與學生一起“玩”數學
——“數與形”教學實錄及設計思路

張新春

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與學生一起“玩”數學
——“數與形”教學實錄及設計思路

張新春

一、課前談話

師：同學們好，老師姓張，大家可以叫我張老師。第一次和大家一起學習數學，給大家帶來了一個小禮物。大家請看：這是一張老照片，照片中有一個老爺爺正在寫字，一共寫了三個半字，你能看出老爺爺寫的是什么字嗎？

生：數學好玩。

師：非常好！數、學、好這三個字是看到的，玩字呢？我可沒看到玩字。

生：想出來的！

師：非常聰明，見識也廣。看得見的能看清楚，看不見的能想到，這很了不起。待會學習過程中，我們也要發揮這種精神，仔細觀察，把看得見的看清楚，認真思考，發揮想象，把背后的東西想出來。

師：對了，認識照片中這位老爺爺嗎？（生：不認識）這位老爺爺叫陳省身，是一位著名的數學家?！皵祵W好玩”這四個字就是陳省身爺爺送給像我們這么大的小朋友的。數學好玩，你相信嗎？

生：相信。

師：你們玩過數學嗎？今天我們一起來玩一玩怎么樣？那好！準備好了嗎？開始上課吧。

二、范例啟示

師：這是一個正方形網格（如圖1），老師的問題是：這里面一共有多少個單位小正方形？

圖1

生：25個。

師:很好，怎么計算呢？

生：5×5。

師：嗯，不錯。如果我把這個網格去掉，只看5×5這個算式，你們能想象出原來的網格嗎？（課件中網格消失）

生：能！

師：挺好。（再次出示網格）是這個樣子嗎？一個圖形能讓我們想起一個算式，而一個算式又能讓我們想起一個圖形。看起來，數與圖形之間存在著密切的關系。這節課，我們就研究這種關系。（板書課題：數與形）

師：有個問題，這個網格中單位小正方形的個數，除了用5×5計算外，還有沒有別的算法？也許你會覺得這個問題很奇怪：除了用5×5計算，還能有什么好辦法呢？別忘了陳省身爺爺說的“數學好玩”，有時候我們就是要這樣于無問題處提出問題。也許你還不太習慣，要不先看看人家是怎么做的？先來看一個二年級同學做的（如圖2）。很顯然，這里的單位正方形的個數還是5×5。這個二年級同學把這些正方形涂成了不同的顏色，他還打算怎么算呢？

圖2

生1：5+5+5+5+5。

師：其他同學覺得呢？你們真是他的知音。他正是這樣想的。現在的問題是，同樣是這個網格里的單位正方形個數，一方面是5×5，另一方面是5+5+5+5 +5，若綜合這兩方面考慮，這兩個算式之間可以用什么符號連接？

生：等于號。（師根據討論進程出示圖3）

圖3

師：再來看一個六年級同學的做法。（出示圖4）當然，單位正方形的個數還是5×5。你們能看懂這個六年級同學打算怎樣算嗎？

圖4

生2：1+2+3+4+5+4+3+2+1。

師：看來你很懂這位同學，也很懂數學。那綜合這兩方面，你們能不能得到一個等式呢？

生3：1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5。（師根據討論進程出示圖5）

圖5

師：有沒有覺得這個圖形和這個算式都很漂亮？數學上的美往往體現出一種和諧與對稱?，F在我把這個圖形去掉，只留下這個算式，你能根據這個算式想象出圖形嗎？如果我把算式去掉，只留下圖形，你能從這個圖形中看出這個算式嗎？（依次出示圖形，如圖6所示）

圖6

三、動手實踐

師：同樣是計算這個5×5的正方形網格中單位正方形的個數，如果我們能發揮自己的想象，想出其他的算法來，不同樣也可以發現一些漂亮的等式嗎？大家試試看。

學生獨立研究，教師展示學生作品，并選出兩幅（圖7、圖8）討論。（這幅圖說明一個什么樣的等式？可以推廣嗎？）

師：先看圖7，誰能看懂？

圖7

生4：1+2+3+4+5+4+3+2+1。

師：很好，不過還只是一方面。

生5：1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5。

師：好很，我專門準備了這幅圖（課件出示），不過在我這幅圖中，你看到的還只是一部分，大幕還可以拉開的。想象一下，如果大幕拉開一點點，會出現一個什么圖，又會是一個什么等式呢？

圖8

生6：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6。

師：是的。大幕可以拉開，也可以關上。還會有哪些等式？

（學生回答出一系列等式，類似地討論圖8，略）

四、解決問題

師：數與形的結合，不僅可以形象地解釋規律，還可以直觀地解決問題呢。請看：。這是一個分數連加的問題，按常規的做法，先通分，然后計算。如果考慮到數與形的結合，會不會有什么好辦法呢？

生7：畫圖！

師：很好的想法，要畫圖表示這些分數的和，先要確定什么呢？

生8：單位“1”。

師：什么可以作單位“1”呢？正方形可以，線段也可以。請你畫一畫，看能不能直接寫出這個加法算式的結果。

學生獨立思考后匯報——

生9：這是我的圖形（如圖9），從圖中可以看出：。

圖9

師：如何可以看出？

生：……

生10：表示涂色部分的面積。

師：那等式的右邊呢？

生11：表示1減去空白部分的面積，也就是涂色部分的面積。

師：很好，這個等式表示我們把涂色部分的面積算了兩次。左邊這一次比較難，是出題的人讓我們算的，右邊的一次比較容易，是我們通過畫圖想到的。我們用簡單的算法求出了復雜問題的結果。還有不同的算法和圖沒有？

生12：我畫的是線段圖。（圖略）

師：能看懂嗎？

生：能！

師：這一次是把什么算了兩次？

生：線段。

五、欣賞拓展

師：非常好！今天，我們用數與形的結合，干凈利落地解決了與數有關的問題。這個世界上有一些人致力于用圖形解決數的問題。他們的解題過程只需一個圖而不必有一個字，被稱為“無字證明”。這里給大家看幾個圖（出示圖10），你可能看不懂，不要緊的，說不定哪天你又會見到它們，那時候你會覺得特別親切。

圖10

師：到這里，老師想給大家介紹兩位數學家，一位叫華羅庚，他有一段很有名的話：數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。還有一位數學家，大家可能不太熟悉，叫富比尼，是意大利數學家，關于他，最著名的是以他的名字命名的“富比尼定理”，也就是我們今天說的“算兩次”。

師：好了，還記得陳省身爺爺說的“數學好玩”嗎？想不想利用華羅庚先生的“數形結合”與富比尼的“算兩次”再來玩一回過癮的？

生：好！

師：（出示圖11）這里有3個大正方形，你們認為哪個大，哪個小？怎么看出來的？

圖11

生：一樣大，邊長都是a+b。

師：非常好。我們來算它們的面積。第一個，顯然是（a+b）2，接下來算第二個，這個正方形被分成了4塊，我們就一塊一塊地算吧。誰知道計算？

生：a2+b2+ab+ab。

師：很好，既然算的是同樣大小的正方形的面積，它們就應該相等。那么我們就可以得到一個等式：（a+b）2=a2+b2+2ab。左邊是關于正方形面積的一種算法，右邊是另一種算法，算兩次！看出來了嗎？再來看第三個正方形，它被分成了5塊，算一算，結果應該是什么？

生：c2+2ab。

師：既然第二個正方形與第三個正方形也是一樣大的，那么我們可以得到什么等式？

生13：a2+b2+2ab=c2+2ab。

生14：就是a2+b2=c2。

師：這個等式就更厲害了。有人知道嗎？

生：勾股定理。

師：了不起。這個等式，兩三年后，你又會在數學課里看到它。到那時，老師特別希望你能記得，在六年級時就有一個老師跟你說過這些，而且特別簡單！能記得嗎？

生：記得！

師：好！今天的課就上到這！