從自然數(shù)說起

張新春

從自然數(shù)說起

張新春

湖南小學(xué)數(shù)學(xué)教師的知心朋友、長沙市小學(xué)數(shù)學(xué)教研員張新春老師一直致力于小學(xué)數(shù)學(xué)教師學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)的研究。近期，張老師推出“數(shù)學(xué)與思維”公眾號，其中有不少精彩的文章。這些文章討論的是與小學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)的問題，通俗、生動又不失準確與深刻，是難得的提高小學(xué)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)的讀物。本刊從本期開始，開設(shè)“張老師講數(shù)學(xué)”欄目，連續(xù)刊登這類文章。或從微信公眾號中選編，或邀請張老師專門撰文。歡迎大家關(guān)注，也歡迎您提出小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中有關(guān)學(xué)科專業(yè)知識理解的問題。

引子

上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的都是人的工作。

——克羅內(nèi)克

整數(shù)是全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

——H.閔可夫斯基

數(shù)學(xué)教學(xué)通常從自然數(shù)開始。從自然數(shù)、整數(shù)到分數(shù)，實數(shù)，再到復(fù)數(shù)；從加減乘除到微分、積分，以至于更高級的數(shù)學(xué)，這是一個越來越復(fù)雜的過程。另外，按英國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家羅素的說法，數(shù)學(xué)這門學(xué)問當(dāng)我們從它最熟悉的部分開始時，可以沿著兩個相反的方向進行，一個是我們剛剛提到的從自然數(shù)開始漸趨復(fù)雜的方向，這個方向符合我們的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗。至于另一個方向，指的是“我們不問從我們開始所肯定的東西能定義或推演出什么，卻追問我們的出發(fā)點能從什么更普遍的概念與原理定義或推演出來”。比如從微分、積分這樣的數(shù)學(xué)開始，我們追問，它的基礎(chǔ)是什么？答案是實數(shù)。那實數(shù)的基礎(chǔ)是什么？答案是有理數(shù)。那有理數(shù)的基礎(chǔ)呢？答案是自然數(shù)。所有數(shù)學(xué)命題最終歸結(jié)為關(guān)于自然數(shù)的命題。自然數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)的起點，某種意義上通常也是數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯起點。于是，我們的討論就從自然數(shù)開始。

以下是人教版、蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中引入自然數(shù)1、2、3的方法。

顯然，這兩種方式是完全一樣的，即分別構(gòu)造出3個集合，3個集合中的元素的個數(shù)依次是1、2、3。正因為小學(xué)數(shù)學(xué)中的自然數(shù)都是從集合開始的，我們先來看集合意義上的自然數(shù)。

集合的概念

給一個概念下定義，通常要以已有的概念作為基礎(chǔ)。而定義這個作為基礎(chǔ)的概念，又要有新的基礎(chǔ)。比如定義矩形，我們說是有一個角是直角的平行四邊形，這就用到了直角和平行四邊形這樣的概念。我們又要追問，直角是什么？平行四邊形是什么？這樣一步步倒推，必然會碰到這樣的情況：用來定義新概念的已知概念，再也無法用定義的辦法來明確它的意義了（即再也找不到規(guī)定這個概念的概念了），這個概念就叫做原始概念1。原始概念通常靠描述的方法加以解釋。集合通常被當(dāng)作一個原始概念，被描述為“把具有某種屬性的一些對象看作一個整體就構(gòu)成一個集合”。比如上述引入自然數(shù)所對應(yīng)的一只狗構(gòu)成的集合，三只小鳥構(gòu)成的集合，等等（事實上，這些動物都從教材的主題圖中找出，因此，上述兩個集合也可以說成是“主題圖中出現(xiàn)的狗的集合”和“主題圖中出現(xiàn)的小鳥的集合”）。

在數(shù)學(xué)中，對一些常用的數(shù)集，我們通常約定一些記號表示，它們是——

N：自然數(shù)集；

Z：整數(shù)集；

Q：有理數(shù)集；

R：實數(shù)集；

C：復(fù)數(shù)集。

由于我們討論集合的主要目的在于揭示自然數(shù)的基數(shù)意義，故不詳細討論集合論的基本內(nèi)容，但以下一點卻是重要的，那就是一一對應(yīng)與集合的等價。

一一對應(yīng)與集合的等價

若我們有兩個集合A，B，通過某種法則，對A中的每一個元素都能在B中確定一個對應(yīng)的像，則稱這個法則確定了一個從A到B的映射。如下圖所示，即是一個從A到B的映射。

規(guī)范一點說，A和B是兩個集合，如任給a∈A，存在唯一的b∈B，記此為b=f（a），就稱f是A到B的一個映射。

值得注意的是，就A到B的映射而言，我們只關(guān)心A中的每一個對象在B中有沒有唯一的像，而不關(guān)心如下兩個問題：

1.A中有沒有兩個或多個這樣的對象，它們在B中的像是相同的？

2.B中有沒有這樣的對象，它不是A中任何對象的像？

事實上，上述所示A到B的映射中，這兩種情況都是存在的。

若沒有情況1，我們說這樣的映射是單射。規(guī)范地說，對于映射f，若有f（a1）=f（a2），則必有a1=a2，則稱f是單射。

若沒有情況2，我們說這樣的映射是滿射。規(guī)范地說，對于任意的b∈B，總存在唯一的a∈A，使得b=f（a），則稱f是滿射。

若沒有情況1，也沒有情況2，我們稱這樣的對應(yīng)為一一對應(yīng)。即如果f既是單射，又是滿射，則f是一一對應(yīng)的映射。下圖所示的就是一一對應(yīng)。

若兩個集合A，B之間能夠建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，我們就說A，B兩個集合是等價的。A和B等價通常被記作A～B。同時，以下關(guān)于等價的性質(zhì)被認為是基本的：

自反性：A～A；

對稱性：若A～B，則B～A；

傳遞性：若A～B，B～C，則A～C；

自反性是指一個集合能與自己建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，這是顯然的。而對稱性指的是如果A能與B建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，那么B就能與A建立起一一對應(yīng)的關(guān)系。事實上，只需把A與B建立一一對應(yīng)的方式反過來即可。至于傳遞性，我們可以看以下一個例子：

由

1.邏輯史上最早由古羅馬邏輯學(xué)家波愛修提出定義新概念的方式：概念=概念所歸的屬+種差。這種下定義的方式，后來被稱為通過屬和種差下定義。所謂種差，就是屬下面一個種不同于其他種的特征。傳統(tǒng)邏輯認為，屬加上種差，構(gòu)成事物的特有屬性（本質(zhì)屬性或固有屬性）。數(shù)學(xué)上經(jīng)常用這種方式定義一個新概念。比如矩形被定義為有一個角是直角的平行四邊形。其中，平行四邊形是概念矩形所歸的屬，而有一個角是直角就是種差。這種定義方式如果我們不斷上溯（比如什么是平行四邊形，什么是四邊形等），原則上總會存在原始概念，它不再由另外的概念來定義。集合就是這樣的概念。