及組合數公式的推導與應用.

五、作業布置

課本第25頁練習第2、3、4題；第27頁習題1.2A組第9、11、12題.

【板書設計】（略）

【教學反思】

本節課是組合的第一課時，主要目標是學習組合的概念，探究組合數公式，解決簡單的計數問題.教學中，以實際問題的解決為背景引入新課，充分調動學生的學習積極性，并注重滲透數學思想方法（類比法和歸納法），讓學生在學習知識的過程中，領會常見的數學思想方法，提升學習數學的能力.

編輯 韓 曉