煤礦工作面頂板傾斜鉆孔疏放水井流計算方法

陳　實，董書寧，李競生，王　皓，楊　建

(1．中煤科工集團西安研究院有限公司，陜西西安　710054;2．陜西省煤礦水害防治技術重點實驗室，陜西西安　710077)

?

煤礦工作面頂板傾斜鉆孔疏放水井流計算方法

陳實1，2，董書寧1，2，李競生1，王皓1，2，楊建1，2

(1．中煤科工集團西安研究院有限公司，陜西西安710054;2．陜西省煤礦水害防治技術重點實驗室，陜西西安710077)

摘要:以頂板疏放水中常用的傾斜鉆孔為對象，以空間點源理論為基礎，運用反映法，建立了均質各向異性無限水平承壓含水層中非完整傾斜鉆孔的井流計算方程，討論了多個傾斜鉆孔同時工作時，多孔疊加的疏放水井流計算方法。在此基礎上，運用陜北某礦頂板含水層疏放水工程實例，驗證了此方法的有效性。形成了一套集分析、模擬、預測為一體的傾斜鉆孔疏放水計算方法。

關鍵詞:傾斜鉆孔;頂板疏放水;井流計算;煤礦工作面;解析解

陳實，董書寧，李競生，等．煤礦工作面頂板傾斜鉆孔疏放水井流計算方法［J］．煤炭學報，2016，41(6):1517－1523．doi:10．13225/ j．cnki．jccs．2015．0901

Chen Shi，Dong Shuning，Li Jingsheng，et al．Analytical solution for slanted well in the roof of coal mine working face［J］．Journal of China Coal Society，2016，41(6):1517－1523．doi:10．13225/j．cnki．jccs．2015．0901

煤礦頂板水害是煤礦建設與生產中的主要災害之一，頻發的煤礦頂板突水造成了極為慘重的人身傷亡和經濟損失，已成為制約煤礦安全生產的瓶頸，而開展頂板疏放水是預防這一災害的關鍵。在眾多的疏放水技術中，傾斜鉆孔疏放水因其施工難度低、疏放效率高，已作為一項成熟的煤礦水害防治技術，在煤礦防治水特別是在煤礦頂板水害防治中得到了廣泛的應用。

煤礦井下施工的傾斜疏放水鉆孔開孔位置與鉆孔軌跡有別于通常的水文地質供水井。井下疏放水鉆孔開孔位置通常布置在煤礦工作面運輸巷和回風巷道所處的煤層或煤層頂底板中，鉆孔穿過煤層頂板傾斜進入含水層。因此，現有的井流計算方法在計算煤礦傾斜鉆孔井流時都具有一定的局限性。

現有井流計算方法中，以鉆孔從地面垂直進入含水層的垂直井流計算方法發展較早且較為成熟，這些方法在煤礦防治水中已有了大量應用［1－2］。2009年，王旭升和萬力［3］對這些方法進行了歸納;孫訥正［4］、李競生和姚磊華［5］、薛禹群［6－7］、陳崇希［8］運用解析解開展了含水層參數識別方法研究。詹紅兵和萬軍偉［9］針對含水層中的水平鉆孔推導了系列水平井流計算方程。

然而，無論是垂直井流計算方程還是水平井流計算方程，應用于煤礦井下傾斜鉆孔疏放水的計算中，往往與生產實踐有較大的背離。造成疏水量過小煤礦工作面被淹，或者疏放水過多水資源浪費的現象。

傾斜鉆孔井流計算方法研究最早起源于石油斜井產能計算。本文參考了Cinco－Ley［10］推導的計算石油斜井產能的解析方程，建立了含水層中傾斜鉆孔疏放水的井流方程。推導過程中考慮了石油斜井產能解析方程未涉及的滲透系數各向異性條件。建立的解析解方程同時適用于完整井和非完整井流計算。

建立的傾斜鉆孔疏放水井流的計算方法將為準確預測傾斜鉆孔疏放水量、疏放水時間、控制疏放水降深提供科學依據，對防治煤礦頂板水害具有重要意義。

1　傾斜鉆孔井流計算方程推導

1.1承壓含水層傾斜鉆孔理想模型

圖1展示了承壓含水層中一個傾斜鉆孔的三維概念模型。含水層為均質各向異性，坐標系的原點位于含水層底板(傾斜鉆孔豎直與水平的中點位置)。含水層厚度為M，且在水平平面上無限延伸。鉆孔的長度為Lw，從含水層的下邊界至鉆孔中點的測得的距離為Zw，如圖1所示。圖中θ為觀測點和坐標原點連線在水平面上的投影與r軸的夾角，θw為鉆孔與水平方向的夾角。θw=90°表示垂直井的特殊情況。筆者不考慮水平井的情況，方程中θw≠0。

據以上條件作出如下假定:

(1)含水層是均質、各向異性、等厚且水平分布，含水層為彈性體;

(2)無垂向補給、排泄，即W=0;

(3)滲流滿足達西定律;

(4)鉆孔可以是完整井也可以是非完整井，假定流量沿井壁均勻進水;

(5)水頭下降引起地下水從儲存量中的釋放是瞬時完成的;

(6)疏放水前水頭面水平;

(7)井徑無限小且定流量疏放水;

(8)含水層側向無限延伸。

由于套管和濾管的作用，鉆孔的導水段可以在含水層的任意位置傾斜任意角度。

圖1　承壓含水層中部分止水的傾斜鉆孔示意Fig.1　Slant well in confined aquifer with part sealing

1.2空間瞬時點匯

1884年，L.Kelvin在研究熱傳導的理論中［6］，對均質各向同性無限介質中一瞬時空間點源作用下溫度的分布規律提出一個基本解。這個解成為研究地下水的井流的一個重要方法——源匯法的基礎(圖2)。

將Kelvin的解拓寬到各向異性介質，在強度為Vp的瞬時點匯作用下，無限空間中任意觀測點P(r，z，t)處水頭降深的分布規律可以表示為

式中，s(r，z，t)為觀測點P處t時刻的水頭降深;r為觀測點P與空間點匯水平方向的距離;z為觀測點P與空間點匯垂直方向的距離;t為從瞬時疏放水開始至觀測時的時間;Vp為空間點匯的瞬時點匯的強度，即點匯瞬時抽取的水的體積;μs為給水度;ar=Krr/μs為含水層水平方向的壓力傳導系數;az=Kzz/μs為含水層垂直方向的壓力傳導系數;Krr和Kzz分別為水平方向和垂直方向的滲透系數;為坐標變換后將各向異性含水層等效為各向同性含水層的觀測點徑向坐標;(0，z')為瞬時點匯在z軸上的位置。

式(1)為觀測點P處水頭降深的二維空間解，其意義為，在無限均質各向異性的空間(含水層)中，當t=0時，在點(0，z)處有一井徑趨于0的球狀井瞬時抽取地下水體積Vp后，t時刻在(r，z)處引起的水頭降深s。對于注水井，s和Vp均取負值。

1.3空間瞬時線匯

建立三維空間柱坐標系，縱軸為z軸，水平面為極坐標系。柱坐標系中在(r，0，z)平面上存在長為Lw，與水平方向夾角為θw，中點坐標為(0，0，zw)的瞬時線匯(圖3)，線匯上瞬時疏放水強度為V。在線匯上取一極小段，設其縱向長度為dzp。當dzp→0時，則微分線匯dzp的瞬時強度為VL=V/dzp。方程式(3)即為在微分瞬時線匯dzp(可視為瞬時點匯)的作用下，三維空間中觀測點P(r，θ，z)處的微分降深。

圖2　瞬時空間點匯及觀測點的位置Fig.2　Instantaneous sources point and observation point

圖3　無限空間含水層傾斜線匯及觀測點的位置Fig.3　Infinite space aquifer slanted line sinks and observation points

根據初始假定，該定解條件可寫成

式中，H(r，θ，z)為P點處水頭降深;H0為含水層初始水頭高度;θ為觀測點與坐標原點的夾角。

均質各向同性無限含水層中K為滲透系數;a=K/μs為含水層壓力傳導系數;在線匯Lw的作用下，P點的降深為

對各向異性無限含水層，設α=Krr/Kzz，則P點的降深為

1.4有限空間連續線匯

有限空間中，在一連續強度為Q的線匯作用下，任意點的降深為s。那么，在τ時刻，在瞬時強度為Qdτ的線匯作用下，觀測點則有ds的反映。對τ從0至t積分，可以得到在任意點連續疏放水強度QL的線匯作用下t時間的降深。對于頂底板隔水的各向同性水平無限含水層:

在均質各向異性有限含水層中P點的降深為

式(6)即為頂底板隔水的含水層中，長度為Lw，與水平方向夾角為θw的傾斜連續線匯的解析解表達式。將式(6)轉換成求直角坐標的形式:

假設傾斜鉆孔透水段中點在坐標系中的坐標為(j，k)，鉆孔鉆進方向與坐標系x方向的夾角為γ，則式(7)在該坐標系中的表達式為

根據井群干擾原理多個疏放水孔在同一點產生的降深為各個疏放水孔單獨引起降深的總和，即

通過計算每個鉆孔在觀測點的降深，并將其疊加，即將式(8)代入式(9)，就可以求得觀測點的最終降深。

1.5線匯垂直與水平面

若線匯垂直于水平面，即θw=90°時，則式(5)可轉化為

當含水層厚度為M時，線匯貫穿整個含水層，其強度為V。因此，厚度為M的承壓含水層，平面瞬時點匯的方程為

2　數值求解算例

為了更深入了解各個方程中的參數如何影響井流分布，本章選取了數個代表性參數并代入式(7)中，采用Matlab程序計算觀測點的降深。

具體的求解過程:

(1)建立空間三維直角坐標系，以x，y，z對應水平方向及縱坐標，其中鉆孔中點在z=0平面的投影作為坐標原點，鉆孔鉆進方向作為x軸正方向;

(2)選擇特定水文地質參數、鉆孔參數、時間及水量參數代入方程計算;

(3)計算觀測點降深隨時間變化的曲線，并對比不同觀測點降深隨時間變化的曲線;

(4)計算并對比不同觀測位置，傾斜鉆孔疏放水對觀測點降深的影響。

2.1理想模型參數

圖4反映了一個在承壓含水層中進行疏放水的傾斜鉆孔。為了討論式(7)中各個參數對降深的影響，本節中考慮不同含水層參數、不同鉆孔形態下的情形，并將承壓含水層內水流假設為三維流。滲透系數的選取參考了砂巖含水層經驗滲透系數。傾斜鉆孔假定為透水段穿過整個含水層的完整井，當鉆孔傾角變化時也將改變鉆孔長度。其他參數的選取參考了陜北某礦工作面疏放水鉆孔參數。

圖4　傾斜鉆孔頂板疏放水示意Fig.4　Schematic slant drilling roof water drainage

為方便討論，疏放水時間為100 min，疏放水量為1.167 m3/min。

文化身份理論的代表人物是Collier和Thomas，該理論主要探討的問題是在跨文化交往中個體應當如何處理文化身份。文化身份理論認為，交際雙方在跨文化交際的過程中是擁有多元文化身份的個體；跨文化交際是一個永無止境的過程，人們在和其他人交流時，發展多元身份并對其進行管理（Collier&Thomas，1988）[4]。該理論有一個重要的命題，即文化身份越是自認定，在與其他身份相比時，它們的位置就越重要。該理論把跨文化交際和文化認同緊密聯系起來，認為跨文化交際的前提和重要標識是交際雙方對各自文化的認同。文化身份理論強調了在跨文化交際中，個體對母語文化認同的重要性。

與觀測點相關的參數有3個，即觀測的x，y，z坐標。觀測點P的坐標見表1。

表1　觀測點坐標取值Table 1　Observation point coordinate values　m

與鉆孔形態有關的參數有3個:zw，θw，Lw。鉆孔長度 Lw反映了鉆孔在含水層中的長度，取值44.18 m，當鉆孔穿過整個含水層時成為完整井，鉆孔中點高度zw位于xy軸0點處，zw取值為20 m。θw反映鉆孔與含水層之間的夾角，角度的變化將影響s的大小、降深等值線的形態，θw取值為65°。

與承壓含水層有關的參數有4個:含水層厚度M，取值為40 m;滲透系數K，取值為0.000 125 m/min;垂向壓力傳導系數和水平壓力傳導系數比值α，取值為1;給水度μs，取值為0.000 008。

2.2降落漏斗形態計算

描述垂直鉆孔疏放水時降深與時間關系的泰斯井流計算方程為二維流方程。求解泰斯井流計算方程所繪制觀測點的s－t曲線僅與觀測點與鉆孔的水平距離有關。但傾斜鉆孔井流計算方程所求解的是三維空間中各觀測點的降深分布，求解傾斜鉆孔井流計算方程所繪制的s－t曲線與觀測點在三維空間中的位置有關。P3，P4觀測點以x=0平面，即傾斜鉆孔所在垂直平面為對稱平面，相互對稱。此時2個觀測點的s－t曲線完全相同。P1，P2點雖然距離鉆孔中心的距離與P3，P4點相同，但P1，P2點與P3，P4點的s－t曲線并不相同。

為了進一步了解傾斜鉆孔定流量疏放水在不同觀測點引起的水頭降深的形態，選取三維空間中4個觀測點，計算當t由0～4 320 min時各點的降深。觀測點的坐標為:P5，P6，P7，P8計算結果如圖5所示。P5，P6，P7，P8觀測點與坐標軸原點的距離完全相同。

圖5　不同觀測點降深－時間的對比Fig.5　Different observation points drawdown-time comparison chart

由圖5可以看出:以x=0平面，即傾斜鉆孔所在垂直平面為對稱平面，相互對稱的兩個觀測點P7，P8的s－t曲線形狀完全相同。以y=0平面，相互對稱的兩個觀測點P5，P6的s－t曲線形狀卻完全不同，它們與P7，P8的s－t曲線形狀也完全不同。

P5，P6雖然與坐標軸0點距離相同，但P6點降深明顯大于P5點，這與傾斜鉆孔的傾斜特點有關。對于任意2個觀測點，只有當其坐標滿足與鉆孔距離的積分和相同時其s－t曲線形狀才能完全相同。

為了了解含水層同一水平面內各觀測點固定時刻的降落漏斗形態，計算t=4 320 min時，z=0，y=0線上－60 m至60 m的區域降深。以x軸為橫坐標，降深s為縱坐標繪制圖6，如圖6所示降深曲線為一個不對稱的漏斗形狀，降深最大值位于x=－9 m點附近，這證明在該點處，觀測點與疏放水鉆孔上各點距離的平方和相對其他各觀測點是最小的。

選取鉆孔鉆進方向沿y=0面做剖面圖，計算x=－40 m至x=40 m，z=0至z=40 m區域內在t= 4 320 min時的降深，如圖7所示。圖7中顏色深淺代表該點降深的大小，由圖7可以看出，在y=0剖面上，靠近鉆孔的區域降深最大。假設初始水頭相等，y=0剖面上地下水流速矢量圖如圖8所示。

圖6　x軸上降落漏斗形態示意Fig.6　x-axis cone of depression

圖7　y=0面計算區域降深灰度圖Fig.7　y=0 calculate surface area grayscale drawdown

圖8　y=0面計算區地下水流速矢量Fig.8　y=0 surface groundwater velocity vector calculation

由圖7，8可以看出，在傾斜鉆孔定流量疏放水的情況下，在剖面上降深自鉆孔向外逐漸減小，地下水集中向鉆孔區域流動。

為研究降深在水平方向的分布，選取z=10 m時x=－60 m至x=60 m，y=－60 m至y=60 m的平面，計算降深的分布情況，如圖9所示。

由圖9可以看出，在z=10 m平面上最靠近傾斜孔與平面交點處的降深最低，在平面上地下水呈現出降落漏斗的形態，等降深曲面的形狀近似為橢圓形。

圖9　z=10 m平面計算區地下水降深三維示意Fig.9　Three-dimensional schematic diagram of groundwater drawdown z=10 m flat calculate area

3　傾斜鉆孔多孔疊加疏放水預測

3.1研究區背景

陜北某礦31101工作面是該礦井首采工作面，工作面回采3－1煤層，屬于侏羅系延安組地層。31101工作面回采后，導水裂縫帶高度將達到3－1煤頂板的侏羅系直羅組砂巖裂隙含水層。為了保證工作面安全回采，計劃對31101工作面頂板施工傾斜疏放水鉆孔對含水層進行提前疏放。本節應用上節推導的解析解對鉆孔井流進行了計算，為疏放水鉆孔方案驗證，確定疏放水時間提供了依據。

3.2傾斜鉆孔多孔疊加疏放水工程設計

礦方以前期勘探資料為基礎，對整個工作面進行了疏放水鉆探工程施工。鉆孔參數及位置詳見表2。

表2　31101工作面井下探放水鉆孔參數Table 2　Parameters of slanted boreholes in 31101 work face

鉆孔布置如圖10所示。圖中綠色線條圍成的矩形區域為工作面范圍，藍色線條為施工的疏放水鉆孔。工作面內共設計布置疏放水鉆孔總數為126個，鉆孔仰角均為45°，孔深為180 m。

3.3工作面疏放水預測計算

1.4節中推導的方程中的二重積分十分復雜，直接求解非常困難，選用數值法進行計算是更為可行的方法。本節采用Matlab編程，將工作面內鉆孔參數及含水層參數代入方程數值求解了式(9)，含水層參數:厚度M為120 m;滲透系數K為0.18 m/d;縱向、橫向滲透系數比 α為1;μs為0.000 008。得到了31101工作面頂板z=0平面內各點的降深，并將所求得結果繪制了降深等值線圖。計算得到鉆孔已定流量抽水3 d后31101工作面內地下水等降深值，如圖10所示。

圖10　31101工作面鉆孔疏放水降深等值線Fig.10　31101 work face drilling water drainage drawdown contour map

由圖10可知，31101工作面內疏放水鉆孔全部按計劃進行定流量疏放3 d后工作面內頂板直羅組含水層水位降深最大將達到500 m，滿足了工作面頂板疏放水的要求。

按照設計疏放3 d后總疏放水量為82萬m3，在陜北某礦礦井工作面實際施工過程中，總疏放水量約為78萬m3，計算水量與實際疏放水量接近。

4　結　　語

(1)傾斜鉆孔井流計算方程所求解的是三維空間中各觀測點的降深分布，求解傾斜鉆孔井流計算方程所繪制的s－t曲線與觀測點在三維空間中的位置有關。

(2)降深曲線為一個不對稱的漏斗形狀，降深最大值靠近鉆孔所在位置。觀測點與疏放水鉆孔上各點距離的平方和相對其他各觀測點是最小的。在y= 0 m剖面上，靠近鉆孔的區域降深最大。在傾斜鉆孔定流量疏放水的情況下，在剖面上降深自鉆孔向外逐漸減小，地下水集中向鉆孔區域流動。觀測點越靠近傾斜孔與平面交點處其降深越低，在平面上地下水呈現出降落漏斗的形態。

(3)通過對現場試驗的研究結合傾斜鉆孔井流計算方程，進一步驗證了傾斜鉆孔井流計算方程適用于煤礦疏放水的實際工作。

參考文獻:

［1］ 國家安全生產監督管理總局．煤礦防治水規定［M］．北京:煤炭工業出版社，2009．

［2］ 國家安全生產監督管理總局．煤礦安全規程［M］．北京:煤炭工業出版社，2011．

［3］王旭升，萬力．地下水運動方程［M］．北京:地質出版社，2009．

［4］ 孫訥正．地下水流的數學模型和數值方法［M］．北京:地質出版社，1981．

［5］ 李競生，姚磊華．含水層參數識別方法［M］．北京:地質出版社，2003．

［6］薛禹群，吳吉春．地下水動力學［M］．北京:地質出版社，2010．

［7］薛禹群，謝春紅．地下水數值模擬［M］．北京:科學出版社，2007．

［8］ 陳崇希．地下水流數值模擬理論方法即模型設計［M］．北京:地質出版社，2013．

［9］ 詹紅兵，萬軍偉．水資源和環境工程中水平井研究簡介［J］．地球科學:中國地質大學報，2003，28(5):511－517．Zhan Hongbing，Wan Junwei．Horizontal wells in water resources and environmental engineering［J］．Earth Science(Journal of China University of Geosciences)2003，28(5):511－517．

［10］CincoLey．Unsteady-state pressure distribution created by a directionally drilled well［J］．Journal of Petroleum Technology，1975，27(11):1392－1400．

中圖分類號:TD745

文獻標志碼:A

文章編號:0253－9993(2016)06－1517－07

收稿日期:2015－06－23修回日期:2015－12－08責任編輯:韓晉平

基金項目:國家自然科學基金資助項目(41302214);陜西省自然科學基礎研究資助項目(2014JM2－5064);中煤科工集團有限公司面上基金資助項目(2014MS002)

作者簡介:陳實(1983—)，男，湖北孝感人，助理研究員。Tel:029－87862248，E－mail:38785899@qq．com。通訊作者:董書寧(1961—)，男，陜西藍田人，研究員。Tel:029－81778066，E－mail:dsn_61@hotmail．com

Analytical solution for slanted well in the roof of coal mine working face

CHEN Shi1，2，DONG Shu-ning1，2，LI Jing-sheng1，WANG Hao1，2，YANG Jian1，2
(1．Xi’an Research Institute Co．Ltd．，of China Coal Technology＆Engineering Group Corp，Xi’an710054，China;2．Shaanxi Key Laboratory of Coalmine Water Hazard Control，Xi’an710077，China)

Abstract:Water-inrush from roof is one of the most harmful hazards to coal mine construction and production．The technologies of slanted drilling and drainage have been widely used in the field of coal mine water prevention and treatment，especially in preventing and controlling the water-inrush from roof．Based on the theory of point source space，this paper derived a calculation method of the well flow caused by slanted borehole in infinite horizon confined aquifer．Superposition of infinite horizontal porous confined aquifer complete slanted bore-hole flow calculation equation has been verified．A set of analysis，simulation and forecast of the coal mine roof slanted borehole drainage theory and method of water was formed．Calculation equation for slanted borehole laid a good foundation to the design of the coal mining face water discharge．

Key words:slanted borehole;roof water gush in coal mines;well flow;coal mine working;analytical solution