基于浸入與不變的氣動彈性系統反演滑模控制*

侯小燕 薛文濤 張 晨

江蘇科技大學， 鎮江 212003

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基于浸入與不變的氣動彈性系統反演滑模控制*

侯小燕 薛文濤 張 晨

江蘇科技大學， 鎮江 212003

針對外部擾動不確定的機翼氣動彈性顫振問題，提出一種基于系統浸入與流形不變的自適應反演滑模控制方法。首先建立了帶雙控面和不確定外部擾動的氣動彈性系統模型。然后結合反演和滑模控制理論設計了自適應Super-twisting反演滑模控制器，其中自適應擾動估計的設計采用浸入與不變方法，在系統整體自適應律中加入額外補償項并建立擾動估計誤差流形，通過自適應律的設計來保證誤差流形的不變及吸引，從而保證擾動估計誤差的收斂。最后對設計的控制系統進行了Lyapunov穩定性證明和仿真。結果表明，利用該方法設計的控制器外部擾動估計準確，翼段浮沉位移和俯仰角的控制優于傳統的自適應滑模控制，氣動彈性系統的穩定性和自適應性有所提高。 關鍵詞 氣動彈性機翼；浸入與不變；反演；自適應；Super-twisting；滑模控制

飛行器的氣動彈性問題是氣動力、彈性力和慣性力相互作用的結果，包括機翼顫振、操縱面嗡鳴及抖振等現象[1-3]。氣動彈性系統的非線性也可能導致系統響應出現跳躍現象、極限環、模態交互和其它現象。顫振是一種復雜的非線性不穩定現象，包括極限環振蕩、分岔和混沌運動等。顫振將嚴重影響飛行器的正常運行，導致結構疲勞甚至翼段損壞，由此可見，進行精確的非線性估計和相關的顫振主動抑制至關重要。

近年來，許多非線性氣動彈性顫振的分析和控制技術取得了較大進展。例如,反饋線性化、極點配置、滑模和自適應方法等已嘗試應用于機翼氣動彈性系統的控制，并取得了一定的成果[4-7]。文獻[8]采用反饋線性化策略對具有浮沉和俯仰角多項式的非線性二元機翼進行顫振抑制，并通過風洞實驗驗證了其有效性。文獻[9]通過在線求解依賴于狀態變量的Riccati方程來確定控制器，從而解決了非線性氣動彈性模型的顫振問題。文獻[10]設計了一種自適應模糊滑模解耦控制器，基于解耦系統的狀態變量設計了2個滑模面，采用2個單獨的輸入實現浮沉位移和俯仰角的同步控制。然而這些方法對存在外部擾動的氣動彈性系統自適應能力較差，僅能在一定程度上削弱外部擾動對系統的影響。文獻[11]針對高音速顫振系統設計了一種自適應模糊滑模主動控制器，采用模糊方法來估計系統的非線性動態特性，并設計了自適應律和主動控制律來保證外部擾動下系統跟蹤誤差的快速收斂和其它信號的一致有界，該方法通過系統不確定估計提高了系統的魯棒性，但系統的動態響應速度和參數估計精度有待進一步提高。

滑模控制具有較強的魯棒性[12-13]，其滑動模態可以自由設計且與對象參數和擾動無關，但傳統滑模由于控制量的不連續切換在實際應用中受限，這種不理想切換將導致系統抖振。反演法[14-15]不存在抖振現象，是一種嚴格收斂和基于Lyapunov函數的反步遞推法，在增強系統的魯棒性方面具有較大的靈活性。本文將兩者結合進行氣動彈性系統控制器的設計。

此外，自適應控制也常用于具有較多不確定因素和外部擾動的氣動彈性系統。文獻[16-17]提出了基于浸入與不變的自適應控制方法和參數估計方法，在系統參數估計律中引入額外補償項來增加設計的自由度，對系統的未知參數進行估計，并使參數估計誤差一致穩定收斂。浸入與不變通過保持流形的不變與吸引從而保證整個系統的穩定，將該思想應用于系統參數的估計上，相比傳統的基于等價原則的自適應控制方法多出一額外補償項，使系統參數的估計由原來的積分作用轉化為比例積分作用，從而提高了參數估計的靈活性，改善了非線性自適應系統的控制性能。

針對帶有不確定外部擾動的非線性氣動彈性系統，本文將浸入與不變和滑模控制相結合，提出一種基于浸入與不變的自適應反演滑模控制方法。利用浸入與不變方法進行未知擾動估計來削弱外部擾動對系統的影響，反演滑模則采用反步遞推設計了Super-twisting滑模控制器，克服了未知擾動估計偏差，提高了系統的穩定性，最后對設計的控制系統進行了仿真分析。

1 氣動彈性系統建模

機翼氣動彈性系統結構[18]如圖1所示，根據氣動彈性系統理論，以前副翼偏轉角γ、后副翼偏轉角β為控制輸入，翼段浮沉位移h、俯仰角α為系統輸出，建立系統運動方程如式(1)所示。本文采用滑模主動控制，通過前后副翼偏轉角γ和β來控制翼段浮沉位移和俯仰角平穩輸出，從而實現彈性機翼的顫振抑制。

圖1 機翼氣動彈性系統結構

(1)

式中，b為機翼半弦長，mt為主翼和控制部分的總質量，mw為主翼的質量，Iα為機翼慣性矩，xα是質心到彈性軸的無量綱距離，ch和cα分別為浮沉位移和俯仰角阻尼系數，kh和kα(α)分別為浮沉位移和俯仰角的彈簧剛度系數，L和M分別為氣動力和力矩。這里kα(α)用以下非線性多項式表示：

αkα(α)=k1α+k2α3

(2)

引入非定長氣動力和力矩公式[18]：

ρU2bclβspβ+ρU2bclγspγ

(3)

(4)

本實驗的模型在對稱機翼機構條件下，cmα=0，適用于低頻、亞音速飛行條件。

為了方便起見，取c1=ρU2bsp，c2=ρU2b2sp，將式(3)改寫為如下形式：

c1clββ+c1clγγ

(5)

定義狀態變量和系統輸出：

y=[y1,y2]Τ=[x1,x2]Τ。

將式(3)代入式(1)，并改寫為狀態空間方程：

(6)

cαnon1=-mtk2,

c1mwxαbclα(1/2-a)b(1/U)-cαmt,

ch1=khmwxαb,

cαnon2=mwxαbk2,

c1Iαclα(1/2-a)b(1/U)+cαmwxαb,

ch2=-khIα,

2 基于浸入與不變的自適應反演滑模控制

(7)

(8)

相比傳統自適應控制，在自適應律中加入了額外補償函數β1(x1,x3)和β2(x2,x4)，它的引入將使整體擾動估計由積分轉換為比例積分，從而增加了擾動估計律設計的靈活性。整體自適應律不僅受擾動估計自適應率影響，也與額外補償項β1(x1,x3),β2(x2,x4)有關。

設計Lyapunov函數：

(9)

(10)

設計滑動面：

(11)

(12)

根據滑模理論設計包含Super-twisting項的二階滑模控制器：

(13)

現在只需設計擾動估計自適應律w1,w2及額外補償項β1(x1,x3),β2(x2,x4)，使流形保持不變和吸引。對擾動誤差式(8)求導得：

(14)

選取擾動估計自適應律w1,w2如下：

(15)

將其代入擾動估計誤差導數式(14)得：

(16)

對于式(16)，取Lyapunov函數：

(17)

(18)

取?β1(x1,x3)/?x3=γ1，?β2(x2,x4)/?x4=γ2，自適應增益γ1，γ2為常數。則β1(x1,x3)=γ1x3，β2(x2,x4)=γ2x4，至此基于I&I的自適應反演滑模控制律設計完畢。

下面分析系統的穩定性,整理式(12)和(16)得：

(19)

定義如下Lyapunov函數：

(20)

對于式(16)取Lyapunov函數：

(21)

其中，ks1,ks2,η1,η2,λ1,λ2,ε1,ε2均為正數。

3 仿真分析

為驗證所設計控制器的有效性，對給出的非線性系統(6)在控制器(13)作用下的響應進行仿真，并將結果與傳統自適應反演滑模控制[19]在相同初始條件下的仿真結果進行比較。相較于文獻[19]，本文的自適應控制器采用浸入與不變方法設計，在傳統自適應律中加入了額外補償函數，將整體擾動估計由積分轉換為比例積分，提高了擾動估計的靈活性，且本文設計的控制器為Super-twisting二階反演滑模控制器，與式(19)設計過程不同，Super-twisting控制項的引入同樣可以簡化控制器的設計，提高控制精度[20]。

系統方程中變量參數取值如下：

a=-0.6719,mt=15.57kg,mw=4.34kg,

ρ=1.225kg/m3,b=0.1905m,sp=0.5945m,

kα(α)=12.77+1003α2,xα=-(0.0998+a),

kh=2844.4N/m,ch=27.43kg/s,cα=0.036kg·m2/s,

clα=6.757,clβ=3.358,clγ=-0.1566,cmα=0,

cmβ=-0.6719。

圖2為2種控制方法下氣動彈性系統的仿真對比。其中，圖(a)和(b)為浮沉位移和俯仰角的時間響應，圖(c)和(d)為控制輸入u1和u2，圖(e)和(f)為滑動面s1和s2，圖(g)和(h)為浮沉位移和俯仰角的相平面軌跡，圖(m)和(n)為外部擾動估計d1和d2。

圖2 兩種控制方法的仿真對比

可以看出在給定輸出參考軌跡情況下，盡管存在不確定外部擾動，由于擾動估計自適應律的引入，2種控制器均能穩定跟蹤給定狀態，實現氣動彈性機翼顫振的主動抑制，但基于I&I的反演自適應二階滑模控制對外部擾動估計更準確，且由于控制器中Super-twisting項的引入，加快了浮沉位移和俯仰角的收斂速度。由圖(a)和(b)可以看出I&I ABSMC控制的機翼系統的浮沉位移和俯仰角過渡時間更短，收斂過程較平穩，消除了機翼系統的顫振和傳統滑模的抖振。由圖(c)～(f)可知在2種控制方法下，控制輸入u1和u2和滑動面s1和s2最終都隨系統的漸近穩定收斂至0，且收斂過程不存在抖振，但I&IABSMC控制下的控制輸入和滑動面收斂速度更快。由圖(g)和(h)可知，I&IABSMC控制下的浮沉位移和俯仰角相平面軌跡顯然更平滑、穩定。圖(m)和(n)表明基于I&I的擾動估計可以快速達到真實值，比傳統的自適應估計更為準確。本文提出的I&IABSMC控制策略能有效控制機翼氣動彈性系統運行在期望的狀態，系統在存在未知外部擾動情況下仍具有較好的動靜態性能。

4 結 論

針對外部擾動不確定氣動彈性系統，將浸入與不變方法應用于不確定擾動的估計，并使用反演法設計了自適應Super-twisting滑模控制器。I&I在外部擾動估計時不遵循傳統自適應控制的等價性原理，其穩定性由擾動估計誤差的漸進收斂來保證。控制律的設計中，將反步遞推和二階滑模控制相結合，設計了包含Super-twisting控制項的連續二階滑模控制器，保證了系統的穩定性和自適應性。仿真結果表明：基于I&I對擾動估計的準確性，翼段浮沉位移和俯仰角輸出的穩定性得到提高。同時設計的連續滑模控制律也消除了滑模控制的抖振，加快了系統狀態的收斂。

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Backstepping Sliding Mode Control of Aeroelastic System Based on Immersion and Invariance

Hou Xiaoyan, Xue Wentao, Zhang Chen

Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang 212003, China

Inviewoftheaeroelasticflutterproblemofairfoilwithuncertainexternaldisturbances,amethodofadaptivebacksteppingslidingmodecontrol(SMC)basedonsystemimmersionandmanifoldinvariant(I&I)foraeroelasticitysystemisproposed.Firstly,themodelofaeroelasticsystemcontrolledbydoublecontrolsurfacesisestablishedwithuncertainexternaldisturbances.Thentheadaptivesuper-twistingbacksteppingslidingmodecontrollerisdesigned,whichisbasedonbacksteppingandslidingmodecontroltheories,theI&Imethodisusedtodesigntheadaptivedisturbanceestimation,andtheadditionalcompensationitemisinvolvedintothewholeadaptivelawandthedisturbanceestimationerrormanifoldisestablishedbyusingthedesignedadaptivelawtoensuretheinvariantandattractiveoferrormanifold.Therefore,theconvergenceofdisturbanceestimationerrorcanbeguaranteed.Finally,theLyapunovstabilityisprovedforthedesignedcontrolledsystem.Thesimulationresultsshowthatthedesignedcontrollercanaccuratelyestimatetheexternaldisturbanceandthecontroleffectofplungedisplacementandpitchangleissuperiortotheclas-

sicaladaptiveslidingmodecontrol.Thus,thestabilityandadaptivityofaeroelasticsystemareimproved.

Aeroelasticairfoil;Immersionandinvariant;Backstepping;Adaptive;Super-twisting;Slidingmodecontrol

*國家自然科學基金(61203024)

2015-05-11

侯小燕(1990-),女,晉中人,碩士研究生,主要研究方向為先進控制理論與應用等；薛文濤(1974-)，男，鄭州人，博士，副教授，碩士生導師，主要研究方向為免疫算法、進化計算和智能控制等；張 晨(1989-)，男，南京人，碩士研究生,主要研究方向為先進控制與智能控制等。

TP316.2

A

1006-3242(2016)04-0003-07