數學概念教學中創設問題情境的類型

崔寶蕊

【摘要】

數學概念是數學學習的基礎，在數學教學中具有關鍵地位.概念的建立不可能一蹴而就，需要一個心理加工的過程，這就為概念教學帶來了困難.情境化的概念教學，為學生學習數學概念提供了緩沖的時間，是一種有效的教學途徑.基于曹廣福教授《變化率與導數》一課，結合實際教學內容，分析概念教學中創設問題情境的類型.在概念教學中，發現可以創設日常生活問題情境、學科問題情境、數學問題情境.

【關鍵詞】概念教學；問題情境；教學途徑

曹廣福教授為首屆（2003年）百名國家級教學名師之一，于2014年獲得首屆國家基礎教育教學成果二等獎，2015年又成為國家“萬人計劃”中的百名教學名師中一員.作為國家級教學名師，面向中學生講授課程是不多見的.曹教授面向中學生所講的《變化率與導數》一課，采用豐富新穎且多樣化的教學內容，以一種利于學生理解的教學方式，成功地突出這一課的重點，并化解難點.

《變化率與導數》一課的內容位于人教版選修教材11和選修22.教材通過實際背景和具體應用的實例，引入導數的概念，借助氣球膨脹率、高臺跳水等實際問題，引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，認識到瞬時變化率就是導數.然而，由于教材中所選擇的實際問題已經漸漸脫離學生的日常生活，教師直接采用教材中的教學內容，往往無法達到預期的教學效果.實際問題的目的是幫助學生直觀理解導數的背景、思想和作用.如果所選的實際問題無法引起學生的興趣，帶動學生的思考，就無法使學生理解，甚至阻礙學生的理解，這樣的實際問題便形同虛設.曹廣福教授以其豐富的學識，以及對導數深刻的認識，采用多樣化的教學內容，創設大量的問題情境，巧妙地解釋了平均變化率、瞬時變化率、以及導數的思想與內涵.借助問題情境進行概念教學，創造出另一種有效的教學途徑.

目前，有關概念教學和問題情境的研究較多，例如，《數學概念教學應該幫助學生形成七種數學觀念》[1]提出，數學概念教學要培養學生狀態變換觀念、本質結構觀念、時空坐標觀念、依存關系觀念、系統集合觀念、量化測度觀念、無窮逼近和極限觀；《GeoGebra環境下基于APOS理論的數學概念教學研究——以導數概念為例》[2]基于APOS理論，借助GeoGebra軟件設計數學概念教學；《概念多元表征的教學設計對概念學習的影響》[3]指出直接學抽象的數學概念是很困難的，用數學概念的多元表征學習數學概念是一種新理念和策略.《數學“情境——問題”教學對數學探究學習的思考》[4]指出“情境——問題”教學的積極作用；《創設數學問題情境應關注的幾個關系》[5]提出創設情境過程中應關注5組關系：形式和內容，預設和生成，同一性與多樣性，生活化與數學化，繼承和創新；《小學數學教材中情境的類型及作用與原則》[6]指出小學教材中情境的類型，情境對小學生數學學習的作用，以及情境創設的原則等等.然而，這些研究關注的只是概念教學或問題情境教學的其中之一，本文試圖將二者結合，在概念教學中創設問題情境.相關研究[7-10]分別圍繞概念教學中創設情境的意義和注意問題；創設情境的主要方式和原則；問題情境與數學概念教學的關系；以及創設數學概念形成問題情境的方法等方面進行了思考，但是對概念教學中，創設問題情境的類型尚未詳細介紹.本文以概念教學為背景，基于曹廣福教授的《變化率與導數》一課，對問題情境的類型進行初步研究.1日常生活問題情境

曹教授所創設的問題情境可以劃分成三種類型.第一種為生活情境，即從日常生活中挖掘問題.數學情境是校外數學走向學校數學的中介[11]，就教學而言，從學生的生活經歷出發，依據學生的日常體驗發現問題，是一個非常好的教學角度.與生活相關的情境，尤其是學生每天親身經歷的事情，可以減少學生對復雜問題的距離感.在《變化率與導數》的引入過程中，問題1和問題2都與學生的生活息息相關.

問題1

你的朋友從東莞開車去深圳，與此同時，你從廣州開車去深圳，理想狀態下，速度是均勻的（但是實際上是不可能的，路況比較復雜，一會快，一會慢，因此假設是理想狀態，兩人勻速）.你花了兩個小時十分鐘，你的朋友比你提前一個小時到，你能由此斷定誰比誰快嗎？

交流片段一

師：速度不僅和時間有關，還和距離有關.假設從廣州到深圳的距離是s1，從東莞到深圳的距離是s2，你花的時間是t1，你朋友花的時間是t2，在勻速直線運動下，速度分別是多少？

生：v1=s1t1，v2=s2t2.

師：但是實際路況比較復雜，你在不同時段行駛的速度是不同的.假設你在t1時刻到了s1的位置，在t2時刻到了s2的位置，這個時候，你在t1時刻到t2時刻的這個時間段里，你行駛的速度是多少？

生：v=s2-s1t2-t1.

師：這個比值就是你在這個時間段的速度，這個就叫變化率.假如說這個分母實際上正好是單位時間，比如說一小時，一分鐘，一秒鐘，這個時候比值就是路程的差.所以我們在物理上定義速度的時候，也可以這么講：在單位時間內，一個物體走過的路程就是速度.但是通常實際問題中，自變量的改變量未必是一個單位，而可能是若干單位，這個時候，在自變量改變的范圍內，函數值改變了多少？函數值關于自變量的變化率又應該如何刻畫？

師生共同：假設自變量x從x0變到x1，而函數值f（x）從f（x0）變到f（x1），這個時候，比值f（x1）-f（x0）x1-x0就是變化率.

問題2

在一個寒冷的早晨，你爸爸開車送你上學，由于交通擁堵，路況復雜等原因，一路走走停停，好不容易將你按時送到學校，為了報答你爸爸送你上學時的辛苦，請你用數學方法描述一下你爸爸送你上學時的狀況.

提示：汽車行走涉及哪些因素？

（1）能不能用牛頓定律描述路程、速度與時間的關系？為什么？

（2）汽車在任意時刻的速度有沒有發生變化？假如時間間隔很短，速度的變化會不會很大？如何描述在某個很短的時間間隔內汽車的平均速度？

（3）如何描述汽車在任意時刻的速度？

交流片段二

師：把我們生活中出現的問題，用數學的方法表示出來的同時，要清楚數學上的模型和生活中的問題是有誤差的，不是精確的表達方式，是一個大概的表達方式.換句話說，影響你爸開車速度的因素很多，但是真正有關的最主要的因素是什么？

生：速度和時間.

師：比如路變窄，或者有很多車，主要影響的還是你的速度和時間，我們在討論這類問題的時候，通常是首先假設一個關鍵的變量，比如說，我們假設路程和時間有關.s=s（t），另外速度是在變的，題目中說的很清楚，由于交通擁堵，一路走走停停，速度是不斷變的，速度也和時間有關v=v（t）.實際上，如果速度發生變化，你想想看，這意味著什么？你們學過物理的牛頓三大定律.

生：加速度.

師：實際上還有一個加速度，它和時間有關系a=a（t），所有的這些量都和時間有關，而且隨著時間不斷變化.我們剛才說，你朋友從東莞到深圳，你從廣州到深圳，我們是做了一個假設，你假設在這條路上我是勻速行駛，但實際上是在變的.大家想想看，一開始汽車是靜止的，然后你爸開始發動汽車，然后汽車行走，從靜止狀態到開始行走，這個中間是有加速度的.速度是在變化的，但是這個變化是突然變化嗎？還是漸漸變化的？

生：漸漸變化.

師：我們可以用剛才的比值s（t2）-s（t1）t2-t1得到平均速度.現在要想求他在每一時刻的速度是多少？這要怎么算？我們剛剛有一句話很重要，這個速度不管快慢，它是漸漸變化的，就是說，當時間間隔很短時，它的變化會很大嗎？

生：不會很大.

師：比如1秒到11秒這個時間段之間，這時速度變化不會很大.就是說，當t2和t1的時間很接近時，這個式子（比值）就非常接近t1時刻的速度.你們覺得這個說的通嗎？

生：說的通.

師：這個（式子）稱為平均變化率，或者說是時刻t1到時刻t2的平均速度.當時刻t2和時刻t1越來越接近時，在這個小區間上速度的變化就很小，近似為時刻t1的速度，這時就是瞬時速度，或者說是瞬時變化率.那怎么得到最后的精確速度呢？我們暫時不管，至少我們直觀上已經了解了平均速度或者平均變化率和瞬時速度或者瞬時變化率之間的關系.

曹教授從日常生活這一角度，引入問題，進行問題情境教學，它包括兩個方面.一方面是從日常生活中發現數學問題，利用這種問題，創設問題情境進行教學.另一方面是，把抽象的數學內容，根據教學內容的需要，賦予某種生活含義，從而使所講內容更有利于學生的理解和接受.

問題1和問題2都是常見的生活問題，情境中主體都是學生.曹教授借助問題1揭示了什么是“變化率”，這是這節課的起點，也是基礎部分.而后借助問題2引出平均變化率和瞬時變化率的含義，這兩個數學概念是這節課的重點，需要學生的理解和掌握.曹教授在分析問題情境的過程中，沒有把具體的數學符號或者概念直接給學生，而是讓學生逐步參與進來，不斷地去發現概念，接受概念，進而對這兩個概念有深刻感知.

同時，這兩個問題情境之間也有一定的內在聯系.例如，在解釋問題2的過程中，借助問題1的情境讓學生明白“變化”不僅是突然發生的，也可能是逐步的.同時向學生傳遞一種辯證法思想，即“變是絕對的，不變是相對的”，萬事萬物都是在不斷變化的.這種思想的滲透使學生更好地接受變化，理解平均變化率和瞬時變化率的含義，為之后導數的學習打下基礎.

不難發現，創設日常生活問題情境要結合教學內容的實際需求，不能隨意編造，要和學生的真實經歷與生活體驗相聯系.同時，情境之間可以互相映襯，共同解決問題.創設情境的過程中要注意，不要將情境一味的生活化，讓情境“喧賓奪主”，從而失去了數學的味道.創設問題情境的目的是理解數學概念，應該以概念為中心，借助生活問題情境開展概念教學.

2 相關學科問題情境

曹教授所創設的第二種問題情境，是從其他相關學科中挖掘問題.研究表明[12]，恰當創設相關學科問題情境，對學生的學習效果有積極影響，在《變化率與導數》的教學過程中，問題3、問題4、問題5都是利用相關學科問題情境，間接化解這節課的教學難點.

問題3

如果大米與水的價格均上漲或下降了，大米與水的需求量將發生什么樣的變化？你能粗略模擬出大米和水的需求量與價格的關系曲線嗎？它們揭示了什么道理？

提示：人沒有了水能不能活？人沒有了大米能不能活？

交流片段三

師：人沒有了水能不能活？

生：不能.

師：可是人沒有了大米呢？

生：能.

師：為什么？

生：可以吃面粉、肉、玉米等等.

師：大米有許多替代產品，但是沒有水就無法生存.有人說喝牛奶，但是牛奶也是由水構成.那么我們能夠得到什么？顯然，需求量和價格之間是有關系的，比如說價格上升，那么我們就節儉一點，假如價格下降，我們可能就會浪費.但是有一點是肯定的，人沒有了水會不能活，你每天對水的最低需求量是一定的，假如水的價格上升，人對水的最低需求量會變少嗎？

生：不會.

師：對水的需求量有一個最低限，價格再高，對水的需求量也不能減少.假設價格是P，這個P通常是離散的，我們現實生活中，通常是賣多少塊一斤，不可能是一個連續不變的量.但是大家要注意，如果你今后從事經濟學研究的話，經濟學出現的東西很多是離散的.一般都是按一天算，一個小時算，或者是一個月算，一年算.GDP就是這么算的.但是我們利用數學來研究經濟學問題的時候，你是可以用連續函數來研究的.現在我們假設價格是P，這個P是可以連續變化的，假定它的需求量是Q，那么P和Q之間有一個函數關系Q=Q（P）.現在我們假設Q1是水，Q2是大米，它們都是價格的函數，則有Q1=Q（P1），Q2=Q（P2）.根據我們剛才的分析，大米的價格曲線和水的價格曲線相比會是什么樣子的？粗略地把他們模擬出來.

生：嘗試畫出粗略的函數圖像.

師：進行引導.當價格是P1時，有一個需求量Q（P1），當價格是P2的時候，也有一個需求量Q（P2），在這個價格變化范圍內，變化有多大？Q（P2）-Q（P1）P2-P1是水的需求變化大還是大米的需求變化大？

生：Q水（P2）-Q水（P1）P2-P1

師：這個比率在經濟學中非常重要，它叫敏感度.什么叫敏感度？就是需求量關于價格的敏感程度的大小.從這個式子可以看出，水相對大米來說，價格是不敏感的，價格提的再高，最終還是要有這么多的需求量.但是大米相對于水來說是比較敏感的.這揭示了一個什么樣的道理？水是一個不可替代的生活必需品，這樣的商品是不可以市場化的，必須由政府調控，而大米是可以有替代品的，它的價格彈性很大，敏感度相對很高，所以它可以市場化.

問題4

牛頓當年在干什么？

眾所周知，牛頓發明了三大定律，你是否知道牛頓處理的非勻速運動？蘋果砸在牛頓的頭上讓牛頓領悟到了什么？他得到了什么重要公式？

交流片段四

師：大家都知道，牛頓發明了三大定律.你在物理上學過的都是勻速運動，還有加速度是一定的常加速運動，只有這兩種情況.但實際上，自然界的運動中，速度都是在逐漸變化的，而實際上，牛頓所研究的是非勻速運動.好，那么蘋果砸到牛頓的頭上，牛頓領悟到了什么？蘋果為什么不往上掉呢？

生：萬有引力.

師：他得到了萬有引力.他是怎么發現這個公式的？他得益于誰的工作？

生：伽利略.

師：對，伽利略.蘋果從蘋果樹上落下來，它是什么運動？

生：自由落體.

師：這與伽利略的自由落體有關：H=12gt2.伽利略做實驗，使用兩個質量不同的鐵球，然后從同一高處放下，如果是同時放下，一定是同時落地，和它們的質量沒有關系.當然我們都知道，如果是紙片的話就有問題了，紙片為什么不能同時落地呢？

生：空氣阻力.

師：因為有空氣阻力.現在大家想想看，那如果落到牛頓頭上的不是蘋果，而是伽利略實驗的鐵球，結果如何？有同學說鐵球太重，如果鐵球比蘋果重十倍，但是從頭上方很低的地方落下去，也不會把牛頓砸死.這跟什么有關系？

生：高度.

師：跟高度有關系.為什么鐵球從很高的地方落下來后，有可能會把牛頓砸死？如果球或者蘋果足夠高的話，它落下來，越接近地面，速度會怎么樣？

生：越大.

師：速度會產生什么？動量，也可以叫沖量.動量越大，對你的沖擊力越大，最終取決于速度.所以說為什么鐵球落到牛頓頭上會把牛頓砸死，因為鐵球落得位置比較高，落到地面上時速度比較快.現在已經知道了高度的公式，那么在時刻t的速度是多少呢？我們根據下一個問題算一算.

問題5

假設伽利略的鐵球從50米高的天臺上落下，請問在鐵球下落一秒時距離地面還有多高？這個時刻的速度是多少？下落兩秒時情況如何？這時的速度會發生變化嗎？

交流片段五

H=12gt2，g=9.8，t=1，則1秒時的高度為H1=50-H（1）=50-12g.這個時候的速度是多少呢？據我們剛才的分析，他從1s再往下落，如果時間間隔很短，比如說在1s與在10001s，這兩個時刻的速度則差別不大.現在令t0=1，

在t0到t這個時刻，物體分別下落H（t），H（t0）.自由落體的平均速度是多少？

生：H（t）-H（t0）t-t0.

師：如果t和t0接近，那么這個速度就是瞬時速度.這個結論很重要，用極限來表示接近，極限用英文字母前三位lim表示，記為limt→t0H（t）-H（t0）t-t0，即當t和t0接近時，這個速度就是瞬時速度.現在我們把時間帶入，就能得到1秒時自由落體的速度：limt→1H（t）-H（1）t-1=limt→112gt2-12gt-1=limt→112gt2-1t-1=limt→112g（t+1）=g.在2s的時候，算法是一樣的：limt→212g（t+2）=2g.我們化成一般情況，則在時刻t0的速度為gt0.這和我們物理上學過的是不是一樣的？就是說自由落體是勻加速運動.這是我們數學上推導出來的，但是和物理上的結果一樣，這個就叫瞬時變化率.如果我們討論一般的數學函數，瞬時變化率是什么？

PPT：假設函數y=f（x）定義在區間[a，b]內，x0是區間內的一點，y=f（x）在x0處的瞬時變化率為limx→x0f（x）-f（x0）x-x0.

師：書上用簡略符號代替，Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0），當x→x0時，它的差Δx就趨向于0.這個極限就是f（x）在點x0處的導數，就是所謂的瞬時變化率.它由平均變化率取極限得來.

曹教授借助問題3，看似創設了一個與生活相關的問題情境，但實際上與簡單的經濟學內容相聯系，利用數學式子，解釋了一個經濟學道理.使得日常生活、數學、經濟學這三者融為一體.同時讓學生模擬畫出這種“變化”的函數圖像，揭示了一個思想，即“函數與我們的生活同在”，設計的非常巧妙.

問題4和問題5都圍繞著物理情境展開，其中問題4可以說是問題5的一個鋪墊.問題4創設了一個物理背景，先簡單解釋物理學中的一個基本內容，并對物理知識進行簡單的回顧和聯想.最后使學生發現，可以利用數學運算，推導出物理公式，驗證了學生已有認知結構中的物理知識，揭示學科之間的相互貫通的思想.最終回歸到這節課的教學重點和難點上，明確指出瞬時變化率和導數的概念，同時揭示平均變化率、瞬時變化率、導數這三者之間的關系.

相關學科的問題情境不僅利于學生進行數學模式抽象，而且對數學的應用提供了具體的背景.[13]恰當創設這三個問題情境，利用學生認知結構中的其他學科知識，也可以帶動學生的思考和學習數學.以其他相關學科問題為背景，有助于培養學生的發散性思維，開拓學生的視野，提高學生思考的深度與廣度.從本節課的數學教學中，插入了物理學和經濟學內容，發現可以利用數學去推導這兩門學科的學科知識.經過歸納、類比，除了這兩門學科，數學與其他相關學科也具有一定的聯系.然而，在創設這種問題情境之前，要充分分析學情，不僅分析學生對數學學科的學習情況，還要了解他們對其他學科的學習內容與學習程度，從而與學生已有認知結構中的內容建立聯系.3數學問題情境