動靜阻尼影響下錨桿瞬態動力響應的解析解及工作狀態預測

孫　冰，梁展平，曾　晟，肖佳輝，付志國，黃振江

(1．南華大學土木工程學院，湖南衡陽　421001;2．南華大學核資源工程學院，湖南衡陽　421001)

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動靜阻尼影響下錨桿瞬態動力響應的解析解及工作狀態預測

孫冰1，梁展平1，曾晟2，肖佳輝1，付志國1，黃振江1

(1．南華大學土木工程學院，湖南衡陽421001;2．南華大學核資源工程學院，湖南衡陽421001)

摘要:為了分析動靜阻尼條件下錨桿的瞬態動力響應特征以及荷載與錨桿振動基頻之間的相互關系，在考慮錨固介質對錨桿產生的動態與靜態阻尼力的影響下，基于波動理論建立了錨桿受瞬態激振時引起彈性振動的波動方程。在一端固定一端自由的邊界條件下，求解錨桿位移場的解析解，得到基頻與荷載之間呈二次冪函數關系。為了驗證理論分析的結果，采用室內模型錨桿的拉拔試驗和無損檢測試驗，對不同加載等級下的動測信號進行頻譜分析得出對應的基頻，采用最小二乘法擬合得到荷載與基頻之間的函數關系也呈二次冪函數關系，且施加的荷載小于錨桿體與錨固介質間的握固力時，荷載與基頻呈正相關關系，荷載大于握固力時，二者呈負相關關系，這與理論分析結果基本吻合。

關鍵詞:錨桿;瞬態動力響應;動靜阻尼;工作狀態;振動基頻

孫冰，梁展平，曾晟，等．動靜阻尼影響下錨桿瞬態動力響應的解析解及工作狀態預測［J］．煤炭學報，2016，41(6):1400－1406．doi:10．13225/j．cnki．jccs．2015．1310

Sun Bing，Liang Zhanping，Zeng Sheng，et al．Analytical solution of transient dynamic response and working condition prediction of bolt considering dynamic and static damping［J］．Journal of China Coal Society，2016，41(6):1400－1406．doi:10．13225/j．cnki．jccs．2015．1310

錨桿作為一種簡單的主動支護結構，能最大限度地保持圍巖的完整性和穩定性，控制圍巖變形、位移和裂縫的發展。因其具有成本低廉、加工簡便、安裝方便、施工速度快等優點［1－3］，其在巖土工程領域中得到了廣泛的應用，并且取得了豐碩成果及社會經濟效益［4－5］。但由于其自身的隱蔽性、工作環境的復雜性、設計、施工與管理的不確定性;在使用過程中，隨著環境的作用和變遷，整個系統也在不斷地調整變化或者產生病害，嚴重影響了錨桿的正常工作狀態。因此，影響錨桿工作狀態的錨固質量和錨桿承載力成為巖土工程界亟待解決的重要問題［6－8］。

在錨桿錨固質量檢測研究方面，用拉拔法來檢測錨桿質量的方法出現較早，但拉拔不可避免的對錨桿造成影響，甚至失效，所以其在工程應用中存在局限性。無損檢測技術日益受到廣大工程技術人員和學者的關注［9－11］。為了提高錨桿錨固質量的無損檢測精度，國內外許多專家學者進行了研究，并取得了一定成果［12－15］，但大多的研究未考慮荷載的影響。在實際的安裝使用過程中，錨桿或多或少都在承受荷載的作用，實際工程檢測也是在荷載作用的前提下進行的，若研究忽略了荷載作用，將使所得參數及其變化與實際的情況存在較大差別，更無法精確合理的指導工程實踐。錨桿在整個工作過程中，其工作荷載隨圍巖變形、碎脹和失穩變化而改變，不僅與錨桿自身的結構和材料特性有關，而且與圍巖的強度、變形特征及可錨性密切相關，是錨桿和圍巖相互作用的本質體現，也是影響錨桿支護結構及圍巖穩定性的關鍵參數。錨桿在縱向振動時，基頻與錨桿的錨固狀態和錨固長度密切相關，可以通過基頻有效地評價錨桿的錨固質量［16－17］。劉海峰等［18］進行了錨桿工作狀態的無損檢測研究，在荷載較小的條件下得到了基頻與工作荷載的關系式，為基于動測法確定錨桿工作載荷的范圍提供了依據，但較大等級荷載下的工作狀態需要進一步研究。在不考慮阻尼的情況下，對兩端自由的錨桿，基頻等于各階振型頻率之差;對一端固定一端自由的錨桿，基頻等于各階振型頻率之差的2倍［19］。全錨錨桿的振動要比前2種情況復雜很多，端錨錨桿錨固長度短錨固質量較差，故采用錨固長度長錨固力高的加長錨固錨桿。因此，本文針對加長錨固錨桿(下文中簡稱錨桿)采用一端固定一端自由的錨桿模型，考慮錨固介質對錨桿產生的動態與靜態阻尼力的影響，建立錨桿受瞬態激振時引起彈性振動的波動方程，求解位移場的解析解，探求大小等級荷載下錨桿基頻與荷載之間的關系，并通過實驗研究驗證理論分析結果的可靠性。

1　錨桿的瞬態動力響應

1.1低應變條件下錨桿的縱向振動的波動方程

錨桿在低應變縱向振動時，將其簡化為一維桿件建立波動方程，在錨桿微元體的分析因素中加入動靜阻尼系數，并假定錨桿的受激振動在彈性限度內、錨桿材料均勻或分段均勻且各向同性、錨桿受激振動時其截面保持為平面。如圖1所示，用x表示桿中某一橫截面的坐標，u(x，t)表示對應橫截面的縱向位移。取一微小單元體，單元體承受隨時間變化的動應力σ(x，t)。引入達朗貝爾解法［20］中的抗剪剛度k，即錨桿側單元發生單位位移時，周圍介質對錨桿側反向的靜阻力;考慮摩擦阻力，設單元體隨速度變化的摩擦阻尼系數為β，即錨桿單元以單位速度運動時，介質對錨桿產生動阻力。對單元體進行受力分析得x方向上的運動平衡方程為

式中，A為桿的橫截面面積;ρ為桿的質量密度。

圖1　細長桿及作用在微小單元體上的應力Fig.1　Thin rod and the stress of the tiny unit cell stressed by the rod

根據等截面假設，式(1)可以化簡為式(2):

根據胡克定律，有

式中，E為彈性模量;ε為軸向應變，則

根據式(3)和(4)，式(2)化簡為

當桿為非均勻桿件時，彈性模量E和密度ρ可不取常數，而可表達為 x的函數，即 E=E(x)和 ρ= ρ(x)。如果桿是均勻的，E和ρ是常數，則式(5)化簡為

即

式中，B為等效阻尼系數，B=β/(Aρ);K為等效彈性系數，K=k/(Aρ);V0為應力波沿錨桿縱向傳播的速度，。

1.2初始條件及邊界條件

(1)初始條件。

在錨桿錨固段的外端面(x=L，即錨固段與自由段交界面處)處受一瞬時沖擊力作用，根據動量定理，錨桿頂面將獲得一個初速度，如式(9):

引入Dirac函數δ(x)，有

式中，I為瞬時沖擊力對錨桿的沖量。

(2)邊界條件。

在實際工程中，基巖一般較硬，故可將錨固體末端作為固定端處理，另一端則為自由端，其邊界條件為

1.3錨桿瞬態響應的解析解

采用特征值法，式(7)有如下形式的解

由式(12)和(13)得位移方程，如下:

式中，ωn為角頻率;λ=－B/2;Cn，Dn為待定系數。

由初始條件方程式(8)可得Cn=0，于是式(14)化簡為

由速度初始條件有:

由廣義傅里葉級數展開，可得:

將式(18)代入式(16)可得錨桿位移響應方程如下:

1.4算例分析

筆者在Matlab環境下，依據本文所得解析解及必要參數，編制了錨桿瞬態激振下位移響應的計算程序。具體參數為:錨固長度1 900 mm，錨桿直徑25 mm，抗剪剛度 3.6×106N/m，瞬時沖量為0.025 N/s。所得模擬錨桿受激振時的位移響應曲線如圖2所示。

圖2　錨桿的解析解位移響應曲線Fig.2　Analytical solution displacement response curve of bolt

由圖2可知，在5 ms內，錨桿的振動以正弦方式出現多次固端反射和底端反射，且固端反射信號較強而底端反射信號微弱，這與一般的錨桿位移響應特征相似。另外，由于阻尼的影響使應力波發生擴散、散射以及吸收等現象，消耗了應力波的能量，從而使得響應曲線在短時間內衰減非常明顯。因此，上述現象驗證了解析解的可靠性。

2　錨桿工作荷載與基頻的關系

其中，T為作用在錨桿上的荷載。將式(20)代入式(13)得錨桿振動基頻與荷載之間的關系為

式中，f=ω/(2π)為振動頻率，由式(21)可知，作用在錨桿上的荷載與振動頻率之間呈冪函數關系。

在采用頻域分析的方法進行錨桿錨固質量判斷時，基頻是非常重要的參數，因為錨桿受激振動時的總能量是按各次諧振頻率進行分配的。錨桿各頻率成分的能量占總能量的比率為

錨桿在瞬態激振下，產生低應變，故式(15)可以近似寫為

將式(23)代入式(22)得

由式(24)可知，基頻能量占總能量的大部分，約80%。錨桿在縱向振動中，其振動的模態對橫向模態而言相對單一，基頻比較明顯，主要可以用基頻來衡量瞬態激振下錨桿的振動特性。錨桿錨固長度越長，基頻越高，錨固質量越好。

3　試驗驗證

3.1測試方法與測試系統

基于應力波反射法，采用力錘垂直激振錨桿外端產生沖擊荷載。測試系統由動態信號測試分析儀、壓電式力錘、壓電式加速度傳感器、信號放大器、數據采集儀、控制器、微機處理系統等組成。力錘為江蘇聯能Lc沖擊錘，重2.5 g，電荷靈敏度3.57 PC/N。動態信號分析儀為杭州億恒AVANT－10，為了避免在采樣時出現頻率折疊現象，采樣頻率至少取帶限信號最高頻率的2倍，故采樣頻率采用100 kHz，采樣點數4 096個，分析頻寬38.4 kHz。壓電式加速度傳感器5個，頻率范圍為0.5～10 kHz，靈敏度為2.47 Pc/ m/s2。對錨桿進行加載，采用50 t穿心千斤頂。

3.2模型試驗

室內模型錨桿采用長2.4 m、直徑28 mm的III級螺紋鋼筋，外露長度為0.5 m，砂漿配合比為1∶2∶4。以直徑200 mm的PVC管為模板，采用先插桿后注漿的施工方式，錨桿結構簡圖如圖3所示。加速度傳感器布置在錨固段與自由段的交界面處。

圖3　錨桿結構簡圖Fig.3　Structural scheme and arrangement of measuring points

3.3結果分析

基頻綜合反映錨桿、錨固介質和圍巖3者之間的握裹程度、參與振動質量的大小及有效錨固段上界面接近剛性連接的程度，可以通過錨桿動測信號的頻譜分析得到。通過計算得出鋼筋發生屈服時所對應的軸向拉力設計值即錨桿的極限承載力約為250 kN，此時錨桿將出現明顯位移。在實際工程中，錨桿驗收試驗時的加荷等級常取最大實驗荷載的10%;試驗中，為了獲得更精確的試驗結果，取加載步長為10 kN。在對錨桿施加一個穩定的拉拔荷載后，用力錘對錨桿端頭垂直施加一個小沖擊，測定在該等級荷載下錨桿的變形與加速度響應曲線如圖4所示(圖中僅列出了部分加載等級下的動測曲線)。通過對加速度時程曲線進行快速傅里葉變化，得出各等級荷載下對應的基頻見表1。

在錨桿無損檢測信號中，阻尼的存在會使信號強度逐漸衰減，從圖4的信號分析可以看出，在初期，加速度的幅值振動較大，但是衰減也較快;在后期，信號衰減變得十分緩慢，且在對單個測點信號進行阻尼分析時，所得到的阻尼變化情況僅為單個點的情況，不能綜合反映整個錨桿的阻尼變化情況。因此在討論荷載對阻尼的影響時不能通過分別計算阻尼值的大小來直接進行討論，然而從另一個角度出發，阻尼的作用在于對初始能量脈沖的能量消耗，可以通過對兩個傳感器信號的起跳點的幅值比變化情況進行分析，以判斷阻尼的變化情況。從圖4可知，錨桿的底端反射與首波的幅值比呈逐漸增加趨勢，而固端反射與首波幅值比呈逐漸減少趨勢，其原因在于當荷載達到一定值時，錨桿與周圍介質的粘結界面受到破壞，界面的握裹作用越小，錨桿底端反透射越強烈。

圖4　不同荷載下錨桿的動測加速度信號Fig.4　Acceleration response signals of bolt under different load

表1　荷載與基頻的實測Table 1　Measured values of different load and frequency

采用最小二乘法對表1中的數據進行分析處理，得基頻與荷載間的回歸方程(25)和擬合曲線如圖5所示。

由回歸方程(25)和擬合曲線圖5可知，在荷載作用下，錨桿的荷載與基頻關系曲線的回歸方程為2次冪函數，與理論分析吻合，相關系數達0.918以上。

圖5　實測基頻與荷載關系的擬合曲線Fig.5　Fitting curve of the measured load and frequency

由表1和圖4可知，當荷載比較小時，隨著荷載的增加，錨桿錨固系統的振動頻率逐漸增大。在一定等級范圍內，基頻的變化比較平緩;當荷載達到一定值時，試驗中為120 kN，振動頻率達到最大值，經計算該荷載值與錨桿體和錨固介質發生滑移時由于克服黏結面摩擦所需要施加的軸向拉力即握固力接近;隨著荷載繼續增加甚至達到極限承載力，振動頻率反而減小，而且頻率的減小隨著荷載的增加而加劇。原因在于，隨著荷載增加界面的連接受到破壞，錨固介質的抗剪強度減小，參與振動質量的能量減小，從而使得基頻減小。整體而言，錨桿的基頻較為穩定，但其在不同荷載下，各頻帶能量分布有明顯的差異。

4　結　　論

(1)考慮周圍介質對錨桿產生的動靜阻尼的影響，建立了錨桿受瞬態激振時的阻尼波動方程，推導了其位移場的解析解。若對位移的時間變量和空間變量求導，可得速度、加速度和應力應變。在實際工程中，可以根據具體需求求解不同的場量并與工程實際對比，指導實際檢測問題;同時，并根據工程經驗修正該解析解，或者探求更簡單的數值解或近似解。

(2)阻尼的存在引起對初始脈沖的能量消耗，表現為信號強度的逐漸衰減，阻尼的變化可以通過幅值比的變化來衡量。

(3)通過理論分析和實驗驗證得出，無論在大小等級荷載作用下，荷載與振動頻率之間均呈二次函數關系，相關系數達0.918以上。當施加的荷載小于錨桿體與錨固介質間的握固力時，荷載與基頻呈正相關關系;但當荷載大于握固力時，二者呈負相關關系，直到錨桿達到極限承載力而發生破壞。

(4)在實際工程中可以根據錨桿動測信號的頻譜分析，得到對應荷載下的基頻，根據擬合函數可以得到對應的工作荷載，還可以預測錨桿的握固力和極限承載力。

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中圖分類號:TD353

文獻標志碼:A

文章編號:0253－9993(2016)06－1400－07

收稿日期:2015－09－10修回日期:2015－12－27責任編輯:常琛

基金項目:國家自然科學基金資助項目(51204098);湖南省科技廳重點研發計劃資助項目(2015SK2058－4);湖南省重點學科建設資助項目

作者簡介:孫冰(1979—)，女，河南平頂山人，副教授。Tel:0734－8282594，E－mail:sunbingzs@126．com。通訊作者:曾晟(1977—)，男，湖南常德人，副教授。Tel:0734－8282230，E－mail:usczengs@126．com

Analytical solution of transient dynamic response and working condition prediction of bolt considering dynamic and static damping

SUN Bing1，LIANG Zhan-ping1，ZENG Sheng2，XIAO Jia-hui1，FU Zhi-guo1，HUANG Zhen-jiang1
(1．School of Civil Engineering，University of South China，Hengyang421001，China;2．Nuclear Resources Engineering College，University of South China，Hengyang421001，China)

Abstract:In order to analyze the characteristics of transient dynamic response and the relationship between loads and vibration fundamental frequencies of the bolt in the role of damping，in considering the impact of anchoring medium of the bolt on dynamic and static damping and based on wave theory，the wave equation，which is about the elastic vibration of the bolt when suffered by transient excitation，was established．Analytical solution of displacement field of the bolt was solved under the boundary condition that it is fixed at the one end of the bolt and it is free at the other end of the bolt．The theoretical result shows there is a second order power function relationship between the fundamental frequency and load．In order to verify the theoretical result，the pullout test and nondestructive test of the indoor model bolts were used，through the spectrum analysis of the dynamic testing signals，the fundamental frequency was obtained under the corresponding load．Fitting function relationship between load and fundamental frequency by using the least squares also presents a second order power function relationship，the load and fundamental frequency are positively correlated when the load is less than the grip between the medium and bolt-rod，but it is the negative correlation be-tween both when the load is more than the grip，and the results are consistent with the theoretical analysis．

Key words:bolt;transient dynamic response;dynamic and static damping;working condition;fundamental frequency