興趣驅動能力支撐方法引領

劉祖希　羅建宇

【摘要】

“興趣驅動、能力支撐、方法引領”構成中學數學教研論文寫作基本規律的一個三維坐標系.具體來說，開展中學數學教研論文的寫作，最核心的動力是興趣驅動，最基本的能力是普遍聯系與辯證分析，最根本的方法是分類與整合.

【關鍵詞】興趣驅動；能力支撐；方法引領；普遍聯系；辯證分析；分類與整合

中學數學教研論文的寫作是一個熱門話題，許多優秀教師分享了自己的寶貴經驗[1-6].我們新青年數學教師工作室在集體創作的《中學數學教研論文的讀與寫》[7]一書中，現身說法講述自己的經驗心得，為讀者詳細解讀中學數學教研論文閱讀、寫作、投稿的規律與技巧.此書出版后受到讀者好評，多次重印，并入選教育部《2013年中小學圖書館（室）推薦圖書》.我們也應邀赴多地開展講座、介紹經驗.

近來，我們對中學數學教研論文寫作的基本規律有了進一步的理解，在我們的腦海里逐漸形成了一個清晰的三維坐標系（如右圖）.

具體來說，開展中學數學教研論文的寫作，最核心的動力是興趣驅動，最基本的能力是普遍聯系與辯證分析，最根本的方法是分類與整合.下面結合筆者工作十五年來發表的論文對這一基本規律進行解讀.1興趣驅動

中學數學教師開展教研論文寫作的動力來自許多方面，可能是教學的需要，抑或是教育人事考核的要求，但最核心、最持久的動力一定是興趣，即對數學教育教學研究的熱愛.

古今中外許多名家都闡述了興趣對于學習與研究的作用：

知之者不如好之者，好之者不如樂之者.（孔子）

興趣是最好的老師.（愛因斯坦）

學習的最大動力，是對學習材料的興趣.（美國心理學家和教育家布盧姆）

成功的秘訣在于興趣.（楊振寧）

作為數學家，張景中院士在數學教育的內容創新方面也作出了重要貢獻[8]，他開創了“教育數學”研究領域，創造性地將數學研究、數學教育、數學普及三者巧妙融合在一起.他想的是教育，做的是數學，為教育而研究數學，通過改造數學（如平面幾何、三角函數、微積分）而推進教育，致力于“把數學變得容易一點”[9].一位數學專業工作者對數學教育情有獨鐘，其原因絕不會缺少對數學教育的無限熱愛與濃厚興趣.

古話說“玩物喪志”，但對于數學教研論文寫作抱有濃厚興趣的老師來說，寫作也可以“增志”.一大批中學數學教師在數學教研論文寫作的天空里自由翱翔，取得了教研與教學雙豐收.只有當我們對中學數學教研論文寫作抱有濃厚興趣時，才可能潛心去讀論文.讀論文其實是寫論文的重要前提，因為在閱讀論文的過程中可以慢慢體會數學教育教學的基本規律，逐漸領悟數學教研論文創作的一般方法和常用技巧.從學習到實踐，幾乎是任何工作都無法逾越的程序[7].2能力支撐

除了興趣驅動，支撐中學數學教研論文的寫作需要兩種最基本的能力，一是普遍聯系的能力，二是辯證分析的能力.

2.1普遍聯系

普遍聯系是唯物辯證法的基本觀點.任何事物都不是孤立存在的，它總是和外界事物有著千絲萬縷的聯系.分析一個問題時，總要注意與其他有關問題的聯系.事物的聯系具有普遍性和多樣性.

在數學史上，曾經由于把三角形和圓、數和曲線聯系起來產生了三角學、解析幾何學.中學數學教師開展教研也應該具備普遍聯系的觀點和能力.

有的老師總說自己太忙，整天忙于備課、上課、批改作業，哪有時間讀書、研究、寫作？但是，總有不備課、不上課、不批改作業的時候吧？比如監考、開會、聽課、乘車、上網，這時就可以運用普遍聯系的觀點，想想眼前的事情是否與數學有關？是否對自己的教學、教研有幫助？

監考的時候，想想考卷上的一道好題（不可動筆）如何分析、解答？有哪些解法？為何學生的答案五花八門？聯系平時的教學，看是否遇到過類似問題？筆者曾發表的《2003年高考江蘇卷第21題的思路與解法》（《中學數學月刊》2003年第8期）、《2004年高考江蘇卷第22題別解》（《中學數學月刊》2004年第8期）等論文，都是筆者在監考時思考、聯想的結果（監考結束即整理成文并于當天送達期刊編輯部）.

開會的時候，想想會議內容對自己的教學、教研有無指導意義？筆者就是在開會學習科學發展觀的內涵（第一要務是發展，核心是以人為本，基本要求是全面協調可持續發展，根本方法是統籌兼顧）時，聯想到關于中學數學教研論文寫作的基本規律，提出了本文的基本觀點——開展中學數學教研論文的寫作，最核心的動力是興趣驅動，最基本的能力是普遍聯系與辯證分析，最根本的方法是分類與整合.

聽課是教師的一項常規工作.有一次筆者聽初中教師講授“平行線分線段成比例”，聯想到平行線有類似于橋梁的作用，能將比例在平行線段以及由該平行線段所聯結的兩條直線上的線段之間相互轉化，于是寫成了《平行像座橋，比例兩邊跑》（《中學數學研究》（廣州）2003年第3期）一文.曾經有一個階段，筆者聽過的幾節高三復習課都零散地講到了以下系列問題①—⑦中的一兩個：

已知f（x）=ax2+bx+c，當x≤1時，總有f（x）≤1.試證以下系列問題①—⑦：

①求證：c≤1，b≤1，a+c≤1，a≤2.

②求證：當x≤2時，總有f（x）≤7.

③求證：當x≤λ時，總有f（x）≤2λ2-1（λ≥1）.

④記g（x）=ax+b，求證：當x≤1時，總有g（x）≤2.

⑤記g（x）=2ax+b，求證：當x≤1時，總有g（x）≤4.

⑥記g（x）=λax+b，求證：當x≤1時，總有g（x）≤2λ.

⑦記h（x）=cx2±bx+a.求證：當x≤1時，總有h（x）≤2.

課堂上老師講得很費勁、學生聽得也吃力，筆者聯想到這是同一類問題，應該有系統的思路與解法.經過一番探究和整理，寫成了《二次函數、一次函數與絕對值不等式問題的探討》（《中學數學雜志》（高中版）2004年第3期）一文.

在城市里生活，擠公交、地鐵是常有的事，總能看見實在擠不上去的乘客，也常能看到明顯擠不上去了、居然還擠上去了的乘客.筆者由此聯想到我們的數學課堂，時間緊、任務重（大容量、快節奏、高強度），但似乎總缺了點什么，于是萌發了寫作《課堂再“擠”，也要讓數學思想方法、數學文化擠進去》的念頭.

一次偶然機會筆者在網上看到一篇文章《從“如何找12和13之間的分數”談起》，文中小學生探索平均數所表現出來的創造力令人稱奇.筆者在欣賞的同時，聯系高中數學的平均不等式知識，寫成了《談談平均數》（《小學數學教師》2010年第3期）一文，意在揭示問題的數學背景.

依靠普遍聯系的能力開展寫作，筆者印象最深的是《一道習題的研究性學習》（《數學通報》2004年第10期）這篇論文.2003年前后，筆者在高中數學教學中發現一道題（設p>0，q>0，且p3+q3=2，求證p+q≤2）反反復復出現在高中數學好幾章的習題中，見多了，筆者萌發一個念頭：引導學生聯系初高中數學各章的不同知識都給出它的一個解法！經歷一番探究，筆者與學生如愿以償，獲得了10余種解法.

普遍聯系的能力有助于我們發現問題，也有助于我們創造性地解決問題.我們呼吁廣大數學教師善于聯系（縱向聯系、橫向聯結），做“多愁善感”的數學教師.

2.2辯證分析

辯證分析法強調用全面的、聯系的、發展的觀點看問題，反對片面的、孤立的、靜止的看問題.具備較強的辯證分析能力，將有助于我們深刻認識數學教學問題、高質量地開展數學教研論文寫作.

以下數學教育思想都是辯證分析的典型案例：

厚薄讀書法.（華羅庚）

數缺形時少直覺，形少數時難入微.（華羅庚）

舉一反三與舉三反一.（趙憲初，1982）

把傳授知識和培養能力統一起來.（郭思樂，1982）

從數學教育到教育數學.（張景中，1989）

淡化形式，注重實質.（陳重穆、宋乃慶，1993）

數學教育的基本矛盾是“數學方面”與“教育方面”的對立統一.（鄭毓信，1995）

熟能生巧嗎？熟能生“笨”嗎？熟能生“厭”嗎？（李士锜，1996-2000）

尋找中間地帶.（劉佛年、顧泠沅，1999）

競賽數學是高等數學與初等數學相結合的“中間數學”.（羅增儒，2000）

數學的學術形態與教育形態.（張奠宙，2001）

數學教育學的雙邏輯起點.（單墫、喻平，2001）

突破教學模式，走向教學的自由.（曹一鳴，2005）

回到起點去，“生長”是本質.（葛軍，2008）

理解數學、理解學生、理解教學.（章建躍，2010）

筆者曾運用辯證分析法，撰寫了一系列關于概率的教研論文.筆者在執教原大綱版高中必修教材時，為方便老師們系統、全面理解數理邏輯和概率論的知識，筆者梳理了它們與集合論有關概念的對應關系表，辯證地分析它們之間的聯系與區別，寫成了《從結構化觀點看數學新教材中“集合論”、“數理邏輯”、“概率論”的關系》（《數學通訊》2003年9月第17期）一文.另外，由于當時的教材沒有引入幾何概型，筆者發現在“概率”概念教學實踐中，有不少人錯誤地認為“必然事件與概率為1的事件等價，不可能事件與概率為0的事件等價”.針對這一問題，筆者多次發表文章進行辨析，如《對“概率”概念教學的一處釋疑》（《數學通訊》2004年3月第5期）、《事件間的圖示關系》（《中學數學》2005年第5期）等.高中新課標教材引入幾何概型后，筆者認為這是對教材的完善也是對高中數學知識（概率論）的完善，于是寫成了《有關幾何概型教學的兩點體會》（《中小學數學》（高中版）2008年第9期）一文.

在教學過程中，我們還會碰到不少錯題或錯解，撰寫糾錯類文章，既是做好教學案例的積累，也是加深自己對數學知識的辯證認識.筆者曾經多次看到同一道三角錯題出現在很多教學資料上，于是從“展示經典、暴露錯誤；分析條件、揭示本質；數形結合、再探錯因；修正條件、還原經典”等四個層次寫成了《一類三角錯題的探究》（《數學通訊》2010年第11-12期合刊（上））.

教材、期刊、教學資料上難免有不盡如人意、值得商榷之處，這些都是我們可以開展寫作的題材.筆者近年也寫了一些針對性的文章，如《也談零向量——與〈關于零向量兩個典型案例的思考與探究〉一文作者商榷》（《數學通訊》2013年第6期（下））、《從一次教學調研談輔助平面的確定——對人教A版高中數學課標教材第25處修改建議》（《數學通訊》2015年第3期（下））、《可參考答案，但不迷信答案——對一道習題解答的勘誤》（《中學數學》2015年第7期（上））等.

利用“對立統一、質量互變、否定之否定”的辯證規律認識問題，提高辯證分析能力，將有力支撐我們開展中學數學教研論文寫作.3方法引領

分類不僅是一個生活原理（比如超市里的商品要分類陳列、垃圾要分類處置），也是一個數學原理（比如分類計數原理、分類討論的思想方法）.對于中學數學教研論文的寫作而言，“分類與整合”更是一個根本的方法和原理，我們將其形象地稱之為“合并同類項”：分類，就是先找到同類項；整合，就是將同類項進行合并.分類見重點、整合見規律.

比如，定積分剛剛引入高中新課標教材時，筆者發現用定積分去證明不等式往往有事半功倍的效果，便寫作了《定積分證明不等式例談》（《中學數學月刊》2004年第10期）一文.文中選取了6道典型例題，并將其分為兩類：一類利用定積分的保號性比較大小，從而證明不等式；另一類利用定積分估計和式的上下界，從而證明不等式.這篇文章體現了定積分（高等數學的觀點）解決初等問題的優越性.文章的點睛之筆在于文末的“整合”：將定積分構建的不等式略加改造即得這些例題的“初等”證明，從而揭示了高等數學與初等數學的聯系.

再如，在分類整理2005年全國各地高考試題的過程中，筆者發現解析幾何解答題呈現出一種較為普遍的“定值”現象：若干個變量，比如x1，x2在某個綜合變化過程中產生的某種結果f（x1，x2）恒定不變.于是寫作了《評析2005年高考解析幾何解答題的定值問題》（《中學數學雜志》（高中版）2005年第6期）一文，文章歸納、整合得到了解析幾何解答題定值問題的基本規律：將定值對象盡可能地表示為變量的函數，即獲得前述f（x1，x2），再揭示f（x1，x2）與x1或x2無關，即f（x1，x2）實質上僅是f（x2）或f（x1），我們就可以斷言f（x1，x2）對于x1或x2而言是定值（常量）.其過程有關鍵的兩步：一是獲取目標函數，二是說明定值.

又如，為呼應《數學教學公理芻議》（《中小學數學》（高中版）2009年第7-8期合刊）一文，筆者將激發學生學習興趣的實踐經驗進行了分類（6類），整合寫成了《實踐數學教學公理的幾個切入點》（《中小學數學》（高中版）2009年第12期）一文，此文后被人大復印報刊資料全文轉載.

還如，為了梳理新中國成立60多年來中國數學教育研究的基本脈絡，我們在2010年啟動了“當代中國數學教育流派”課題研究，這項研究在國內尚屬首次.在分類研究徐利治、張景中、張奠宙三位學者的教育背景、學術經歷、理論貢獻、代表作品、學術團隊基礎上，我們整合提出了當代中國數學教育的三座學術高峰（“一徐二張”）和三個主要流派（數學方法論流派、教育數學流派、數學教育理論體系流派），寫成了《當代中國數學教育流派芻議》（《上海中學數學》2014年1-2期合刊）一文，很快被人大復印報刊資料全文轉載，獲得了較大反響，繼而出版了專著《當代中國數學教育流派》[9].新近發表的《當代中國數學家對數學教育內容創新的貢獻》（《中學數學雜志》2016年第1期）一文則是我們分類梳理多位著名數學家對數學教育的貢獻之后，通過整合所獲得的最新研究成果.

在“分類與整合”的方法引領之下，我們不僅取得了豐富的教研論文成果，而且還出版了幾本數學教研專著，“分類與整合”成為貫穿這些專著的紅線.比如，我們在《中學數學教研論文的讀與寫》[7]一書中，從中學數學教研的研究對象出發，將中學數學教研論文分為以下幾類：課程與教材研究類；課堂教學研究類；解題研究類；高考、中考研究類；數學競賽研究類；初等數學研究類；數學文化與數學（教育）史類；信息技術類；等等.這種分類充分考慮到了我國中學數學教師的教研習慣，當然各種類別之間并非沒有重疊.《當代中國數學教育名言解讀》[10]一書延續了這種分類，并把各類別作為每一章的標題，提高了圖書的針對性和實用性.

從數學史角度來看，“分類與整合”也是數學發展的重要方法.比如，歐氏幾何統治人類2000多年，到17世紀一些數學家發現了許多新的幾何學，19世紀更被譽為新幾何發現的世紀，或幾何非歐化的世紀.如法國的笛卡爾和費馬先后創立了“解析幾何”；法國的蒙日和龐賽列等創立了“射影幾何”；俄國的羅巴切夫斯基等創立了“非歐幾何”；接著數學家又創立了“微分幾何學”、“黎曼幾何”、“幾何基礎”……從此結束了歐氏幾何的一統天下.令人高興地看到，雖然有各種各樣的幾何學，但F.克萊因用群論完成了歐氏幾何與各種非歐幾何的統一，成為19世紀科學史上最偉大的成就之一.所謂幾何學，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質的學問，換言之，任何一種幾何學只是研究與特定的變換群有關的不變量.

再如，隨著社會進步和科學技術的發展，更多地需要數學的計算，許多自然現象和社會實踐常常歸結成各種代數方程，要求用數學求出方程的解（或根），代數方程的解法成了古典代數的中心問題.就方程本身而言，它向兩個方向發展，一個方向是一元高次方程；另一個方向是多元一次（或高次）方程組.前者發展成后來的方程論（或多項式論）研究，方程的擴展便是高等代數；后者發展形成了線性代數[11].

需要指出的是，本文所述中學數學教研論文寫作的基本規律，完全基于我們的實踐與認識，不當之處請大家批評指正.在此基礎上，我們還愿意提出：數學教師要把“好課好學生、好題好文章”作為自己的職業追求，這一點與大家共勉.

參考文獻

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[6]豐夢婷，徐章韜.如何擬定數學教學研究論文的標題[J].中學數學雜志，2015（6）：58-60

[7]新青年數學教師工作室.中學數學教研論文的讀與寫[M].上海：上海教育出版社，2010

[8]劉祖希.當代中國數學家對數學教育內容創新的貢獻[J].中學數學雜志，2016（1）：3-6

[9]新青年數學教師工作室.當代中國數學教育流派[M].上海：上海教育出版社，2014

[10]新青年數學教師工作室.當代中國數學教育名言解讀[M].上海：上海教育出版社，2015

[11]徐品方，張紅，寧銳編著.中學數學簡史[M].北京：科學出版社，2007