挖掘意外應答為教學所用的三個視角

☉江蘇省金湖縣外國語學校　李　東

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挖掘意外應答為教學所用的三個視角

☉江蘇省金湖縣外國語學校李東

蘇霍姆林斯基曾說過：“教學的技巧并不在于預見課的所有細節，在于根據當時的具體判斷，巧妙地在學生不知不覺中做出相應的變動.”這種教學技巧是教師永遠的追求，要靠教師不斷努力提高自己的數學素養慢慢養成.毋庸諱言，在教學中面對學生的各種意外應答（其中不乏正確的甚至是超越的、獨特的），由于教師的業務局限，被視作不著邊際、被阻斷或被搪塞的現象時有發生，令人惋惜.如果教師在課后重拾那些意外，細細追問反思，自覺開展數學知識和數學教育理念、方法的補償教育，那么教師業務水平的提升定會增速.本文基于教學案例從三個視角反思學生的意外應答，尋找與其跟進的應對之策.

一、從數學知識的邏輯聯系上分析

通常再多的概念、再復雜的關系總是按照某種線索發展下來的，找準這種線索就找到了知識發生、發展的方向了.有時學生一些出人意外的想法，就處在某種線索的一個節點上，適當梳理可以為教學所用.

案例1代入消元法解二元一次方程組新授片斷.

教師：請同學們解決如下問題：買甲、乙兩種飲料各1瓶，共需5元；買5瓶甲飲料和1瓶乙飲料共需17元，每瓶甲飲料和每瓶乙飲料售價各是多少？

學生1：設每瓶甲飲料售價為x元，根據題意得4x= 17-5，解得x=3，5-3=2.所以每瓶甲飲料售價是3元，每瓶乙飲料售價是2元.

教師：你綜合題目信息找到相等關系，很聰明！但感覺有些小學算術方法的影子，大家還有其他解法嗎？

學生2：設每瓶甲飲料售價是x元，每瓶乙飲料售價是y元，那么可列方程組用上節課學的枚舉法找到這個方程組的解是可知甲每瓶3元，乙每瓶2元.

教師：同學們上節課就體會到列方程組相對容易，但找它的解較麻煩，今天我們就是要尋找二元一次方程組的簡便解法，不過我們還得借助一元一次方程，同學們還會列什么樣的一元一次方程解決這個問題？

學生3：設甲飲料每瓶x元，那么乙飲料每瓶（5-x）元，由題意得5x+（5-x）=17.

教師：太好了，請大家觀察這個一元一次方程與剛才列出的方程組，你們能發現它們之間有什么結構上的聯系？請大家分組討論，再交流.

學生4：我們看到方程②中y的位置恰好被一元一次方程中的（5-x）代替了！

教師：（緊忙追問）那么方程②中的y能用（5-x）代替嗎？我們知道兩者相等才能相互代換！

學生4：根據方程①移項就知道y=5-x.

教師：棒極了！這種變形代入就是解二元一次方程組的關鍵！

……

課后與執教教師交流得知，教者希望學生很快說出學生2和學生3那樣的解法，便于引導學生對比這兩種解法，從而順利過渡到代入消元解方程組，可是學生應答并未如教者預設那樣，于是教者有點著急地把學生牽上預設的軌道.當學生1的方程“橫空出世”時，教者已感到其實質就是減法消元的結果，如果順其生成進行說明，勢必在代入消元尚未出現或成熟的狀況下，干擾學生對代入法的學習，因此教者限定學生將列出的方程組與方程5x+（5-x）=17進行對比，因循教材設定的順序學習新知.

可是面對這個意外，如果教者完全放手讓學生討論所列方程組與兩個一元一次方程間的聯系，學生應該不難發現4x=（5x+y）-（x+y），也就容易發現方程①、②兩邊相減就是學生1所列方程，教者若再借助圖1所示關系圖，會讓學生體會到將二元一次方程組轉化為一元一次方程有兩條對等的途徑.

圖1

這樣不僅有利于學生理解所學知識的內涵，還能夠更好地揭示相關數學知識之間的關聯，有利于學生從整體上理解數學，構建更豐滿的數學認知結構，從而站得高看得遠.

教學構想：教學中如果遭遇這樣的意外生成，不妨大膽調整教學順序，直接過渡到減法消元，再引向加法消元，不過這種“顛覆性”做法的風險是：掌握了相對容易的加減法后再學習相對煩瑣的代入法，學生可能會聽不進去.如果保守點，也可以適當借用這種意外生成，為課堂教學增添活力：若是新課引入階段就揭示了兩種轉化方法，可以使學生對解方程組的前景有了一個宏觀的指向，此時教師可以直接告訴學生，本節課重點研究通過變形代換的手段轉化方程組，下節課重點研究通過方程兩邊相減的手段轉化方程組；若是結課階段少做一兩道代入法解方程組的問題，揭示這種意外生成隱藏的另一種轉化方法，會激發學生對下節課的期待，讓學生想學；若是暫時秘而不宣，留到下節課引入時揭示，也能使加減法消元自然融入學生的知識建構過程.

二、從先行組織者的角度審視

奧蘇伯爾提出先行組織者的教學策略是為了激活新舊知識之間的實質性聯系，提高已有知識對接受知識的有效影響.［1］先行組織者給學習者在已知與未知之間架了一道橋梁，從而更有效地學習新材料，因而對于需要解決問題的遷移有著明顯的促進作用.有時課堂上學生有些看似不靠譜的說法，其實正是學生自發類比已有研究問題的經驗而產生的，反倒容易被學生理解和接受.

案例2圓周角概念的引入片斷.

教師：剛才我們通過度量發現圖2中，∠A5＞∠A1=∠A2=∠A3＞∠A4，請觀察∠A1、∠A2和∠A3，它們有什么共同特征？

圖2

學生1：這些角的頂點都在⊙O上.

教師：很好，還有什么共同特征？

學生2：它們的邊都經過點B和點C.

教師：換句話說，就是它們的邊與圓都是什么樣的位置關系？

學生3：它們的邊都是圓的弦.

教師：（有點急）是的，既然是弦，也就是兩邊都與圓相交！我們把這樣的角稱為圓周角（板書定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫作圓周角）.

……

這里教師板書的定義沿用了現行蘇科版教材中的說法，筆者曾就這種說法的合理性與同行交流過，蘇科版教材中直線與圓相交的定義是在后面學習直線與圓的位置關系才出現，從邏輯順序上看這樣描述圓周角的特征值得推敲.有同行認為學生已經知道直線與直線相交的含義，自然遷移并接納“兩邊與圓都相交”的說法沒什么問題，可是當我們給出圓中的弦切角讓學生判斷該角是否為圓周角時，總有學生猶豫不斷或做出錯誤判斷，這表明有些學生對“兩邊與圓都相交”的認識很模糊，只是停留在“直線與圓有公共點”這個層面，面對這種窘境我們不得不向學生強調：圓周角的兩邊都和圓另有一個公共點！由此看來用“兩邊與圓都相交”描述圓周角的特征不便于學生的識記與運用.

在本案例中，學生3的說法倒是質樸的，是其已有認知經驗被喚醒的結果，是什么樣的經驗呢？蘇科版教材是結合圖形將圓心角描述為“像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角”，關于圓心角的邊的特征，如果教師解讀為“兩邊都與圓相交”，這有利于學生歸納圓周角兩邊特征時聯想并啟用，可學生描述圓心角特征并非如此，筆者曾聽到學生用他們自己的話描述為“兩邊都是半徑”，“半徑”是學生小學就接觸到的！面對圓周角的邊，學生能夠聯想到的恐怕就是他們熟悉的“直徑”或者“弦”，由此筆者認為將“頂點在圓上并且兩邊都是弦的角叫做圓周角”作為圓周角的定義更符合學生的認知規律，由于“弦”隱含著“直徑”這一特例，也為學生后續較快發現圓周角與圓心的位置關系埋下伏筆.

教學構想：基于上述分析，教學圓心角時，讓學生談談對圓心角的認識后，不妨這樣強調：“像這樣，頂點在圓心并且兩邊都是半徑的角叫做圓心角”，這為后續讓學生概括像圖2中的圓周角共同特征做了先行準備.在教學圓周角時，可以畫好一個圓心角并給出新名詞“圓周角”，讓學生望“名”猜“形”，組織學生在已畫的圓心角基礎上畫圖研討，這樣更能調動學生的探究欲望；可以大膽換掉教材的定義，使用“頂點在圓上并且兩邊都是弦的角叫做圓周角”這種定義，這更加便于學生識別圓周角，此外，如果今后需要在課外數學興趣小組活動中補充弦切角的知識，學生認識圓心角和圓周角累積的經驗能夠促進學生同化和順應弦切角的概念.

三、從最近發展區關注

維果茨基認為，在確定發展與教學的可能關系時，須確立學生發展的兩種水平，一是已經達到的發展水平；二是可以達到的發展水平，并且他將學生在指導下借助成人的幫助所能達到解決問題的水平與在獨立活動中所達到的解決問題的水平之間的差異稱之為“最近發展區”.有時課堂上學生對教師提問所作的回應恰恰說明他們已處于最近發展區，如果教師能及時捕捉、適當點撥引導，會促進學生達到新的發展水平.

案例3探索相似三角形性質的引入片斷.

教師：相似三角形除具有對應角相等、對應邊成比例的性質外，還具有什么性質呢？請大家猜猜.（教室里沉寂了片刻，無人應答）

教師：看樣子有困難.讓我們想想全等三角形除對應角相等、對應邊也相等的性質外，還有什么性質？

學生1：全等三角形對應邊上的高相等.

教師：（連忙追問）那由三角形的高又能聯想到什么？

學生2：全等三角形對應邊上的中線相等、對應角平分線也相等.

教師：（有點急促）除了這些，由三角形的高還能想到什么？在小學三角形的高有什么用處？

學生3：求面積.

教師：對，全等三角形的面積有怎樣的關系呢？

學生：（齊答）相等.

教師：那猜猜相似三角形的面積有什么關系？

……

學生已經知道全等與相似間的特殊關系，這里教師希望學生從全等三角形的面積相等，猜想相似三角形的面積是否有某種特殊關系，從而順利進入本節課的主題——探索相似三角形的面積關系及周長關系，這也是遵循蘇科版教材“探索相似三角形的性質”第一課時的教學安排.教師提問后，學生竟然聯想到全等三角形的高、中線和角平分線，偏離教師預設的軌道，于是教師機智而又急迫地將學生的思考“牽”到面積上，也許換個班級或者換個時間教師提出同樣問題，學生的第一反應可能是想到面積，但這里偏偏出點意外，給教師添堵.

在這位教師眼里，學生想到全等三角形的面積相等應該是自然的，這在學生的已有發展區，可是“全等三角形對應邊上的高相等”應該同樣處于學生的已有發展區，我們回憶一下：蘇科版數學七年級（下）“認識三角形”一節中，運用圖形的運動變化探索過“當點D在邊BC上運動時，點D可能有哪些特殊位置，對應的AD可能是哪些特殊線段”的問題，當時的探究使三角形的3種重要線段在學生頭腦中留下一定的印記，到八年級（上）學習“探索三角形全等的條件”時，教材又通過例5及其拓展和延伸教學活動，證明全等三角形的對應高、中線、角平分線分別相等，這里進一步強化了學生對三角形3條重要線段的認識，因此案例中學生先想到三角形的高、中線和角平分線，應在情理之中.其實借用學生想到的三角形3條重要線段，完全可以帶動學生進入最近發展區——探索相似三角形對應線段間的關系，也就是教材本節第二課時的教學內容可以前置到第一課時，而且“相似三角形對應高的比等于相似比”又為下節課探索面積比作了自然鋪墊.

教學構想：基于上述思考，執教“相似三角形的性質”的預案應不拘泥于教材，應視學生的可能猜想方向而作這樣的預設，即如果學生探索的方向直接指向面積，則按照教材思路施教；如果學生直接聯想到三角形的高，則可調整教學順序，順著學生的猜想，在現實水平與發展水平之間為學生設置適當的問題鏈、搭建“腳手架”，助其提出猜想并驗證結論.

四、結束語

隨著教學實踐的深入，教師會發現探尋學生意外應答為教學所用的更多途徑和視角，這里筆者從“數學知識的邏輯順序”、“先行組織者”及“最近發展區”3個視角反思教學，未免膚淺或失當，謹以此文拋磚引玉，以期我們對自己所作出的某種教學行為、決策以及由此產生的結果進行更有效的審視與分析，讓我們通過提高自我覺察水平，來促進教學監控能力發展，促進自己的專業水平發展，從而促進學生的發展.

參考文獻：

1.張興中.放慢評價等待生成——初中數學“慢一拍評價”策略探究［J］.中學數學（下），2014（10）.

2.涂榮豹.數學教學認識論［M］.南京：南京師范大學出版社，2003.

3.高文.維果茨基心理發展理論的方法論取向［J］.全球教育展望，1999（3）.H