例談中學生數學“說題”教研活動

中學生數學說題是指學生在解完一道數學題后，向被說題者（教師或專家評委等），闡述自己解決試題的思維過程，主要包含如下幾個環節：一是說題目，即運用數學語言說清題目所給的信息，已知條件有哪些，所求結論是什么，題目涉及哪些知識點；二是說解法，解決這道題目運用什么方法，有哪些步驟，你是如何想到的，如何表述；三是說反思，解決這道題都運用到哪些數學思想方法，有無其它解法，哪種解法最優，所得結論或性質在解題中有什么應用，能否推廣？

【關鍵詞】學生說題；解后反思；說題教研

1問題的緣起

有這樣一個故事：有個孩子剛上高三時，他的數學成績很不理想，他的媽媽非常著急，就找了一位數學專家，問有什么好方法能讓她的孩子提高數學成績，這位專家給她支了一個點子：“叫孩子每次都給你講作業.”家長說：“我聽不懂怎么辦？”專家說：“聽不懂也聽.”堅持了一兩個月后孩子有明顯進步，并且數學的進步會遷移，帶動其他學科，一年后考上了重點大學，這位專家就是采用了一個重要的方法“說題”.這個“說題”活動必須獨立完成作業，進一步必須理清思路才能表達出來.

2015年4月25日～4月26日我市在市教師進修學校舉行2015年中學生數學“說題”交流評比活動，比賽分初中組和高中組.全市由14個初中教研片和5個高中教研片分別推薦2～3名學生和6～8名學生參賽，比賽當天，共有初中學生39人、高中學生34人參加本次交流評比活動，本次學生現場說題時間限制在8分鐘以內，比賽現場精彩紛呈.下面筆者結合現場案例談談對學生說題活動的思考與認識，以期達到拋磚引玉的效果.2學生說題內容

結合本次市級教研活動學生現場說題及評委交流，筆者認為一般的學生說題應包含以下幾個環節：

2.1說審題分析

主要包含兩個方面，一是試題背景來源，如自編的原創題，中（高）考試題或其改編題，教材的例習題原題或改編題，期中、期末考題等；二是題目結構分析，即運用數學語言分析題目所給的信息，已知條件有哪些，所求結論是什么，題目涉及哪些知識點.

案例1如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是菱形，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數y=kx（x>0）的圖象上，

點C的坐標為（4，3）.

（1）填空：菱形ABOC的周長為；

（2）若將菱形ABOC向右平移，使菱形的某個頂點落在反比例函數y=kx（x>0）的圖象上，求菱形ABOC平移的距離.

學生說題本題是2014年石獅市質檢的第24題，主要考查菱形的性質、反比例函數的圖象及性質、勾股定理、平移變換等知識，考查學生運算求解能力、推理論證能力及數據處理能力，考查數形結合、分類整合、函數與方程等數學思想方法.題目已知的條件有點A、B的位置，點C的坐標及四邊形ABOC的形狀，要求的結論有兩個，一個是求該菱形的周長，一個是求菱形向右平移的距離.

2.2說解題思維

即解決這道題目運用的什么方法，有哪些步驟，你是如何想到的，如何表述，如何實踐操作.這里主要包含兩個方面，一個是解決本試題學生思路分析，一個是解法展示，實際說題時側重點有所不同，如所說的題目解法比較常規或試題難度值較大，應把重點放在思路分析上，若所說之題可一題多解，可適當給一些時間在解法研究中，并指出比較有特色的解法.

如上述試題，學生說題是這樣作解題思路分析的：解決第一小題思路為：先由點C的坐標利用勾股定理可求得OC的長為5，再由菱形的四條邊相等求得其邊長為5，進而可求出菱形的周長為20.解決第二小題的思路為：有關函數類型的題目，比較常用的方法是先求出函數解析式.在仔細分析各種條件之間的聯系后，我們發現可以利用待定系數法來求函數解析式.而求反比例函數的解析式只需要知道一個已知點的坐標，這樣就順理成章地要先求出點A的坐標，從而求出反比例函數的解析式，因此就找到解決這個題目的突破口.由這個題目的已知條件要能分析出：本小題的隱含條件有AC∥BO和圖形平移過程中的不變性.也就是AC垂直x軸，即點A和點C的橫坐標相同，等于4，這是解決本小題的關鍵點.結合點A橫坐標大于零，AC=OC=5，可求得點A的縱坐標等于點C的縱坐標加上AC的長為8，所以A的坐標為（4，8），這樣我們就可以用待定系數法先求出反比例函數的解析式，然后分兩種情況即①平移后點B落在反比例函數圖象上②平移后點C落在反比例函數圖象上進行討論，再利用方程思想分別求出點B、C平移后的對應點的坐標（圖形左右平移過程中縱坐標保持不變），從而求得菱形ABOC平移的距離.

在做完解題思路分析后，解題過程展示則簡略地把規范的解答展示給現場教師及評委即可.

案例2（2009年江西文科高考改編題）如圖2，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1和F2，過F1作x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，過F2作x軸的垂線交橢圓于P、Q兩點，若四邊形ABQP為正方形，求橢圓C的離心率e.

學生說題本題可采用一題多解，先說常規解法思路分析：把已知的幾何條件轉化成含有a、b、c的關系式，再由公式b2=a2-c2消去b，然后再將等式兩邊同除以a或a2得到離心率e的方程，最后求解得之.

解法一由xF2=c代入橢圓方程可得yP=b2a，進而得到坐標P（c，b2a），再由Rt△PF1F2中PF2F1F2=12得到c=b2a，整理得ac=b2=a2-c2，兩邊同時除以a2得e2+e-1=0，解得e=-1±52，由于e∈（0，1）得e=-1+52.

點評上述的解法思路容易想到，但運算量大，即使省略了一些運算步驟，書寫的過程仍十分冗長.

再溯本追源，另辟蹊徑：本題有一個很重要的信息即點F1和F2是橢圓的兩個焦點，由橢圓的定義知PF1+PF2=2a，而焦距為F1F2=2c，利用數形結合的思想，結合離心率e=ca=2c2a，研究圖3可得如下解法二.

解法二設F1F2=2m，則在Rt△PF1F2中，知PF2=m，PF1=5m，所以離心率e=2c2a=F1F2PF1+PF2=2m5m+m=5-12.

2.3說解后反思

說反思，即解決這道題都運用到哪些數學思想方法，有無其它解法，哪種思路最優、所得結論或性質是否具有規律性，能否進行推廣？題目能否進行其它變化？這里也大略可分為三個方面，一個是說自己在解決本試題時如何處理遇到的困惑，二是解題后對該試題解法的價值研究，如解法推廣、引申等，三是對試題本身價值研究，如對所說試題進行簡單拓展變式等（這點對學生要求較高）.

如案例1中學生是這樣做解后反思的：

（1）本題的難度情況：作為質檢卷的第24題，本題綜合性強，需要我們學生具備扎實的基礎知識和很強的分析能力.第一小題作為填空題無需解題過程，相對比較簡單，容易做出；第二小題相對比較難，需要很強的推理能力.我覺得本題容易忽視的條件是反比例函數的自變量x>0，本題的難點之一容易忽視平移過程中縱坐標保持不變的隱含條件，從而造成無從入手的局面，難點二是菱形向右平移過程中，頂點落在反比例函數的圖象上有兩種情形可能考慮不全面.

（2）試題拓展分析：

拓展1設直線BC與x軸交于點D，求△ACD的面積（圖4）.

分析我們可以先用待定系數法由點B和點C的坐標求直線BC的關系式，再求出該直線與x軸的交點D的坐標，最后求出△ACD的面積為15.

拓展2設直線AB的函數關系式為y=mx+n，請求出直線AB的函數關系式，并問當x取何值時（x>0）反比例函數的函數值小于它的函數值.

分析滲透數形結合的思想方法.

拓展3設直線AB方程為y=mx+n，請利用函數圖象直接寫出不等式32x

分析利用數形結合、函數與方程等數學思想方法.

（3）解題策略反思：通過平時做過的函數類題目，發現它們經常與幾何圖形、圖形的變換、實際應用等問題相結合，因此綜合性強，需要扎實的基礎、比較強的分析能力、準確計算的能力，同時又需要靈活運用多種數學思想方法，所以我們要想很好地掌握這類型的題目，平時就要多訓練，多總結，多比較，進一步地提高我們的解題思維水平.

案例3（國光中學高二上學期期中考試題）

已知f（x）=lnx-x，g（x）=-lnxx.求證：當x∈（0，e]時，f（x）

學生說題本題采用的方法可適用于如下兩道高考試題：

（2012年高考山東卷）已知f（x）=lnx+1ex，設g（x）=xf′（x）.求證：對任意的x>0，都有g（x）<1+e-2.（該題可采用加強命題或分解命題的方法處理）.

（2012年高考新課標Ⅰ卷）已知函數f（x）=ex-x-2.當x>0時，（x-k）f′（x）+x+1>0，求整數k的最大值.（該題需采用深化命題的方法處理）.

備注

解題策略解題方法解題反思

加強命題轉化為證明f（x）max

分解命題轉化為證明g（x）<-x+elnx+lnxx-12在x∈（1，e]恒小于0.定義域適當縮?。河桑?，e]縮小為（1，e]；函數式適當放大，由lnx放大為elnx

深化命題局部-x2+x+1-lnx二次求導，設而不求分析其極值點.導數的局部可以進行二次求導進一步分析，根可以采用設而不求方法進行處理.

3若干思考

第一次舉行市級中學生數學現場說題比賽，難免粗陋，但我們事先有提供“中學生數學說題活動”的學習資料，大部分參賽學生對說題的流程及框架有所了解，因此整個活動開展得有條不紊，學生現場表現比我們事先預期的更好.通過上述案例分析，我們可大致了解中學生數學現場說題的含義及流程：中學生數學說題是指學生在解完一道數學題后，向被說題者（教師或專家評委等），闡述自己解決試題的思維過程，主要包含如下幾個環節：一是說題目，即運用數學語言說清題目所給的信息，已知條件有哪些，所求結論是什么，題目涉及哪些知識點；二是說解法，解決這道題目運用什么方法，有哪些步驟，你是如何想到的，如何表述；三是說反思，解決這道題都運用到哪些數學思想方法，有無其它解法，哪種解法最優，所得結論或性質在解題中有什么應用，能否推廣？

總之，學生說題有利于敦促教師轉變課堂教學方式，從而更充分調動學生學習數學的積極性，這也是我們開展本次比賽的一個主要出發點.學生說題不僅能訓練學生的口頭表達、數學語言交流能力，還能提高學生解決數學問題的能力，擺脫題海戰術，減輕學業負擔.通過現場比賽前后評委間的交流我們意識到，學生說題的對象還應從說題對象是學生還是教師專家的角度來進行評價更有效.鑒于我們開展這項活動的初衷是想轉變教師課堂滿堂灌的模式，鼓勵學生課堂上講題、說題，因此，下次說題教研活動開展可側重于從被說題對象是學生的角度以及讓學生說題進課堂兩方面進行嘗試.

作者簡介陳俊斌，男，1984年10月生，福建南安人，中學一級教師，南安市數學學會理事，主要從事中學數學教育教學研究.發表多篇論文，輔導的學生參加全國高中數學聯賽多人次獲得省市二、三等獎，獲全國數學競賽優秀輔導員、校級優秀教師、南安市“教學研究積極分子”等榮譽稱號，參與省、市級課題研究多項.