二次函數與一元二次方程的根與系數的關系

羅蓉

在二次函數與一元二次方程的根與系數的關系中，主要講解了兩個方面的問題：一是用圖像法求方程的近似根；二是用方程的方法研究圖像與x軸交點個數以及交點求法. 其實解決這兩個問題都需要運用數形結合的思想.

二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是一條拋物線，這條拋物線與x軸有三種位置關系：（1）有兩個交點；（2）只有一個交點；（3）沒有交點.

當拋物線與x軸有兩個交點時，這兩個交點大致有下列三種位置關系：（1）同在原點的右邊；（2）同在原點的左邊；（3）在原點的兩旁.

因為x軸上點的縱坐標都是0，所以研究上述問題，就變為研究一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的判別式、根與系數的關系的問題了.

對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），若Δ=b2-4ac>0，則該函數的圖像與x軸必有兩個交點，這兩個交點的位置與一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根與系數的關系對應如下：

設一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的兩根為x1、x2則有

1. 若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的兩個交點同在原點左邊時：x1+x2<0，且x1x2>0.

2. 若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的兩個交點同在原點右邊時：x1+x2>0，且x1x2>0.

3. 若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的兩個交點位于原點兩旁時：x1x2<0.

解決有關二次函數的圖像與x軸的交點的位置問題，一定要同時考慮一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的判別式和根與系數的關系. 在這類問題中，我們經常會遇到這種類型的題：

通過以上三個例題的兩種解題方法來看，利用數形結合的思想，不失是一種很好的解題途徑，可以使復雜的計算簡單化，有利于提高解題效率.