追尋充盈“數學味”的課堂

余榮軍 王建榮

“釘子板上的多邊形”是蘇教版五年級《數學》的教學內容，教學這一課時，余榮軍老師使學生在探索規律、發現規律和表達規律的過程中，進一步感受數學抽象的意義，培養比較、分析和簡單推理的能力，增強發現問題、提出問題的意識，積累數學活動經驗。下面筆者擷取三個教學片段與同仁共賞。

【片段一】激趣生疑，引發猜想

師：你能在釘子板上圍一圍多邊形嗎？ 要求每人圍3個不同的多邊形。

師：你圍了哪些圖形？

生：長方形、正方形、梯形、五邊形、不規則圖形……

師：請你用數學的眼光仔細觀察自己圍的3個多邊形，你有什么想說或想問的嗎？

……

師：今天這節課我們就重點研究釘子板上多邊形的面積問題。

師：這是圍在釘子板上的多邊形，你覺得它們的面積大小可能會與什么有關系呢？猜猜看。

生1：跟釘子有關。

生2：可能與邊上的釘子數有關，因為我發現多邊形邊上的釘子越多，面積就越大。

生3：也可能跟里面的釘子數有關。

…………

【賞析】在本教學片段中，余老師開門見山地引入新課，直接問學生關于釘子板上多邊形的情況，顯得干凈利落。通過觀察引導學生進行合理猜想，引出學習內容，為新知的探究奠定了基礎。

【片段二】引導探究， 探尋規律

1.研究里面有一個釘子的多邊形面積

師：為了研究的方便，我們用點子圖來代替釘子板，這里的點子就相當于釘子板上的釘子。

（教師隱去釘子板，顯示點子圖。）

師：今天的研究活動，我們從簡單的圖形入手，這3個圖形在圍法上有什么相同的地方？

（教師出示教材中3個圖形。）

生：里面都是一個釘子。

師：那么邊上的釘子數一樣嗎？（不一樣）

師：數數看，這個三角形的邊上有幾個釘子？

師：為了便于分析，我們把這些數據以表格（表格略）的形式呈現出來。

師：梯形呢？第三個多邊形呢？

師：你能求它們的面積嗎？三角形的面積是多少？你是怎么想的？

師：剛剛我們通過對圖形的觀察與思考得到了這3組數據，現在請大家仔細觀察、比較表格里的數據，你能有什么新的發現？

（板書：觀察。）

生：它們的面積都是邊上釘子數的兩倍。

師：如果用S表示這些多邊形的面積，n表示它們邊上的釘子數，你能用一個簡單的式子把它們的關系表示出來嗎？

（板書：S=n÷2。）

師：是不是所有里面有一個釘子的多邊形都會有這樣的發現呢？

師：不能確定，是吧？那對我們來說這樣的發現就只是一種猜想，現在你認為應該怎么辦？

（板書：猜想、驗證。）

師：那你們打算怎樣驗證？

生：畫一個中間只有一個釘子的多邊形，先數出邊上的釘子數，求出它的面積，再看看邊上的釘子數是不是面積數的兩倍。

【賞析】學生很容易發現里面有一個釘子的多邊形面積規律，因此這個教學環節的著力點，教師重在讓學生領悟“觀察—猜想—驗證—結論”這樣的規律探究的科學方法上，抓住數學學習的本質，讓課堂充滿了“數學味”。

2.研究里面有兩個釘子的多邊形面積

師出示合作研究要求：

（1）在學習研究單上畫一個里面有2個釘子的多邊形，并完成表格；

（2）將所得數據填在小組研究單上；

（3）組內觀察、比較每組數據，發現規律。

（小組匯報。選擇第三小組和第五小組的研究單，組長進行匯報。第三小組的結論：S=n÷2+1。第五小組的結論：n=2S-2。）

得出規律，板書：S=n÷2+1。

【賞析】里面有兩個釘子的多邊形面積規律是本課的教學難點，教師讓學生運用前面得出的研究方法嘗試著探尋規律，采用獨立思考與小組合作相結合的方式得出初步結論，探究既有挑戰性，又有激勵性，充分激活了學生的潛能。

3.引導類推，發現規律

師：現在我們一起觀察黑板上的兩個發現，請你先讀一讀，上下聯系起來比一比，再靜靜地想一想：如果想接著寫下去，當里面有3個釘子、4個釘子時，S又會等于什么呢？有什么新的想法嗎？

師：大家都有想法是嗎？先不說出來，請同桌兩人一組一人驗證里面有3個釘子的猜想，另外一人驗證里面有4個釘子的猜想，驗證好后再互相交流一下自己的想法，看看是不是跟你的猜想是一致的，好嗎？

師：都跟你的猜想一致嗎？誰愿意交流一下？

（師生交流發現：里面有3個釘子時，S=n÷2+2；里面有4個釘子時，S=n÷2+3。板書：S=n÷2+2，S=n÷2+3。）

師：再次觀察這些發現，現在你還能接著寫下去嗎？

師：這樣寫下去寫得完嗎？有什么新的想法？

生：用一個式子表示。

師：說出你的想法。

生：用字母表示里面的釘子數，面積數等于邊上的釘子數除以2加上里面的釘子數減1。

師：如果用字母b表示里面的釘子數，面積S等于什么呢？

生：S=n÷2+b-1。

【賞析】教師引導學生用類比推理的方法初步得出里面是3個及4個釘子的多邊形面積，再進行驗證，發現規律。并再次讓學生通過觀察、討論、驗證得出釘子板上多邊形面積的規律，層次分明，充盈著濃濃的“數學味”。

【片段三】文化滲透，總結評價

1. 回顧：今天學習了什么內容？

2. 整理：通過什么方法進行研究的？

3.文化滲透：介紹奧地利數學家喬治·皮克與“皮克定理”；介紹我國著名數學家閔嗣鶴所著的《格點和面積》，了解正方形格點多邊形，拓展三角形格點多邊形。

【賞析】縱觀余老師這節數學課，關注的是營造濃濃的“數學味”。教師能以數學內容為源泉，以數學問題為紐帶，以數學思考為靈魂，以數學思想為核心，以數學文化為背景構建有“數學味”的課堂。

1.創設情境，生成問題。愛因斯坦指出：提出一個問題往往比解決一個問題更重要。我們的理解是：解決一個問題也許只是一項技能的形成，而提出新的問題，卻需要有創造性的想象力，是培養學生創新能力的有效路徑。怎樣讓學生提出有價值的數學問題呢？以本課的“激趣生疑，引發猜想”這一環節為例，教師創設了讓學生圍多邊形的活動情境，一方面旨在激發學生的學習興趣，另一方面使學生在“動手做”的過程中初步感受到圍的圖形不同，邊上的釘子數不同，里面的釘子數也就不同，能主動提出有價值的數學問題，增強提出問題的意識。如果教師不加以引導，學生會提出許多非數學本質性的問題，因此課堂上余老師特別指出：請你用數學的眼光去觀察所圍的圖形，你有什么想說或想問的？這樣淡化了情境的“生活味”，放大了情境的“數學味”，課堂上生成的問題更具指向性，激發了學生學習探究的內驅力。

2.方法引領，探究規律。蘇霍姆林斯基說：只有能夠激發學生去進行自我教育的教育，才是真正的教育。本課在“引導探究，探尋規律”的環節中，教師主要采取由扶到放的方法，讓學生學會自主學習，進行自我教育。這一環節共分為4個層次，其中第一個層次是師生共研多邊形里面有1個釘子的多邊形面積規律，規律的發現并不難，所以教師的教學重點定位在“你是怎樣發現這樣的規律”的話題研討上，課堂上充分給予學生回顧反思的時間，讓學生形成探尋規律的方法，即觀察—猜想—驗證—結論。在學生初步領悟探尋規律的方法后，余老師放手讓學生自主探究多邊形里面有2個釘子的面積規律，進入第二層次的學習。這是本節課的學習難點，學習具有挑戰性，但有了前面方法的引領以及小組之間的同伴互助，課堂上學生研究的熱情很高，大多數學生已儼然像個小小數學家，學會了在觀察中思考，在思考中提出猜想，并進行驗證。探究的過程中學生經歷著困惑與頓悟，享受著成功的愉悅，“數學味”充滿了探究活動的整個過程，充分激活了學生的學習潛能。

3.史料呈現，彰顯文化味。《數學課程標準》指出：“數學是人類文化的重要組成部分。”應該說課堂上一切有效的活動都是數學文化的融入。數學文化，可憑生活體現它的價值，可借活動詮釋它的本質，可用美學展示它的魅力。而本節課中教師除了滲透數學文化，還充分推介數學史料，以彰顯它的內涵。教學中，教師通過史料呈現與問題提及，使學生在受到文化熏陶的過程中感受到了規律的有趣與實用，同時許多新的問題也在學生的頭腦中膨脹，盡管本節課結束了，但學生的神情告訴筆者，他們探究的熱情不減，行動不止，“數學味”在“文化味”的烘托下繼續延展。

（作者單位：江蘇省鹽城市新河實驗小學）

□責任編輯 周瑜芽

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