基于數學命題學習理論下的排列教學設計

晁冉冉　傅海倫

【摘要】

數學命題的學習要比數學概念的學習復雜得多，本文試以“排列”這一節為例，從知識掌握的領會、鞏固和應用三個階段對“排列”這一內容進行教學設計研究，以說明如何進行數學命題學習理論下的學與教.

【關鍵詞】數學命題；學習理論；排列組合；教學設計

教師只有深入地了解數學學習的內部過程，把握其內部機制，才能對數學學習過程中的各種現象的因果關系作出準確判斷，真正做到有的放矢.數學命題（原理）一般由若干個概念組成，數學命題的學習實際上就是數學概念之間關系的學習，然而數學命題的學習要比數學概念的學習復雜得多.下面就以“排列”為例，以說明如何進行數學命題學習理論下的學與教.1數學命題知識結構的整體性

不同的數學原理有不同的概括水平，在每一概括水平上，儲存了可以用來區分其他水平的屬性.分類加法計數原理和分步乘法計數原理是處理計數問題的兩種基本思想方法，因此它們儲存在最高水平；而排列、組合是兩類特殊的計數問題，而獲得排列數公式、組合數公式的基本思想和工具就是兩個計數原理，所以排列與排列數公式、組合與組合數公式儲存在比兩個基本原理低一級的水平；二項式定理是排列、組合知識的應用，因此它在排列、組合低一級的水平上[1].因此，要學好排列、組合問題，必須學好分類加法計數原理和分步乘法計數原理.筆者認為在引入排列、組合有關的命題時，要對兩個基本原理進行復習回憶.將新知識恰當地嵌入學生的原有認知結構中.2數學命題知識過程的掌握環節

從奧蘇貝爾的有意義接受學習理論出發，我國著名心理學家馮仲良以此理論為基礎，提出了知識掌握的領會、鞏固、應用三階段理論.這種觀點認為，要掌握知識，首先應領會知識，然后在頭腦中將領會的知識加以鞏固，從而在實際中去應用知識，以便得到進一步的檢查和充實[2].

2.1“排列”學習的領會階段

學生知識掌握的領會階段又要經歷三個環節，即聯結、精加工和組織.教師要針對這三個環節，進行不同的設置.

（1）聯結環節：學生在該環節，接受新知識的刺激，知覺到語言符號信息進入工作記憶，并激活長時記憶中的相關知識，這些新舊知識在工作記憶中被聯系起來構成新命題（或形成假設）[3].在給出“排列”的定義時，學生長時記憶中的兩個基本原理等相關知識被激活，因此教師在給出“排列”以及“排列數”的定義時，要給學生留有思考的時間，讓學生思考“排列”與兩個基本原理的關系.

（2）精加工環節：學生在該環節中，要利用被激活的長時記憶中的相關知識對新命題的正確性進行邏輯推理論證而形成新的原理（定理、法則等），分析出新舊知識間的新聯系，使新舊知識融會貫通，形成組塊，同時要盡量推出新的命題，并不斷激活和吸納更多的已有知識參與加工，使新知識與已有認知結構的聯系更加緊密、全面[3].

教師利用兩個基本原理，讓學生經歷推導出“排列數公式”的過程，讓學生了解到“排列”的本質也是一種計數方法，“排列數公式”也是一種特殊的計數公式.將這一知識點和兩個計數基本原理建立新的聯系，使新舊知識融會貫通.

（3）組織環節：學生在該環節，需要將信息進行分類整理，并按照相互之間的類屬關系進行編碼，從而為一組信息建立一個合理有序的知識結構，成為一個有機整體[3].學生在將新舊知識進行聯系后，原有的認知結構進行重組，教師可以通過畫知識結構框圖使學生的新舊知識成為一個有機整體.

2.2“排列”學習的鞏固階段

知識的鞏固是通過主動復習而實現的.如果不能及時地進行主動復習，新學習的知識可能會被遺忘，只有當再次復習時，新舊知識的聯系才更緊密.因此，教師在講完“排列與組合”這一節時，一定要給出適當的練習以及在今后的學習中及時地進行復習.

2.3“排列”學習的應用階段

知識的應用涉及知識的提取和重構.在解答問題、學習新知的過程中，必然需要應用已有知識，應用的實質是知識的提取和重構，這是通過激活的擴張而實現的.例如，在學習“排列”的有關知識后，讓學生解答：

“從10個不同的文藝節目中選6個編成一個節目單，如果某女演員的獨唱節目一定不能排在第二個節目的位置上，則共有多少種不同的排法？”

學生通過知識的提取和重構將問題轉化為“從除去第二個節目的位置后，剩下的9個位置選一個安排女演員的獨唱節目，安排下女演員的獨唱節目后，將剩下的5個節目隨機排列在其余的9個位置上”即得到A19A59=136080.3“排列”學習的教學設計

（一）教學目標

（1）能夠區分所研究問題是否是排列問題；

（2）掌握排列數的計算公式；

（3）熟練應用排列問題的常見解題方法，體會到數學方法的多樣性

（4）培養學生分析問題、解決問題的能力.

（二）教學重點

排列數在解決實際問題中的應用.

（三）教學難點

解決實際問題時的思路分析.

（四）教學過程

1、復習舊知，引入新知

師：上一節我們已經學過分類加法計數原理和分步乘法計數原理，請同學們回憶一下，什么是分類加法計數原理？什么是分步乘法計數原理？

設計意圖（1）檢查學生和新課有關知識的掌握程度；（2）刺激學生的原有認知結構，為新課與舊課的融會貫通埋下伏筆.

生1：分類加法計數原理是做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……，第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.

生2：分步乘法原理是做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1m2…mn種不同的方法.

師：這兩名同學回答的非常好，現在我相信在這兩個同學回答的同時，其他的同學也都掌握了這兩個基本原理，現在我們來分析兩個問題，看看有沒有更簡單的計數方法？

問題1從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？

觀察、分析學生的解題方法：學生在看到此題時，迅速對自己的知識進行提取與重組，將問題轉化為：從甲、乙、丙3名同學中每次選出2名，按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的順序排列，求一共有多少種不同的排法.

在了解學生的解題方法的同時，老師明白了學生的思考過程，如果某些學生不能很好地將以前的知識進行提取，老師要進行適當的提示.最后，老師進行統一講解：根據分步乘法計數原理，先選參加上午活動的同學共有3種選法，再選參加下午活動的同學共有2種選法，因此要想完成這件事情，共有3×2=6種選法.

師：上面這個問題如果我們把具體的選法寫出來就是：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙.像這樣我們就可以說，從3個不同的元素中取2個，然后按照一定的順序排成一列，一共有3×2=6種不同的排列方法.

問題2從1，2，3，4這4個數字中，每次取出三個排成一個三位數，一共可得到多少個不同的三位數？

師：問題2與問題1有相似之處，這個問題我們可不可以轉化為：從4個數字中，每次取出3個，按“百”、“十”、“個”位的順序排成一列，就得到一個三位數，因此，有多少不同的排法就有多少不同的三位數？

設計意圖用疑問的語氣提出此問題，既為學生做了適當的提示，又可以讓學生積極思考老師的話是否正確.

在老師的提示下，學生給出答案：4×3×2=24種.

師：我們一起寫出所有的三位數為：

123，124，132，134，142，143，

213，214，231，234，241，243，

312，314，321，324，341，342，

412，413，421，423，431，432.

像這樣我們就可以說，從4個不同的元素中取3個，然后按照一定的順序排成一列，一共有4×3×2=24種不同的排列方法.

師：問題1和問題2的共同特點是什么，能將它們推廣到一般情形嗎？

設計意圖老師提問，學生自己歸納，從而提高學生的歸納、分析問題的能力以及數學語言表達的能力.最后在學生歸納的基礎上總結、完善排列的定義：一般地，從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列.

為了使學生了解“排列”這一定義的本質，講解問題2中的，123與134因為數字取得不同因此是不同的排列，123與132即使數字完全相同，因為順序不同，也是不同的排列.

師：所有不同的排列個數就稱為排列數，即從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用Amn表示.

2、探究公式，理解本質

師：在前面兩個問題中，我們可以知道A23=6，A34=24.那么A2n、A3n、Amn，各是多少呢？聯系問題1和問題2，小組討論一下，A2n我們可以把它看成什么？

設計意圖這一抽象的數學符號不好理解，讓學生嘗試把它還原到實際情景的問題中，就能容易理解.然后經過小組討論與合作，在激烈的爭論中，使自己的認知結構在同化和順應的基礎上，達到暫時的平衡.

生3：可以看成從n個元素中取2個元素，得到的排列數，可以用分步乘法計數原理，分為兩步，可以得到A2n=n（n-1）；同理A3n可以看成從n個元素中取3個元素，得到的排列數，可以用分步乘法計數原理，分為三步，得到A3n=n（n-1）（n-2）.

師：非常好，一般地我們就可以得到Amn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1），這里n，m都是正整數，并且m≤n.這個公式就叫做排列數公式.特別地，當m=n時，即從n個不同的元素中全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，記為Ann=n（n-1）（n-2）…3×2×1.

3、練習鞏固，學以致用

例1：（1）寫出從4個不同的元素中任取2個元素的所有排列；

（2）寫出從5個不同的元素中任取3個元素的所有排列.

設計意圖雖然此題比較簡單，但是卻能讓學生理解排列的本質是什么（即排列也是一種計數方式）；并且讓學生明白只有滿足什么條件時才是一種排列.

例2：（1）從5本不同的書中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）從5本不同的書中買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？

設計意圖讓學生分析這兩個問題的區別，并且說出哪個是排列問題？哪個不是？為什么？可以提高學生的辨別能力，促進學生的理解.

例3：用0到9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？盡可能嘗試用不同的解法.

設計意圖使學生從不同的思路去思考解答此題，訓練學生分析問題的能力.

例4：證明：Amn=n！（n-m）！.

設計意圖此公式在以后的學習中有著廣泛的用途，是概率統計問題的工具，因此作為例題的形式，使學生不但記住，而且會推導.

（五）鞏固練習，加強記憶

在此環節，教師可根據學生課堂的反映情況，對不同的學生進行針對性的訓練（這里不再進行習題的設置），以鞏固新知.

（六）回顧總結，歸納提升

在這節課的結束前，教師應領著學生進行回顧總結這一節課學習的內容，可以先讓學生敘述這一節課學習的主要內容，然后教師再進行總結、歸納和提升，將新學習的知識納入原有的知識體系之中.即便教學設計再完美，一堂課也不可能完全照教案下來，此時教師一定要在此基礎上，查缺補漏，幫助學生明白自己的學習目標，應該了解什么，理解什么，掌握什么，還會應用什么，以幫助學生在建構關于“排列”的合理有序的知識結構的前提下，通過積累豐富的數學活動經驗，最終形成學生良好的數學認知結構.

參考文獻

[1]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006：146

[2]趙維和，雷鳳蘭，任曙光等.一種新的知識掌握階段理論[J].湖南中學物理·教育前沿，2009（5）：46-47

[3]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006：148