剖析典例　問題引領(lǐng)　遞進(jìn)提升
——基于多維目標(biāo)的復(fù)習(xí)課遞進(jìn)式問題串的設(shè)計(jì)嘗試

☉江蘇省無錫市太湖格致中學(xué)　陳　鋒☉江蘇省無錫市東絳實(shí)驗(yàn)學(xué)校　薛　鶯

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剖析典例問題引領(lǐng)遞進(jìn)提升
——基于多維目標(biāo)的復(fù)習(xí)課遞進(jìn)式問題串的設(shè)計(jì)嘗試

☉江蘇省無錫市太湖格致中學(xué)陳鋒
☉江蘇省無錫市東絳實(shí)驗(yàn)學(xué)校薛鶯

一、問題背景

初三第二輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課對(duì)廣大教師來說一直是一個(gè)研究的熱點(diǎn)課型，它的有效性直接影響學(xué)生復(fù)習(xí)的效能，如何巧妙地貫徹新課程的課堂教學(xué)理念？如何在課堂上避免就題論題，避免題海訓(xùn)練的低效教學(xué)？利用將知識(shí)與技能、思想與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等多維教學(xué)目標(biāo)鑲嵌于逐層遞進(jìn)的問題串中，沿著學(xué)生的認(rèn)知軌跡展開復(fù)習(xí)，讓學(xué)生能從一個(gè)問題掌握一類題型，從一串問題探究一片知識(shí)，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，最終真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新能力的提高，達(dá)到“一串問題包含初中絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)”的更高境界.下面，筆者就以自己上過的一節(jié)初三第二輪復(fù)習(xí)課的遞進(jìn)式問題串教學(xué)為例，來談一談如何從一個(gè)容易、輕松、常見的問題入手，通過對(duì)典型問題進(jìn)行一系列的變通推廣、探索引申、提煉升華，不斷發(fā)掘出孕育方法內(nèi)涵、涵蓋相關(guān)知識(shí)體系、難度遞增的遞進(jìn)式問題串，讓它可以成為學(xué)生能力提升的有效平臺(tái)！成為提高初三數(shù)學(xué)教學(xué)行之有效的手段之一.

二、基于多維目標(biāo)的遞進(jìn)式問題串設(shè)計(jì)前期思考

1.原創(chuàng)題源

題源（2014年中考模擬題）如圖1，已知線段AB，A（-1，2），B（3，6），M是AB的中點(diǎn)，E、F在AB上，且AE=EF=FB.

圖1

2.設(shè)計(jì)思路

從一條小小的、似乎很不起眼的線段和結(jié)構(gòu)簡潔、難度相對(duì)容易的問題出發(fā)，在教師設(shè)置的認(rèn)知沖突啟發(fā)下，連續(xù)演繹出難度階梯性遞進(jìn)的12個(gè)問題.這種“多維度遞進(jìn)式問題串”的設(shè)計(jì)，是通過遞進(jìn)式的問題，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)學(xué)習(xí)，從教學(xué)目標(biāo)的多個(gè)維度進(jìn)行自我建構(gòu)的過程，一個(gè)個(gè)彼此關(guān)聯(lián)難度遞進(jìn)的問題，使前一個(gè)問題作為后一個(gè)問題的基礎(chǔ)和前提，后一個(gè)問題作為前一個(gè)問題的發(fā)展補(bǔ)充和拓展延續(xù).這樣每一個(gè)問題都成為學(xué)生思維的階梯，多個(gè)問題形成一個(gè)具有一定層次和邏輯結(jié)構(gòu)的問題串，讓不同層次的學(xué)生都參與到教學(xué)活動(dòng)中來，在知識(shí)與技能、過程與方法、思維與能力等多個(gè)維度均得到顯著的提升，由淺入深、由表及里，把中考數(shù)學(xué)綜合題以點(diǎn)狀知識(shí)點(diǎn)的形式貫穿于問題串的始終.

3.課堂預(yù)設(shè)

這是2014年中考模擬考試卷上的一道綜合題的題干部分.而經(jīng)過一輪復(fù)習(xí)后，學(xué)生對(duì)綜合題有一定的接觸和了解，但存在著一定的心理恐懼，在中考即將來臨之際，除了對(duì)知識(shí)和方法的系統(tǒng)總結(jié)，更是對(duì)孩子心理的挑戰(zhàn).因此，老師要利用并調(diào)節(jié)好學(xué)生對(duì)待綜合題的心理.因課堂時(shí)間有限，加之二輪復(fù)習(xí)課與新授課模式和習(xí)題課模式完全不同，教師決定嘗試?yán)靡粡垐D和一系列問題貫穿整堂復(fù)習(xí)課.

三、基于多維目標(biāo)的遞進(jìn)式問題串具體操作策略

（一）第一維度：通過函數(shù)基本問題串，激活認(rèn)知，梳理基本公式和基本定理

1.問題串展示

問題1：求直線AB的解析式；

問題2：求線段AB的長度；

問題3：求點(diǎn)M的坐標(biāo).

問題4：求點(diǎn)E與點(diǎn)F的坐標(biāo).

2.教學(xué)流程

學(xué)生結(jié)合圖形、圍繞平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)線提出問題，教師梳理并展示上述4個(gè)相關(guān)問題，讓學(xué)生說解題思路.因?yàn)閷W(xué)生都做了充分預(yù)習(xí)和相應(yīng)準(zhǔn)備，學(xué)生運(yùn)用相關(guān)的基本公式較為順利地解決了問題，用待定系數(shù)法得到了問題1的答案：直線AB的解析式為y=x+3；利用勾股定理來解問題2，學(xué)生容易得到；對(duì)于問題3學(xué)生利用中位線定理，作垂直，再用勾股定理得到M（1，4）；問題4的思路方法是利用坐標(biāo)公式，可以得到.教師在學(xué)生展示的基礎(chǔ)上歸納4個(gè)基本公式和基本方法：①對(duì)于問題1，強(qiáng)化兩點(diǎn)式（A、B兩點(diǎn)確定直線AB）.②結(jié)合問題2及學(xué)生的解法總結(jié)兩點(diǎn)距離公式讓學(xué)生對(duì)公式的本質(zhì)和基本圖形了然于心.③對(duì)于問題3，則是提煉中點(diǎn)公式，讓學(xué)生體會(huì)，比利用中位線定理和勾股定理會(huì)簡單和方便，推廣在平面直角坐標(biāo)系中平行四邊形、矩形、菱形、正方形的相關(guān)問題用此公式就會(huì)更簡單.④問題4則指明學(xué)生的解題理論依據(jù)是相似的性質(zhì).

3.策略引導(dǎo)

上課伊始，教師遵循“低起點(diǎn)、小臺(tái)階”的原則，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形自主提出問題，再將問題進(jìn)行合理地組合，以一個(gè)簡潔的問題串為載體，將學(xué)生頭腦中原本零散的知識(shí)和方法串聯(lián)起來，既有效地激活了學(xué)生對(duì)數(shù)和形的認(rèn)知，又充分地調(diào)用和梳理學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為之后的教學(xué)做好了知識(shí)鋪墊.一方面，因?yàn)檫@些問題是直角坐標(biāo)系中的常規(guī)問題，對(duì)學(xué)生而言不難解決，這樣可以消除學(xué)生解題時(shí)的恐懼心理，為學(xué)生營造良好的情緒環(huán)境，拉近了問題與學(xué)生之間的距離，激活了學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望.另一方面，通過小問題的形式既訓(xùn)練和鞏固了中考的基本要求，又對(duì)整個(gè)初中階段涉及函數(shù)的基本公式、基本定理進(jìn)行梳理和系統(tǒng)化，以喚起學(xué)生對(duì)舊知的記憶，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)與知識(shí)間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí).這一基于基本知識(shí)層面的問題串的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了三點(diǎn)優(yōu)勢：一是因?yàn)閱栴}來源于學(xué)生的思考，節(jié)約了學(xué)生理解問題的時(shí)間，讓問題更有針對(duì)性和目標(biāo)性，從而提高了課堂效益.二是這一系列螺旋上升的問題涵蓋了直角坐標(biāo)系中的中點(diǎn)坐標(biāo)、線段長度、直線解析式的所有常見公式和方法，提高了課堂效能.三是這一問題串是基于同一圖形的衍生問題，能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)和強(qiáng)化學(xué)生的模型意識(shí).

（二）第二維度：通過函數(shù)幾何問題串，整合認(rèn)知，提煉基本技能和基本思想

1.問題串展示

問題1：在x軸上求點(diǎn)P，使PA=PB；

問題2：在x軸上求點(diǎn)P，使△PAB是等腰三角形；

問題3：在x軸上求點(diǎn)P，使PA、PB與x軸所夾的角相等；

問題4：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使以AB為直徑的圓切于P點(diǎn)？

2.教學(xué)流程

教師給出5個(gè)問題，讓學(xué)生獨(dú)立思考，在學(xué)生解決部分或全部問題以后，由學(xué)生代表展示解題過程，學(xué)生關(guān)注到問題1中PA=PB的顯性信息，通過設(shè)P點(diǎn)為（x，0），用含有字母x的代數(shù)式表示PA和PB的長度，再用等量關(guān)系列出方程即可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0），教師根據(jù)學(xué)生的解說，適時(shí)地進(jìn)行追問：解決這個(gè)問題的思路是如何想到的？讓學(xué)生從中體會(huì)設(shè)點(diǎn)法的優(yōu)勢和感悟用方程思想來解決問題這一常用的數(shù)學(xué)方法；通過師生共同分析問題2中的圖形特征，幫助學(xué)生克服定勢思維，要以P、A、B為等腰三角形的頂點(diǎn)這三種情況進(jìn)行分類，從而得到，讓學(xué)生掌握分類討論的基本思路和方法.接著教師引導(dǎo)學(xué)生畫出符合問題3的圖形，再運(yùn)用相似三角形的知識(shí)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，根據(jù)比例關(guān)系，得到P（0，0），向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想.問題4讓學(xué)生回顧“直徑所對(duì)的圓周角是90°的知識(shí)，利用勾股定理列出方程，解得方程無解，進(jìn)而說明不存在這樣的點(diǎn).問題5利用解直角三角形知識(shí)，其最終轉(zhuǎn)化成基本圖形——含45°，30°角的特殊三角形，再通過設(shè)比例系數(shù)，求出最后，教師讓學(xué)生說一說，這些問題是如何理解的？教師進(jìn)行扼要的點(diǎn)評(píng)并歸納思想方法.

3.策略引導(dǎo)

這一層次的函數(shù)幾何類問題串著眼于函數(shù)的幾何運(yùn)用，按由易到難的順序逐次展開，循序漸進(jìn)，雖然問題結(jié)構(gòu)簡單，但是環(huán)環(huán)相扣，其內(nèi)容與數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)緊密聯(lián)系，將“與函數(shù)相關(guān)的解題技能和基本數(shù)學(xué)思想”蘊(yùn)含于問題串之中，通過學(xué)生對(duì)這一技能層面的問題串的探究，實(shí)現(xiàn)已知到未知，形象到抽象，低級(jí)到高級(jí)的自然過渡.首先，在對(duì)問題串的解決過程中，學(xué)生對(duì)常用的數(shù)學(xué)思想方法有了一個(gè)深刻的體會(huì).如問題1利用設(shè)點(diǎn)法滲透代數(shù)式的思想和方程思想；問題2利用等腰三角形特征滲透分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想；問題3、問題4在解題過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想.其次，這一問題串將中考中常見的函數(shù)問題，以函數(shù)特征與基本圖形（線、角、三角形、圓）相結(jié)合的形式呈現(xiàn)出來，借助數(shù)學(xué)符號(hào)語言和圖示向?qū)W生展示函數(shù)的幾何特征，讓學(xué)生在對(duì)函數(shù)圖像的幾何特征進(jìn)行分析及運(yùn)用的過程中，學(xué)會(huì)更靈活地對(duì)題目中的信息進(jìn)行提煉和轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步提高了學(xué)生理解在函數(shù)背景下解決幾何問題的基本技能.最后，在解決問題的過程中，不僅讓學(xué)生對(duì)解決函數(shù)問題相關(guān)方法間的優(yōu)劣和使用范圍有一個(gè)深入和系統(tǒng)的比較與了解，而且通過學(xué)生的親歷，將直接的技能獲得和間接的思想領(lǐng)悟真正內(nèi)化為學(xué)生自己的技能和思想.

（三）第三維度：通過函數(shù)綜合問題串，升華認(rèn)知，提升思維能力和解題能力

1.問題串展示

問題1：如圖2，直線y=kx把四邊形OABC的面積分成1∶2兩部分，C（4，0），求k的值.

問題2：動(dòng)點(diǎn)P從C（4，0）出發(fā)，沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，速度是每秒1個(gè)單位，動(dòng)點(diǎn)Q 從A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)，速度是每秒1個(gè)單位，P，Q同時(shí)出發(fā)，求PQ的最小值.

圖2

問題3：動(dòng)點(diǎn)P從C（4，0）出發(fā)，沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，速度是每秒1個(gè)單位，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)，速度是每秒1個(gè)單位，P，Q同時(shí)出發(fā)，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程.

2.教學(xué)流程

教師先引導(dǎo)學(xué)生讀題分析，幫學(xué)生理清題意，自主審題，嘗試解答，然后由學(xué)生試著說題，分析題意，解釋相關(guān)解題思路，并陳述解題過程，教師板書關(guān)鍵步驟，學(xué)生說題中出現(xiàn)偏差，教師及時(shí)提問糾正，對(duì)于問題1，由題目條件學(xué)生容易想到先求出四邊形OABC的面積，然后對(duì)過原點(diǎn)的直線y=kx與四邊形OABC邊交點(diǎn)P的位置（P點(diǎn)分別在AO、AB、BC、OC上）進(jìn)行分類討論.再通過合情推理排除P在AO、OC上的可能性，得到P與B重合和P 在BC中點(diǎn)上兩種可能性，進(jìn)而求出直線解析式及k的值.教師針對(duì)分類討論的原因和方法進(jìn)行必要的歸納和提升.問題2和問題3是2013年的中考?jí)狠S題，其中的問題2可以先求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式把PQ的長度表示出來，再利用配方求出最值.教師的總結(jié)應(yīng)該讓學(xué)生對(duì)函數(shù)背景中的最值問題有一個(gè)本質(zhì)領(lǐng)悟.對(duì)于問題3的解法是先設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x，y），利用上面中點(diǎn)公式找到x、y的關(guān)系式，從而得出軌跡方程.

3.策略引導(dǎo)

這一層次的函數(shù)背景綜合類問題串，利用常見的函數(shù)的圖像特征與運(yùn)動(dòng)相結(jié)合，突出了中考熱點(diǎn)（面積問題和動(dòng)態(tài)問題），在整個(gè)問題的解決過程中，一方面，讓學(xué)生進(jìn)一步感受用圖形特征來體現(xiàn)函數(shù)特征的解題優(yōu)勢，通過尋找函數(shù)背景下的幾何圖形在變化過程中隱含的不變量及不變關(guān)系，以及在復(fù)雜的圖形中抽取本質(zhì)的幾何量，滲透用含有字母的代數(shù)式表示關(guān)系式的意識(shí)，提高學(xué)生計(jì)算含有字母的代數(shù)式的能力.另一方面，在讓學(xué)生感悟動(dòng)態(tài)問題本質(zhì)的同時(shí)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、思維遷移能力、分析歸納能力、綜合應(yīng)用能力將會(huì)有一個(gè)極大的提高.比如，問題1要求學(xué)生能把分類討論作為解決問題的工具來解決具體問題，問題2、3均是以函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題為背景，綜合考查了初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，對(duì)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力提出了較高的要求.將函數(shù)圖像所涉及的相關(guān)特征，尤其是最值問題，通過問題滲透幾何直觀及運(yùn)動(dòng)觀.但是，在具體的實(shí)施過程中要避免就問題而問題的機(jī)械強(qiáng)化，而要發(fā)揮問題串的功能，通過先后問題間的比對(duì)，引領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)悟其中的解題技能和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.借此強(qiáng)化解題要從整體把握，而不應(yīng)著眼于局部.要求學(xué)生先全面把握，多角度分析題目條件，透徹理解，改進(jìn)思路，進(jìn)而提高學(xué)生的思維能力和解題能力.

四、基于多維目標(biāo)的遞進(jìn)式問題串設(shè)計(jì)與運(yùn)用中的注意點(diǎn)

1.基于多維目標(biāo)的遞進(jìn)式問題串的設(shè)計(jì)應(yīng)以精選問題為手段

作為遞進(jìn)式的問題串，首先，應(yīng)該把握好“起點(diǎn)”，要具有針對(duì)性，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理發(fā)展水平，又要設(shè)定在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)域內(nèi).其次，應(yīng)該注意“順序”，問題之間的銜接要合理有序，由易到難！層層遞進(jìn)，把學(xué)生的思維逐步引向深入.第三，要體現(xiàn)問題的“發(fā)展”，問題的解答要多樣，問題解決方法要有引申和拓展性，使不同層次的學(xué)生在自己能力范圍內(nèi)有不同層次的提升.

2.基于多維目標(biāo)的遞進(jìn)式問題串的實(shí)施應(yīng)以暴露思維為目標(biāo)

一個(gè)問題的解決，只有充分暴露學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生知其然并且知其所以然，才算真正把教學(xué)過程轉(zhuǎn)化為思維過程，否則教學(xué)只是一種簡單的模仿而不是數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)，起不到真正提高能力的作用，所以在遞進(jìn)式問題實(shí)施中一定要把問題的發(fā)展過程和解法探索過程充分展示出來，并總結(jié)、歸納、提煉學(xué)生在解題過程中是怎樣運(yùn)用數(shù)學(xué)思維發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的.

3.基于多維目標(biāo)的遞進(jìn)式問題串的解決應(yīng)以學(xué)生探索為主體

遞進(jìn)式問題的解決過程其實(shí)是在教師組織下學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和探索的過程.因此，在遞進(jìn)式問題的解決過程中，首先，切忌教師包辦代替，否則課堂教學(xué)會(huì)變成填鴨式、滿堂灌的教學(xué).學(xué)生的主體地位就得不到充分的發(fā)揮.其次，難度呈階梯性增加的問題的各種解法也有難有簡，這樣可使不同層次的學(xué)生找到自己的位置，使他們的主體性在自己的層次上得到充分的發(fā)揮.H