耦合的合成負反饋環路單參數分析

劉彩霞，畢小山

(河南理工大學，河南 焦作 454150)

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耦合的合成負反饋環路單參數分析

劉彩霞，畢小山

(河南理工大學，河南 焦作 454150)

摘要：由于真實基因調控網絡的復雜性,無論是定性還是定量分析都很難在系統水平上整體進行。然而,生物系統中存在大量的、相對獨立的、具有特定生物功能的調控網絡模塊。比如正反饋環路、負反饋環路、前饋圈等。復雜的基因調控網絡是由眾多簡單的調控環路所組成的,研究整合的簡單調控環路的功能有助于進一步理解更復雜的真實網絡的生物物理機制。本文主要研究了耦合的合成負反饋環路在整合之后所表現的振動、雙韻律、硬激勵等動力學功能。雙韻律,即不同振幅和頻率的振動在相同參數的模型中共同存在;硬激勵,即在相同參數的模型中系統由于初值的不同可以表現為穩定的平衡態或穩定的周期軌。這兩種動力學現象已經在生物實驗中驗證是真實存在的。

關鍵詞：合成基因；基因調控網絡;耦合反饋環；單參數

1引言

基因調控網絡是由很多相互關聯的組件構成的,某些有特定功能的子網稱作網絡單元,這些網絡單元作為整體又可以相互關聯。在這里,反饋環路扮演者很重要的角色。很多情況下,我們如果在已有基因調控網絡的基礎上添加反饋環路可以出現多樣的動力學行為。但是,即使是拓撲等價的調控網絡在添加拓撲等價的前反饋和后反饋后還是有很大的區別,甚至會出現相差迥異的動力學行為。

2模型的建立

這里,用小寫字母“x、y、z、s”分別代表基因,用大寫字母“X、Y、Z、S”分別表示對應基因產生的蛋白質。不妨考慮在含有(X,Y,Z)3個相互抑制的因子組成的負反饋環路的基礎上耦合1個含有(X,Y,Z,S)4個因子組成的負反饋環路,在原有負反饋環路的基礎上再耦合一個負反饋,形成如下模型(圖1)。

圖1　模型示意

(1)

如果蛋白質X促進基因z的表達同時蛋白質Y抑制基因z的表達,那么,調控系數記作：

(2)

當蛋白質X和Y共同抑制基因z表達的時候,記調控系數為：

(3)

基于以上模型的假設,假如不考慮其他因素,那么它們的時間演化可由下列微分方程來確定,即：

(4)

方程中的參數取值見表1。

表1　隨著時間演化微分方程參數取值

3單參數分析

借助XPPAUTO通過數值模擬,在生物網絡的背景下,把參數α作為分岔參數。這里,考慮參數的取值區間是[0,200]。奇怪的是,當兩個負反饋耦合的時候,并不是振蕩減弱或者消失,相反地,還有可能隨著調控參數的增加,出現更復雜的振蕩,甚至還出現振蕩和穩定共存的情況。

借助XPPAUTO數據分析,發現考慮的參數α∈

[0,200],被分成了5個小區間(I-V),第5個區間的參數取值范圍是[21.32,200],為了更清楚的研究動力系統的解的動態,可以將參數α的取值選為[0,30],形成圖2的分岔圖。其中,區域I(α∈[0,14.91])和區域V(α∈[21.32,30])表示微分方程有不穩定的平衡解(圖2 中黑色虛線部分)和穩定的周期解(圖2 中藍色實線部分)共存的情形,上方的藍色線表示振動的最高位置,下方的藍色線表示振動的最低位置。其中,點α=14.91和點α=21.32是分支點。

圖2　α與X的分岔

在區域Ⅱ(α∈[14.91,15.85])和區域Ⅳ(α∈[20.85,21.32])系統出現豐富的動力學行為:①不穩定的平衡解(圖2中黑色虛線線部分);②一個小振幅的穩定周期解(圖2中紅色部分),如果在這兩個區域中做縱坐標軸的平行線,與紅色的線部分出現兩個交點,上方的交點表示振動的最高位置,下方的交點表示振動的最低位置;③一個中等振幅的不穩定的周期解(圖2中黑色圓圈組成的線);④一個大振幅的穩定的周期解(圖2中黑色實線部分),上方的黑色線表示振動的最高位置，下方的黑色線表示振動的最低位置。這就是說,如果參數α∈[14.91,15.85]或者α∈[20.85,21.32],系統會出現兩個穩定的周期解共存的情況,點α=15.85和點α=20.85是Hopf分支點。當參數α∈[15.85,20.85]變化時,系統出現豐富的動力學行為:①穩定的平衡解(圖2中黑色實線部分);②不穩定的周期解(圖2中黑色圓圈組成的線);③一個大振幅的穩定的周期解(圖2中黑色實線部分)。

圖3　X關于t的分岔以及X與Y的相

通過以上分析知道,隨著參數α的變化,系統平衡點的個數也在發生變化,尤其是當α∈[15.85,20.85]時,系統會有兩個穩定的周期解出現。但是,由微分方程解的存在定理可知:微分方程的解依賴于初始值,具體屬于哪個穩定的周期解還要看具體初值屬于哪類解的吸引域。

借助Matlab軟件畫出參數α不同初始值時系統解的狀態,見圖3。

其他參數不變,圖3(a)中,取參數α=14和初始值取X(0)=95,Y(0)=96,Z(0)=15,S(0)=97時,系統有穩定的周期解; 圖3(b)中，取參數α=15和初始值取X(0)=42,Y(0)=91,Z(0)=79,S(0)=95時,系統有大振幅的周期解;如果初始值取X(0)=25,Y(0)=16,Z(0)=11,S(0)=49時，系統有小振幅的周期解; 圖3(c)中,取參數α=18和初始值取X(0)=85,Y(0)=34,Z(0)=58,S(0)=22時,系統有穩定的平衡解; 取參數α=18和初始值取X(0)=25,Y(0)=34,Z(0)=58,S(0)=22時,系統有周期解。圖3(d)中，取與圖3(b)中有相同參數值和初始值的相圖，即兩個極限環。這與上面分析的α取值的五個區域分別對應的穩定解的個數是吻合的。

參考文獻：

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收稿日期：2016-04-10

作者簡介：劉彩霞(1988—),女,助理教師，主要從事應用數學的教學與研究工作。 畢小山(1966—),男,副教授,主要從事應用數學的教學與科研工作。

中圖分類號：Q-332

文獻標識碼：A

文章編號：1674-9944(2016)10-0236-03