讓學生在“錯誤”中成長
——例析寧德市中考數學中的常見錯誤

趙鄭國

（柘榮縣第三中學，福建柘榮355300）

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讓學生在“錯誤”中成長
——例析寧德市中考數學中的常見錯誤

趙鄭國

（柘榮縣第三中學，福建柘榮355300）

摘要：中考數學中，學生常見錯誤有概念理解不透徹、公式理解不透、方程解法錯誤、分類討論不足、動手能力差、恐應用題癥、閱讀能力差、識圖能力差等。教師應正確對待“錯誤”，并分析“錯誤”產生的原因，并采取對策積極改進，讓“錯誤”資源“變廢為寶”。

關鍵詞：中考數學；錯誤分析；對策

俗話說“金無足赤，人無完人”，“錯誤”對于每個人都是不可避免的，特別是對正在成長發展階段的中學生來講，各類“錯誤”更是“遍地開花”，這不僅困惑著學生，同樣也困惑著教師。這就要求我們給學生“把脈”，并有針對性地解決學生產生的各類“錯誤”，培養學生“知錯”“改錯”“防錯”的良好習慣，在今后的學習中取得更好的成績。另外隨著學生由小學升入初中，由于知識、內容的不斷增加，往往比小學階段更容易出現學習成績兩極化。特別到了九年級以后有些班級的后進生的面積達到30％-50％，這要引起我們認真思考。現利用寧德市近幾年中考試題進行評析學生答題常見的“錯誤”，幫助學生從“錯誤”中悟出原因，“吃一塹，長一智”真正起到糾錯的作用。

一、常見錯誤分析

（一）概念、公式理解不透徹，模糊混淆［1］

一方面概念教學是任何學科都不可缺少的。數學知識是在一個接一個的概念中串聯起來的，而數學概念的教學與理解正確與否會直接影響到數學公式、法則、定理等學習。然而學生在學習概念時往往還保留著小學生“死記硬背”的方法去背概念，出現了概念背得“滾瓜爛熟”而沒有真正理解它的含義和本質，在解題是“生搬硬套、不求本質”的狀態，從而錯誤連連。例1.（2009年寧德市）-3的絕對值（）［2］

錯誤剖析：本題主要考察了絕對值的概念，學生選擇D主要原因在于絕對值與倒數的概念混淆不清。絕對值本身是初中的一個難點，但考題比較簡單，學生只要明白“任何數的絕對值是一個非負數”就可以排除B、D而選擇A。像絕對值、相反數、倒數等概念都是中考最常見的簡單的概念考點之一，只要考生認真對比分析它們的內在本質就可以輕易得分。

例2.（2008年寧德市）寧德市位于福建省東北部，有漫長的海岸線.據測算，海岸線總長約為878000米，用科學記數法表示這個數為（）［2］

A.0.878×106米B.8.78×106米

C.878×103米D.8.78×105米

錯誤剖析：科學計數法的表示形式為a×10n，并且1≤a＜10，n為整數的規定。本題的形式都一樣，選擇A沒有注意到條件1≤a＜10，選擇B的學生對a×10n中n沒有理解透徹而導致錯誤。

另一方面數學公式無處不在，深入到數學運用的各個環節，因此對公式的理解與運用也十分重要。要想正確運用公式的前提是要正確了解公式的來龍去脈，特別要認清公式的一些基本特征，其次要對比不同公式的異同點。例如冪運算中的一組公式am·an= am+n、am÷an=am-n、（am）n=amn、（ab）n=anbn及平方差和完全平方公式（a+b）（a-b）=a2-b2、（a±b）2=a2±2ab+b2則最容易出現錯誤。同樣我們在教勾股定理中經常碰到這么一個問題，不少學生背住a2+b2=c2，卻不理解a、b、c所表示的意義，其實該定理的實際意義是“直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，其中a、b、表示直角邊，c表示斜邊”。若a、b、c所表示的意義改成a、c表示直角邊，b表示斜邊，那公式則變成a2+ c2=b2。如果只認字母不理解公式的真正意義就會出錯，這就是典型的公式理解不透，死記硬背。

例3.（2011年寧德市）下列運算正確的是（）［2］

A.a+a2=a3B.a·a2=a3C.a6÷a2=a3D.（3a）2=6a2

錯誤剖析：本例是常見的冪運算的題型，這組公式特別容易混淆，學生常把am·an=am+n、am÷an=am-n、（am）n=amn、（ab）n=anbn混淆成am＋an=am+n、am·an=am+n、am÷an= am÷n、（am）n=am+n、（ab）n=abn的錯誤，導致學生選擇A、C、D。

例4.（2008年寧德市）化簡，求值：（x-3）2-x（x-8），其中

錯誤剖析：學生將完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+ b2混淆成（a±b）2=a2±b2，平方差公式和完全平方公式沒有認清，出現（x-3）2＝x2－32的錯誤。問題在于學生沒有記住兩個公式的特征，即完全平方公式展開有三項，出現了最簡單的錯誤。

（二）方程解法錯誤

方程是初中數學研究的主要內容之一，從一元一次方程、一元二次方程、分式方程到方程組，這些知識貫穿著整個數學知識體系。學生出現錯誤的地方有方程漏解、應用題未檢驗根的合理性及分式方程未檢驗增根等。因此，我們要教會學生在解方程時要認清不同的方程其解的個數是不一樣的。對于初中階段的學生而言怎樣區別解的個數呢?記住只要認清方程的未知數的次數：未知數一次的一個解、未知數兩次的兩個解、分式方程先解再檢驗，分母為零無解為增根。

例5.（2009年寧德市）方程x2-4x=0的解是_____ _______________［2］

錯誤剖析：本題的正解有兩個分別為x=0或x= 4。學生常見的錯誤只有一個解，如果能認清方程的未知數次數為兩次其必有兩個解就不會出現漏解的情況出現。

錯誤剖析：本例學生可以解出x=1，但有部分學生沒有進行檢驗而出現錯誤。由于分式方程在變形時要用到去分母，會使未知數取值范圍擴大，從而有可能產生增根。相對整式方程解方程不需要將驗根的過程在書面寫出來，而分式方程則要在試卷中體現，否則解題不完整。

（三）分類討論不足，結果不全面

分類討論是數學解題中最常見的一種思想方法，歷年來各省市中考對分類討論都比較重視，中考的壓軸題幾乎每題都要運用分類討論的數學思想來解題。

例7.（2005年寧德市）在活動課上，小紅已有兩根長為4cm、8cm的小木棒，現打算拼一個等腰三角形，則小紅應取的第三根小木棒長是_____cm。［2］

錯誤剖析：等腰三角形是最常見的分類討論的題型之一。由于該題告訴大家的是兩邊長，沒有明確哪邊是腰、哪邊是底邊，因需要分類討論，當4為腰時，則三邊長為4、4、8，當4為底時，則三邊長為4、4、8，學生容易得出答案為4或8。但本題除了分類討論外，還需滿足“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”故4、8、8不滿足題意要舍去。

（四）動手能力弱，缺乏生活常識

新課標要求學生不但要學會知識，還要會利用所學的知識與技能解決問題，發展實踐能力和創新精神，現在的試題不但緊扣時代脈搏，還會讓試題“動”起來，要求學生要有一定的動手與創新能力，并要有一定的生活常識。

例8.（2012年寧德市）將一張正方形紙片按圖①、圖②所示的方式依次對折后，再沿圖③中的虛線剪裁，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得到的圖案是（）［2］

錯誤剖析：本例是一個典型的動手操作的題目。學生的錯誤之處是缺乏生活中的折紙實踐，未能看明白圖中①-④的步驟中折紙所表示的意思（特別是②到③是關鍵）而導致錯誤。本例只要學生能正確折紙，再將結果展開便可得到正確地答案。

（五）應用題“恐懼癥”

縱觀寧德市近幾年的應用題看整體比較簡單，但學生卻一看見應用題就形成一種定勢“難”“我不會解”，主要原因在于我們學生怕應用題而不去接觸應用題。我市的應用題每年都選擇不同的社會熱點問題進行編寫，并以列二元一次方程和分式方程為主。

例9.（2011年寧德市）某旅行社2010年1～5月份，接待前往以福鼎太姥山、屏南白水洋、福安白云山為主要景點的寧德世界地質公園的游客5000人.今年同期比去年增加40％，其中外地游客增加50％，本地游客增加10％。求2010年1～5月份該旅行社接待外地游客和本地游客分別是多少人？［2］

錯誤剖析：本例是近年來比較容易出現錯誤的一道題，主要失分點在于題目中的“今年”特指本次中考的時間為2011年，而不少學生為未能認真分析題意，列不出方程。

例10.（2008年寧德市）5月12日14時28分，四川汶川發生了8.0級大地震震后兩小時，武警某師參謀長王毅奉命率部隊乘車火速向汶川縣城開進．13日凌晨1時15分，車行至古爾溝，巨大的山體塌方將道路完全堵塞，部隊無法繼續前進，王毅毅然決定帶領先遣分隊徒步向汶川挺進，到達理縣時為救援當地受災群眾而耽誤了1小時，隨后，先遣分隊將步行速度提高，于13日23時15分趕到汶川縣城。

（1）設先遣分隊從古爾溝到理縣的步行平均速度為每小時x千米，請根據題意填寫下表：

（2）根據題意及表中所得的信息列方程，并求出先遣分隊徒步從理縣到汶川的平均速度是每小時多少千米？［2］

錯誤剖析：本例題目較長要求學生正確從題目中提煉出正確地相等關系，而設計的表格填空是為了降低難度讓學生更容易找出相等關系。由于學生未能正確讀表格，讓表格成為不少學生的“攔路虎”，不能正確填出表格導致錯誤。其實應用題的關鍵在于審題，這要求我們學生要多讀題目正確找出題中的兩個相等關系。解題時要“靜心”“耐心”“用心”，千萬別“煩心”，只要用心做好“四心”，那你離解好應用題就不會太遠了。

（六）閱讀能力差，障礙重重［3］

閱讀理解題是近幾年各地中考的熱門試題之一，它常以一段文字的形式出現，題目的形式與內容較多，有舊知識的改變情景問題的閱讀，也有新知識的閱讀（如舊課本所刪掉的知識、高中知識等）。讓學生閱讀后理解其內容后總結出做法，再模仿其做法解決一些問題。閱讀題可以充分考察學生的自學水平和知識的運用能力。

例11.（2013年寧德市）定義：在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若垂線與坐標軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個點叫做“和諧點”．

如圖1，矩形ABOC的周長與面積相等，則點A是“和諧點”

（1）判斷點E（2，3），F（4，4）是否為“和諧點”；

錯誤剖析：本例主要講解一個簡單定義，相對于題目較長的閱讀題來講內容少，比較集中沒有多余的字眼。學生容易解出第一小題，第二小題學生可以得出答案，但容易將答案漏掉。此題主要考查了新定義以及反比例函數的綜合應用以及一元二次方程的解法，根據定義得出正確信息是解題關鍵．

（七）識圖能力差，難解題意［3］

打開每份中考試題，里面五花八門、各式各樣的圖形都有，識圖也是學生需掌握的一項基本技能。初中數學中常見的圖形有幾何圖、坐標圖、示意圖、實物圖等，這些圖形使試卷更加鮮活生動。但如何在各類圖形中正確找出相關的信息，是要求學生要有一個穩定的知識基礎與過硬的解題能力。坐標軸則是最常見的一種圖形，但對于不同的坐標所表示的意義也是不同的。同一個內容在坐標軸中用不同的單位長度來表示，所呈現的圖形也是不一樣的。最常見的在坐標軸上體現業績時，人們常會將縱坐標的單位長度進行變化，讓圖像上升的趨勢顯得更陡，給人以業績增長得快的感覺。

例12.（2005年寧德市）17．某山區今年6月中旬的天氣情況是：前5天小雨，后5天暴雨。那么反映該地區某河流水位變化的圖像大致是（）［2］

錯誤剖析：本例要求學生明白小雨與暴雨的雨量的大小對河流水位的變化是不同的，顯然B、C是錯誤的，而暴雨的雨量大，水位變化大，因此圖形更陡，所以選A。

二、對策與建議

（一）正確對待“錯誤”

“錯誤”往往是正確、成功的開始，我們教師要善于“捕捉”學生學習中方方面面知識的錯誤點［4］，并及時做好錯例登記與分析，并將其轉化為教學中的例題進行講解。同時在教學是要積極鼓勵學生認真對待錯誤、分析錯誤，充分利用錯誤資源，并將其轉化為學習中的重要資源。

（二）了解錯誤產生的原因

1.外因：由于小學升初中我們對學生的認知水平和教學要求都有所不同，特別是初中字母的引入會妨礙學生學習初中的新知識（學生經常會在“用字母表示數”和代數式的計算后開始產生許多的錯誤）。另外，一些學生的粗心大意、審題不清、解題丟三落四也容易產生錯誤，還有數學的符號問題再加上考試時的緊張也會出現一些不該錯的地方出現錯誤，出現失分。

2.內因：首先，學生知識未掌握清楚，特別是學生一些概念、定理、公式等只了解皮毛，但學生卻往往自認為掌握不錯，就沒有進一步鞏固，容易出現知識的“假掌握”，進而常常未能真正運用自如地解題。其次，由于初中的知識點比小學的知識點增加許多，但學生只了解這些知識點，沒有將知識進行歸納、對比，以便形成知識的網絡化、系統化，這樣就容易出現知識點之間的相互干擾。知識的相互干擾也是學生產生錯誤的主要來源之一。［5］

（三）加強學生基礎知識的教學與解題指導

只有牢固的數學知識基礎才是學好數學知識的根本，因此教學要從基礎抓起，課堂內要豐富基礎知識的教學，讓學生真正的掌握牢固的數學基礎知識而徜徉于數學知識的海洋。另外，不少學生不懂正確地讀題、解題也是導致錯誤的原因。因此，要求教師要善于總結各類題型并做好這些題型的解題指導，讓學生遇題“不慌”、冷靜的解決問題。

總之，面對“錯誤”師生都要做好充分地準備去迎接它，讓其“變廢為寶”，創造性地在運用好“錯誤”資源，讓學生在“錯誤”中健康成長。

參考文獻：

［1］顧香才.從學生的解題錯誤透視教師的教學失誤——一次質量分析座談會的記錄［J］.中小學數學（中學版），2006(4) .

［2］2005-2013年福建省寧德市初中畢業升學考試（數學卷）.

［3］王后雄.初中數學考試失分點例析［M］.北京：龍門書局出版，2002.

［4］曹少華.從“錯誤”中生成新的學習［J］.福建教育，2004（4）.

［5］王保順.初中學生數學解題錯誤原因及對策［J］.中小學數學（中學版），2008（3）.

中圖分類號：G630

文獻標識碼：A

文章編號：1673-9884（2016）03-0028-04

收稿日期：2015 - 12 - 26

作者簡介：趙鄭國（1977-），男，福建柘榮人，柘榮縣第三中學一級教師。