影響高中數學概念學習外部因素及對策研究

賴彩玲

[摘 要] 概念是高中數學知識大廈的基石，影響高中數學概念學習的外部因素包括概念的類型、直觀背景、原型等等，有效解決的對策在于概念教學的問題化，引導學生在問題的解決過程中越發接近概念的本質.

[關鍵詞] 高中數學概念；問題；問題解決

概念是高中數學知識大廈的基石，影響高中數學概念學習的因素分為外部因素和內部因素，本文研究影響高中數學概念學習的外部因素，并從問題解決法的視角探索提高概念學習的實際效果.

影響高中數學概念學習的外部因素

1. 概念的類型

從概念的來源來看，我們教材中的數學概念分為兩類：第一類是客觀世界中的直接抽象，源于客觀世界的數量關系和空間形式，如幾何圖形、自然數等，這類概念由于有直觀的原型，學生更容易理解；第二類是從已有數學理論出發，以此為基礎從邏輯關系建構的，如映射、函數等，這類概念要求學生有更高的抽象思維的能力. 兩類概念相比，學生在學習第二類概念時難度高于第一類.

2. 概念的直觀背景

什么是數學概念的直觀背景呢？

學生的學習并非孤立的，數學學習亦是如此，數學概念的直觀背景指的是包括圖形、符號、實物模型等在內的與概念相關的直觀形象，“直觀背景”有助于學生理解抽象的數學概念，能有效減輕學生從數學現象和感知轉向抽象概念過程中存在的理解上的負擔，促進學生對數學概念本質的提取，促進概念意象的形成和理解. 不過，任何的直觀性背景材料都存在局限性，學生在學習的過程中容易出現部分代替整體，或受到非本質背景的學習干擾，對學生的概念學習產生影響. 在概念學習的初期，最好選擇低干擾的例子避免學生被非本質背景的影響，在概念學習的后期尤其是復習階段，學生對于概念有了較深的理解后，可以選擇具有高干擾背景的例子引導學生在辨析的過程中進行概念的鞏固和內化.

3. 概念的原型

所謂的原型，指的是在表征數學概念的本質屬性時最具典型性的標準實例.高中數學教學概念的原型分為如下幾個：

（1）實例原型：例如我們在和學生一起學習等比數列時舉的《國王與棋盤》的故事；

（2）圖像原型：例如我們在和學生一起學習“圓”的概念時，圓的圖像就很典型；

（3）表達式原型：例如我們在和學生一起學習“雙曲線”時，-=1（a>0，b>0）這個原型就比y=更容易想到；

（4）操作式原型：例如線面角的概念.

高中數學概念學習的有效對策：概念教學問題化

新課程強調學生學習的主體性，但是所有的概念都由學生自己去探究和發現，顯然又會與有限的課時相沖突，怎么辦？筆者認為通過概念教學問題化，可以有效改善高中數學概念學習外因的影響，促進數學概念學習質量的有效提升. 下面就如何進行問題的設置結合具體的實例進行分析.

1. 研讀教材，改造并設置問題

教材是我們進行數學學習的重要資源，認真研究教材，深度挖掘并設置問題有助于概念學習的外因趨向積極的方面.

例如，筆者在和學生一起學習“傾斜角與斜率”這節內容時，結合教材中的文本描述設置了如下問題串.

問題1：回憶一下初中的學習，你有什么辦法確定一條直線？（兩點確定一條直線）

問題2：為什么一點就不能夠確定一條直線呢？

問題3：想一想在變化的過程中，怎樣可以確定一條直線呢？

設計意圖：通過上述幾個問題的思考，將學生的思維轉向“傾斜程度”，有了這一基礎，提出“傾斜角”的概念就顯得很自然，而且學生的理解也會較為深入.

2. 聯系生活，增強學習的直觀性

從當前的數學學習來看，由于高考數學學科是拉分的利器，平時的數學訓練也大多是和數學題目打交道，加上數學概念具有高度抽象性的特點，很多學生感覺數學學習就是為了高考拿分，與生活實際聯系不大，事實是不是這樣呢？實踐經驗表明，數學與生活密不可分，生活是抽象數學概念的重要本源，也是數學概念形成的最為直觀的背景所在. 為此，筆者認為我們的概念教學在問題的設計上可以從生活情境出發，提高概念學習的直觀性，有效激發學生的學習興趣，切身感受數學學習的價值.

例如，筆者在和學生一起學習“函數”這一概念時，選擇生活化的情境引入，引導學生解決實際的問題.

生活化情境：位于意大利的水城威尼斯有一個“馬爾克”廣場，這個廣場的一端為一教堂，而在教堂的正前方則是廣場，從廣場的另一端走到教堂正前方，大約有175米的直線距離. 在過去有相當長的時間，有很多人在這里做過同一個游戲，就是把眼睛蒙起來，然后看是否可以從廣場一端成功地沿直線走到教堂的正前面，但是所有的人嘗試后都沒有取得成功，要么向左、要么向右，走的都是弧線，這是為什么呢？到1896年，有一位挪威的學者解開了這個謎底，他在收集了大量事例后進行分析，最終得出結果：出現這一現象的原因是因為人的兩條腿的長短問題，由于長年累月的習慣，每個人伸出的步子一條腿要比另一條腿長一段很微小的距離，而正是這一微小的步差x，導致人們走出了一個半徑為y的大圓圈. 設某人兩腳踏線間隔為0.1米，平均步長0.7米，當人們在走路的過程中打圈子，圓圈的半徑y與步差x之間存在的關系如下：y=（0

通過這種事例學生能夠感受到數學學習的價值，同時催生出思考，生活中還有這樣的對應關系和問題么？思維向著發現問題和解決問題的方向延伸與發展.

3. 研究學情，在最近發展區內設置問題

根據維果茨基的“最近發展區”理論.我們的教學必須符合所教班級學生的智力水平、數學學習基礎、習慣和思維水平等等，在問題的設計前應該認真地研究學生的學情，確保問題設置的針對性和有效性.

例如，在和學生一起學習“概率”這個概念時，分析學生的認知基礎，學生在初中階段學過“等可能事件”的概念，同時也會用“雙向列表”將事件的個數列出來的方法. 然后分析，高中概率教學的起點在哪里？從人教版教材來看，一開始就涉及“必然事件”、“不可能事件”和“隨機事件”等等概念，以及“用概率度量隨機事件發生可能性的大小”這一方法，如何在學生的初中認知基礎上跨越到教材的起點呢？這之間就是最近發展區. 我們的問題設計就應該在這兩者之間進行合理的設計.

當然，遇到比較抽象的概念，我們還可以從學生身邊的實際情境出發，借助于問題的設計幫助學生尋找原型，促進概念本質特征的理解.

例如，對于學生而言，“映射”這個概念理解上有難度，筆者為了促進學生理解，設置了學生感興趣的話題：“每個同學考入高中的時候，都有一個中考分數，每個人和自己的中考分數有什么對應關系？”這樣的設計落在最近發展區內，學生很快就可以通過這個身邊的實際問題的解決，揭示出映射的本質特征，概念的學習的效果自然提升.

4. 采用變式，多維度深化對概念的認識

概念初步形成以后，為了促進學生概念的鞏固與內化，我們應該采用變式問題的方式給學生提供多維度的直觀背景，讓學生通過分析、鑒別提高概念認識的深刻性、準確性.

例如，在學習“拋物線”這節內容時，定義給出后，可以采用如下變式訓練促進學生內化：

問題1：滿足的點P（x，y）的軌跡是什么曲線？

問題2：若點A是定直線l以外的一個定點，則過點A且與直線l相切的圓的圓心軌跡是什么曲線？

問題3：到直線l：x+y-2=0和到點P（1，1）距離相等的點的軌跡是什么？

從這3個問題的設計來看，前面2個問題分別引導學生從代數與幾何兩個角度對拋物線的本質特征進行分析，問題解決的過程則是概念認識逐步深入的過程，當學生有了較深的認識后，拋出問題3這一個反例，旨在引導學生在剔除非本質特征完成問題的思考與解決，在這個過程中學生對概念的理解越發準確.