知識收斂與思維發散
——由一道習題教學想到的

□荀步章

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知識收斂與思維發散
——由一道習題教學想到的

□荀步章

【摘要】數學家波利亞說:“模型的識別能力是學生解題能力的重要組成部分。”教材中的每一道習題，以單一型為主，學生不容易發現一般規律，卻認為自己發現了“規律”。問題探究過程不僅僅是告訴，更需要兒童親身經歷，在實踐探索過程中感受數學思維的魅力，積累基本的數學思想方法，提升數學素養。

【關鍵詞】模型；習題；探究

數學家波利亞說：“模型的識別能力是學生解題能力的重要組成部分。”教材中的每一道習題，以單一型為主，學生不容易發現一般規律，卻認為自己發現了“規律”。問題探究過程不僅僅是告訴，更需要兒童親身經歷，在實踐探索過程中感受數學思維的魅力，積累基本的數學思想方法，提升數學素養。如“解決問題的策略—轉化”一道習題教學：

師：觀察這道算式有什么發現？

生：分母每次都乘2，分子都是1。

生：后一個分數是前一個分數的一半。

師：如果繼續加一個數，加多少？

生：化成小數，0.5+0.25+0.125+0.0625=0.9375。

生：可以化成小數，0.5+0.25+0.125+0.0625+0.03125= 0.96875。

生：很麻煩！

師：數學家華羅庚說“數形結合百般好”，如果借助圖形解決這個問題會更加簡便。電腦演示，把一個正方形平均分成兩份，每份用表示，再把剩下的圖形平均分成兩份，每份占正方形的……，如下圖，計算，怎么計算簡便？

生：把正方形面積看作單位“1”，用單位“1”減去最后一小塊空白部分面積，就是所求算式的結果。

生：就是用1減去最后一個分數等于結果。

師：真了不起！想到了這么好的一個辦法。還能想到什么呢？

師：分組來探究一下，是否存在規律？三個小組分別計算下面三道題：（1）

（匯報交流。）

師：第1題有什么規律？

生：后一個分數是前一個分數的一半。

生：第2題后一個加數也是前一個加數的一半。

師：觀察這一組問題，有什么發現？小組交流一下，再匯報。

生：有規律的一組數，后面的數都是前一個數的一半。

生：都可以用通分方法計算。

生：用減法計算比較簡便。

生：都是用幾分之二減去這組數中最后一個數。

生：不對，第一個是用1減的。

（全班學生鼓掌。）

師：計算一道復雜的加法算式，借助畫圖，從反面入手，算減法更簡單。數形結合，幫助我們思考，從而找到更加簡便的計算方法。

教材只給出這一道習題，教師二度開發教材，“真是這樣嗎？舉例驗證一下”，分小組探究同質問題，發現規律的本質，建立一類數學模型。學生在加法與減法、通分與畫圖、數的規律與形的規律等方面進行比較，溝通問題之間的相互聯系，提升了數學思維能力。

在問題探索過程中，知識收斂與思維發散形成對比，一道問題表面看是用單位“1”減去最小空白部分，但引入同質問題后，可以更清楚地發現，用幾分之二減去最后的空白部分，知識點之間是緊密聯系的。從學生探索規律本身來看，思維挑戰漸增，為學生后續學習數學提供“模型”。探究一個數學結論的過程不是一帆風順的，而是要經歷多個類似問題的反復研究，才能接近本質，學生的思維是靈活的，開放的，更是增質的，充盈的。

一、知識收斂與思維發散的意義

當今社會，知識量激增，數學教學中要考慮如何設計好這門學科中的“樁”“柱”“梁”，即如何突出主干內容。就象造房子，原來老房子是靠磚塊一塊一塊地砌上去的，這些磚塊就好比是知識與概念，這樣的房子造不高也造不牢。現在的房子是框架式的，依靠幾個支柱把房子造高、造牢，磚塊僅僅起到一些隔離的作用。知識收斂指的是在教學中向學生介紹知識、概念時，不要過多，而要抓住精要部分，有所選擇的突出核心內容。一是體現主干性，知識點要圍繞教學核心目標補充與展開；二是體現同質性，面對同一個知識解讀，借助一類同質知識類比發現規律；三是體現探究性，課堂教學要讓學生經歷知識發生的過程，讓學生探究和思考。

心理學家吉爾福特認為“思維發散具有流暢，變通和獨特三個特征”。思維發散指的是在問題解決過程中思維呈現的狀態，一是體現方向性，對同一問題研究不是單向線性的，而在不同層面上思考與挖掘；二是體現多層性，問題的探究過程不停留于既定的預設，要不斷提出新問題或發現新結果的思維方式；三是體現開放性，學生思維狀態表現靈動、巧妙與創新的特征，思路廣闊，對已有經驗的改造層層遞進。思維發散性在思維內容上具有變通性，引申舊知，發現新方法等具有積極的開拓作用。布魯納所提倡的發現法，其用意也在于使學生成為知識的發現者，培養學生的發現性思維，這里的發現也是指教育意義上的廣義創造性。就當前小學數學教學而言，學生還談不上嚴格意義上的創造，但卻有大量的“再發現”的內容與機會。

二、知識收斂與思維發散的策略

知識收斂與思維發散表現在課堂中具有極大的相關性。課堂要充分突出知識主干，削弱旁枝，遵循課標與教學目標，有效利用學生已有舊知，盡可能展示學生的數學思考過程，發展學生的數學思維。

1.教師多講轉向學生多展

教師的必要引導不可缺少，更多的知識是兒童在已有舊知中生長出來的，他們對新知有獨特的內心體驗，同齡人之間的思維碰撞更易產生思維火花。在“最近發展區”中的知識是單面的，通過不同個體展示，逐漸走向立體的知識塊。如“解決的問題策略—列表”教學：

（師出示主題圖。）

師：課前同學們進行了預學，現在進行全班展示交流。

生：我選擇摘抄全部條件和問題的方法，“小明買3本筆記本，用去18元，小華買5本筆記本，用去多少元？”后來省略了一些文字，“小明3本用18元，小華5本用？元”。

生：我用畫表格方法整理：

生：我用畫圖的方法，一本筆記本畫一個框。

小明□□□18元

小華□□□□□？元

生：我用畫線段圖的方法。

生：我用畫箭頭圖的方法。

小明3本→18元

小華5本→？元

……

學生經過課前預學，有準備地走進課堂，教師要主動“讓學”，讓學生走上講臺，展示預學情況。每一位學生的理解和方法是多樣的，有摘抄全部條件和問題的方法，畫表格方法，畫圖的方法，畫箭頭圖等，個體產生成就感、滿足感。讓全班學生交流不同的整理方法，使學生充分體驗到解決問題策略的多樣性，對培養學生發散性思維大有裨益。

2.一題一問轉向一題多問

一題一問對學生而言，知識點聯系不夠，不能有效結成知識網，培養學生思維的整體性。一題多問通過轉化舊知達到解決新問題目的，是培養學生發散思維，提高思維品質的重要方法。例如，“解決問題的策略—替換”教學：

師：有兩杯果汁，根據它們的容量，你發現什么？

生：大杯容量比小杯多160毫升，小杯容量比大杯少160毫升。

生：大杯和小杯容量共320毫升。

出示探究問題：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

讓學生獨立解決，發現條件不足，分別補充三個條件，依次探究解決問題的不同類型：①小杯的容量是大杯的②大杯容量比小杯多160毫升；③大杯和小杯容量共320毫升。

觀察兩杯大小不等的果汁，說一說它們之間的數量關系，學生能發現倍數關系、和差關系，為探究問題準備素材，從整體上引領探究全過程。一題多問、一題多解可充分發揮已知知識和信息的作用，從多方向、多角度思考同一問題，更加明確地體現了發散思維的訓練和創造思維的培養。

3.套用公式轉向運用公式

課堂練習設計，一般借用教材中的“試一試”，缺乏對核心目標的追問。多邊形的面積教學，除一般的公式練習，更應側重于對公式的靈活運用，幫助學生深度理解和靈活運用。例如，“平行四邊形的面積”教學后：

出示圖1，一個湖泊外圍框一個平行四邊形，問湖泊的面積大約是多少？

圖1

生：用130×110。

師：可以嗎？

生：可以。

師：很可以嗎？

生：用平行四邊形把湖泊框住了，平行四邊形的面積比湖泊的面積大了一些。

出示圖2，如果在湖泊里面有一個平行四邊形，問湖泊的面積大約是多少？

圖2

生：如果用110×90計算，應該比湖泊小一些。

師（順勢出示圖3）：這樣怎么樣？

圖3

生：用120×100計算，更加合理。

師：“合理”用的好，古人都知道這個道理，用“出入相補”來描述。

生：把多出來的部分補給少的。

師：這個平行四邊形的底120米，高100米，面積大約是多少平方米？

生：120×100=12000 (平方米)。

師：畫等號，還是約等號？

生：約等號。

師：從120×100等于12000平方米，本身有沒有大約？

生：沒有。

師：嗯，動腦筋想一想，是誰與誰在約，12000平方米代表標準平行四邊形的面積，用這個標準平行四邊形的面積約等于湖泊的面積，在答句中寫上大約，列式中不寫約等于。

教者精心設計了一道求湖泊面積的問題，把湖泊面積看成一個平行四邊形面積，怎樣看？部分學生認知不清晰，先在湖泊外圍“套”一個平行四邊形，面積太大；接著在湖泊里面“嵌”一個平行四邊形，面積略小；最后采用“出入相補”的平行四邊形“放”上面，面積最“準”。通過這三個平行四邊形面積的比較，學生深刻感受到，估計也要講究策略，提高了思維的深刻性，還滲透了無限逼近的思想。用不用“約等于號”部分學生也混淆不清，抓住了問題本質，誰與誰在“約”，不出現張冠李戴，揭示了等量之間的替代關系。

4.死記硬背轉向體驗過程

傳統教學過程，注重死記硬背，大量練習，缺少對知識過程經歷，缺少關注學生在學習知識過程中創造性解決問題的能力培養。知識在體驗和感悟中形成，在問題解決中發展數學思維。例如“圓的周長”教學：

（出示一個正方形和一個圓形。）

師：這兩個圖形，給你一把直尺，測量它們的周長，你愿意測量哪一個？為什么？

生：我愿意測量正方形。因為正方形的邊是直的，好測量，圓的邊線是彎的，不太好量。

師：如果老師想為難你們，就用直尺量出圓的周長，敢挑戰嗎？

（出示一個熒光圈。）

師：這個熒光圈的周長怎樣測量？

生：把接頭拔下來，拉直了，然后量一量。（教師實物演示過程）

師：真不錯，已經想到把彎曲的熒光圈轉化成直直的線段了。

（出示一個飛鏢盤。）

師：這個飛鏢盤，不能拉直，怎么辦？

生：可以用線繞一圈，然后量出線的長度，就是飛鏢盤的周長。

生：把飛鏢盤在直尺上滾一圈，看一看滾多遠，就是它的周長。

師：這些辦法有一個共同特點，就是“化曲為直”。

（出示一幅摩天輪圖片。）

師：這個摩天輪，用拉、剪、滾、繞的方法適合嗎？怎么辦？

（再次出示剛才的正方形和圓形。）

師：正方形的周長與邊長有關，圓的周長可能與什么有關？

生：圓的直徑、半徑。

（課件演示，引導觀察。）

師：三個直徑不同的車輪，同時向前滾動一周，你發現了什么？

生：直徑越大，圓的周長就越大，直徑越小，圓的周長就越小。

生：半徑越大，圓的周長就越大，半徑越小，圓的周長就越小。

師：正方形周長是邊長的4倍，猜想一下，圓的周長大約是直徑的多少倍？

……

教者把圓形和正方形對比探究，“你愿意測量哪一個？”正方形的邊線是直直的，容易測量，而圓形邊線是彎彎的，不容易測量。在測量方式上，“用拉、剪、滾、繞的方法適合嗎？”正方形周長可以根據一條邊的長度直接計算，圓形需要想辦法“化曲為直”，探索圓與正方形周長時，讓學生經歷“化曲為直”的思考過程。在關系研究上，“正方形的周長與邊長有關，圓的周長可能與什么有關？”讓學生先猜想，再逐步去掉不合理的答案，范圍由大到小，研究由粗到細，慢慢觸摸“本質”。讓學生發現規律，提出猜想，感受多樣化的解決策略，在合作與交流，創生與探索中尋求突破。

綜上所述，知識收斂方能有效地進行思維發散，這就要求教師認真鉆研教材，根據學生實際抓住重點，抓主干內容，合理大膽地進行教材處理。教師應“拿得起，放得下”，“拿得起”就是敢于把有利于培養學生思維和能力的題材用于教學，善于挖掘教材的內涵。“放得下”就是教師能大膽地把一些作用不大、費時太多的內容處理掉，把許多重復的操練減下來，讓學生學得輕松、愉快、高效。

（編輯：趙悅）

中圖分類號：G623.5

文獻標識碼：A

文章編號：1671-0568（2016）10-0053-04

作者簡介：荀步章，江蘇省寶應縣實驗小學教師，中學高級教師，揚州市特級教師，江蘇省“333”工程高層次人才培養對象。生：