概念新授應重視“關聯舊知”的梳理
——基于兩則“二次根式”的引入判斷的分析

☉江蘇省如東縣實驗中學　朱　玲

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概念新授應重視“關聯舊知”的梳理
——基于兩則“二次根式”的引入判斷的分析

☉江蘇省如東縣實驗中學朱玲

概念教學是一項“推陳出新”的技術活，“推陳”并不是對舊知的摒棄，而是有目標地繼承舊知中對后續學習影響較大的內容，從而引出新的、更高層面的概念.因此，概念新授應重視與新知關系較為密切的舊知（下稱“關聯舊知”）的梳理，力求在教學中讓新概念合理而有效地“扎根”于關聯舊知之上，實現新舊知識之間的“無縫對接”.現結合人教版八年級下冊“16.1二次根式”的兩則差別明顯的引入片斷，談談筆者對此的看法，希望能給大家的教學帶來啟示.

一、“二次根式”兩則引入片斷

引入片斷1

問題設計：

（1）回顧平方根的定義并說說其表示方法；

（2）回顧算術平方根的定義并說說其表示方法；

（3）填空：

①一個正數有____個平方根，它們_____；

②0的平方根是_____，_____沒有平方根.

過程簡述：教師連續投影呈現如上三題，請學生作答.由于平方根和算術平方根的概念離學生“較遠”，很多學生已經淡忘，在回答第（1）題和第（2）題時，不少學生給出了很不規范的結論，教師十分著急，為了推進教學，教師立即將正確的答案進行了投影展示.在回答第（3）題的第②小題時，一生作答：-1沒有平方根.教師一愣，然后問：填-1，完整嗎？學生齊答：不完整！教師追問：那該填什么呢？一名學生給出了“負數”的答案，教師立即將其投影到空格中.至此，三道問題回答完畢，教師將所有正確答案全部呈現出來，然后就“算術平方根的定義及其表示形式”進行了進一步的探索，引出二次根式的定義及表示形式.

引入片斷2

問題設計：用帶有根號的式子填空：

（1）7的算術平方根是__________；

（2）直角三角形的兩條直角邊分別為5和4，斜邊為_________；

（3）面積為3的正方形的邊長為________，面積為S的正方形的邊長為______；

（4）一個長方形圍欄，長是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為______m；

（5）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關系h= 5t2，如果用含有h的式子表示t，則t=_______.

過程簡述：學生先獨立完成上面的填空，教師巡視指導，搜集典型問題.待完成解答后，學生在小組中展開交流，教師繼續巡視并參與部分小組的交流.在接下來的全班交流中，教師緊扣住“要我們求什么”（一個正數的算術平方根），“該怎么去求”（開平方），“僅從式子看，開平方的結果叫什么”（原數的平方根），“有幾個”（兩個），“這兩個數之間有怎樣的關系”（互為相反數），“結果應該填什么”（算術平方根），“關于平方根你還了解哪些知識”等問題展開了追問，最終將每道題所填正確結果板書，為下一步分析式子共性特征，歸納二次根式的定義及表示形式鋪墊.

二、兩則片斷的分析

片斷1中，舊知梳理直接指向了平方根、算術平方根的定義、表示形式及性質等知識.教者采用的是背誦式梳理，即對概念本身的回顧.這對記憶的要求是很高的，如果學生在七年級下學期沒有對概念進行深度背誦和記憶，想要給出三個問題的正確答案絕非易事.現實如此，教學過程中出現了幾次短暫的“冷場”，教師對此早有預見，就算出現了異樣的結論，教師也沒有一絲驚慌，即時的追問再度將學生領到自己預設的軌道上來.在教師教學進程中，“嚴絲合縫”的投影展示是其教學得以推進的“法寶”，給人以“過程流暢”的觀課感.然而，在接下來的新知生成時，我們就明顯感覺到如此設計與實施的“弊端”了！學生對平方根、算術平方根的感知隨著投影的翻轉而消失，二次根式的概念教學“艱難苦澀”，完全變成了“逼迫式”灌輸，學生完全處于被動接受的狀態，他們無法感知到這幾個概念之間的外形與“內核”之間的聯系.顯然，這樣的教學，學生是無法深刻領會概念的本質的.

片斷2中，給出的是幾個簡單的實際問題，讓學生“用帶有根號的式子填空”.解題要求十分明確，如此要求將學生的認知方向定位在“帶根號的式子”上.這樣的設計，開宗明義，學生在填空過程中能初步感知這些帶根號的式子（即本課要研究的“二次根式”）與實際生活的緊密聯系，體會本課開展的研究是十分必要的.接下來的小組交流，主要任務是核對答案，交流思路，矯正結果.教師在此過程中的巡視與指導，一方面可以幫助學生理清問題解決的過程，另一方面還能搜集教學資料，積聚全班交流的素材.到了全班展示環節，教師通過一系列與平方根、算術平方根相關問題的追問，這些對原有概念的“直擊”，意在喚醒那些與本課關聯密切的基礎知識、基本技能、基本數學思想和基本活動經驗，它們都是學生進一步學生“二次根式”的基礎.教師的步步“逼問”，讓學生在深刻感知舊知應用價值的基礎上，明晰了新知的特點和應用方向，這對接下來的學習無疑是大有益處的.事實正如預期，下面的教學中，教師順勢引導，從這些來自于實際問題的式子中抽取出共性外形，形成了二次根式的定義與基本形式，并依托此對二次根式展開了進一步的探究.

兩則片斷稍加比對，我們不難發現，兩位老師都很重視與本課關聯舊知的梳理，但兩者做法不同，效果也不一樣.片斷1中，教師側重概念本身的梳理，強化了對概念的文本、符號兩個維度語言的回顧，但由于對學生學情的過高估計，整個教學過程幾乎都變成了教師的“獨角戲”，課件的翻滾演示代替了學生個體的獨立思維，舊知的梳理顯然沒有到位；片斷2中，教師從實際問題引入，讓學生“用帶有根號的式子填空”，這是立足于應用之上的舊知回顧，知識的回憶有了一組很好的抓手，加之接下來的小組交流和全班交流，教師的及時引導與追問讓學生所掌握的與本課時密切關聯的知識被逐一喚醒，取得較好的教學效果也就在情理之中了.

三、三點感悟

1.要重視新舊概念的關聯性

一般地，新的數學概念的出現都是對人的原有認知結構的充實與完善，是原有概念的進一步拓展與延伸.所以，每一個概念的產生，都離不開原有認知結構的舊知識.這些舊知識，就是維果斯基最近發展區理論中所說的“已有的認知水平”，而“可能實現的水平”就是這些基于現有知識之上的新概念.顯然，這兩種水平之間一定存在著某種外顯或內隱的聯系，這就是我們教學設計的關注點.在學生已有知識結構中，與新概念關聯的知識應該是很多的，但密切程度各不相同，所以，設計教學時，應重視舊知識的篩選，要從關聯舊知中篩選出與新概念關系最密切的知識，從有利于新知識“生長”的角度設置合適的導學問題和導學過程.本文中兩則片斷，教師的篩選都是到位的，二次根式的生長點是算術平方根，這是兩位老師選擇和設計導學問題的出發點，無論是立足于概念本身的梳理，還是借用實際問題的“背景式”梳理，學生的回顧都緊扣與本節課關聯最密切的舊知，這樣的設計是合情合理的.至于最終導學的效果，顯然還與導學問題和導學過程的合理程度有著很大的關系.

2.要關注舊知喚醒的多維性

關聯舊知的梳理，我們絕不是進行單一的概念梳理，當然，關注概念的文本、符號及圖形敘述，這對新授概念來說是十分重要的，但這絕不是關聯概念復習的唯一.從上面兩則片斷的教學成效來看，兩者的差異是顯而易見的.片斷1僅重視了概念本身的梳理，將平方根、算術平方根的定義作為復習的重點，對其應用并未涉及，苦澀的概念回顧沒有給教者的課堂增彩，反而給學生的后續學習帶來思維上的障礙；片斷2則從實際問題入手，知識的梳理與問題解決掛鉤，概念的回顧不再是對知識文本或符號的藐視，而是與學生的應用經驗進行了融合，這對于已經能夠適度應用的數學知識來說，其成效要遠遠超過片斷1中那種“背誦式”回顧了，何況，教者還通過自主解答、小組交流和全班交流等三個環節將舊知回顧漸次推進，每個環節邁出的一小步，都將舊知的不同方面扎扎實實地展示在學生眼前，其效果不言而喻.顯見，關聯舊知的回顧，應是多維度的，這種類似于片斷1中的背誦式回顧應少之又少，我們的教學應多做一些“拔出蘿卜帶出泥”的事情，要讓關聯舊知的不同方面在復習中都有體現，從而為新概念的出現、生成和應用做好準備.

3.要體現舊知梳理的前瞻性

在初中生的數學認知活動中，概念的獲取與應用是最為常見的.新概念是舊知識、舊經驗復合疊加而成的，它是學生知識積聚與能力提升的顯性表現.顯而易見，新概念是隨著學生認知水平的不斷提升而順次出現的.在梳理舊知時，我們應該關注到這一點，并用好這一特性，將新概念悄悄地隱藏于舊知梳理的問題情境之中.為此，我們所設計的導學問題和導學流程應有明顯的前瞻性，將新知內隱于梳理進程之中應成為我們的教學設計與實施的追求.對于八年級學生來說，“二次根式”是一個新詞語，但其真正的含義學生在七年級下學期就已有之，只不過因為認知發展未挑明而已.此時的再度認知，無非是對過去的知識下一個規范的定義，所以，我們的教學就應如片斷2中的教師中那樣，用好學生已有的知識和經驗，從學生熟悉的實際問題解決出發，將要探究的概念悄悄地隱藏在問題的解決與交流之中.只要學生參與了教學的進程，那他就一定能夠時刻感知這些具有共性特征的式子的應用價值.最終，給這些都有著統一“著裝”的式子一個名稱，就成為了學生認知發展的自然需求，新知也就隨之產生.如此教學設計與實施，順應了數學知識的內在邏輯主線和學生的認知發展規律，值得學習！

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.林群.義務教育課程標準教科書·數學（七年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

3.林群.義務教育課程標準教科書教師教學用書·數學（七年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

4.印冬建.突出核心主線追求有效教學——談初中數學有效備課的做法和思考［J］.中學數學（下），2014 （1）.H

2.圓心+切點；垂徑定理

例2（第24題）如圖4，AB是⊙O的直徑，且經過弦CD的中點H，過CD延長線上的一點E作⊙O的切線，切點為F.若∠ACF=65°，則∠E=________.

圖4

圖5

解析：如圖5，連接BF、OF，由O為圓心，F為切點，得∠OFE=90°.

因為O為圓心，H為弦CD的中點，所以∠OHE=90°.

因為∠ACF=65°，所以∠B=65°.又因為OB=OF，所以∠AOF=130°.

在四邊形HOFE中，∠E=360°-90°-90°-130°=50°.

思考：本題構造了兩個直角，一個是利用圓心和切點；另一個是根據垂徑定理（上題的解法2中已經使用過）.可以看出正是這兩個“隱藏的直角”的出現，使得此題在“山重水復之困”時顯出“柳暗花明之路”；此外，上述方法其實只添加一條輔助線即可（如圖6），根據圓心角和圓周角的數量關系同樣可以得到∠AOF=130°，從而解決問題；最后需要說明的是我們還可以連接BF、AF（如圖7），在△GFE中解決問題.顯然，圖6利用了“圓心+切點”所形成的隱藏直角；圖7則是利用了上文提及的“直徑+所對圓周角”所形成的隱藏直角.

圖6

圖7

二、其他圖形中的直角：平角+兩個角平分線

例3（第20題）如圖8，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，若，則FD的長為（搖）.

圖8

圖9

解法1：如圖9，連接EF，于是在Rt△EGF和Rt△EDF中，有EG=ED，EF=EF，所以Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）.

所以∠FEG=∠FED，FG=FD.

根據折疊的性質，可得∠AEB=∠GEB.

又由于A、E、D三點共線，所以∠BEF=90°.

又由于EG⊥BF，所以△EGB∽△FGE.

所以EG2=BG·FG=AB·FD=AE2，即

所以FD=4，故選B.

解法2：由解法1得∠BEF=90°.

解法3：根據解法1可知，在Rt△BCF中，BF=BG+GF= AB+FD=6+FD，FC=CD-FD=6-FD于是由勾股定理得，解得FD=4.

思考：解法1和解法2的實質是一樣的，都需要知道∠BEF=90°，然而這是有一定的“思維含量”的；解法3沒有意識到∠BEF=90°，只能結合折疊的性質，然后在Rt△BCF中運用勾股定理解決問題，比較容易想到，但是需要一定的計算量.比較上述三種解法，可以看出前兩種解法體現了“少算多思”的考查風格，也符合“計算簡單的方法往往需要付出邏輯思維的代價”的解題效率觀，而前兩種解法的優越性正是建立在隱藏的直角（∠BEF=90°）的基礎之上的.

此外，在2015年武威市的中考試題中有一題與之類似，如下（有改動，原題為選擇題）：如圖10，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，P是BC邊上的一個動點（點P與點B、C都不重合）.現將△PCD沿直線PD折疊，是點C落到點F處；過點P作∠BPF的角平分線交AB于點E.設BP=x，BE=y，則y與x的函數關系式為_________.

圖10

1.張俊.發現隱圓突破解題壁壘［J］.數學教學，2015（7）.

2.王志進.解法自然三例［J］.中學數學教學參考（中），2015（7）.H