關(guān)于函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別方法的探討

河南省濮陽市衛(wèi)生學(xué)校 王菲菲

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關(guān)于函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別方法的探討

河南省濮陽市衛(wèi)生學(xué)校 王菲菲

摘要：高等數(shù)學(xué)在整個高職教學(xué)體系中占有非常重要的作用，函數(shù)收斂問題貫穿于整個高等數(shù)學(xué)的知識鏈中，是教學(xué)重點也是教學(xué)難點。本文從定義、定理角度對函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判別方法加以歸納探討，結(jié)合實例介紹幾種常見方法。

關(guān)鍵詞：函數(shù)項級數(shù) 收斂 一致收斂 判別

函數(shù)項級數(shù)在收斂時是函數(shù)的一種表示方法，這種表示方法可以從更深刻的背景描述一個函數(shù)的性態(tài)：連續(xù)性、可積性、可微性。有了函數(shù)項級數(shù)知識后就產(chǎn)生了如何通過無窮多個函數(shù)的疊加產(chǎn)生新函數(shù)以及這樣產(chǎn)生的新函數(shù)的性質(zhì)的可能性，而函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性和非一致收斂性在其中起了關(guān)鍵作用。

一、函數(shù)項級數(shù)的相關(guān)知識

1.函數(shù)項級數(shù)的定義

2.收斂和一致收斂的相關(guān)定義

（1） 收斂

（2）一致收斂

二、一致收斂的判別方法

1.M判別法（優(yōu)級數(shù)判別法）

（2）求優(yōu)級數(shù)的方法除了觀察法外，還可以用如下的方法：①求un(x)在區(qū)間D上的最大值；②利用已知的不等式；③用泰勒公式、微分中值定理等各種方法變形再放大。

2.定義法

證明：由函數(shù)g（x）在D上有界知，存在M＞0，對于任意x∈D，有|g（x）|≤M。

又知∑un(x)在D上一致收斂于s（x），由函數(shù)項級數(shù)收斂的定義知對于任意ε，存在N。

3.柯西收斂準(zhǔn)則

函數(shù)項級數(shù)∑un(x)在數(shù)集D上一致收斂推導(dǎo)出對任意ε＞0，存在N∈N*，任意n＞N，對任意x∈D及任意p∈N*，有sn+p-sn（x）＜ε或|un+1（x）+......un+p（x）＜ε。

（1）推論1：函數(shù)項級數(shù)∑un(x)在數(shù)集D上一致收斂推導(dǎo)出函數(shù)列｛un（x）｝在D上一致收斂于0。

（3）該方法通常用于抽象的函數(shù)項級數(shù)。

（4）用柯西準(zhǔn)則判斷函數(shù)項級數(shù)是否一致收斂完全取決于充分大后的“片段”是否能一致的任意小，而無需求出和函數(shù)。

4.確界法

（1）這種情況要求函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列｛sn（x）｝和其極限函數(shù)s（x）容易求出。

例4，證明函數(shù)項級數(shù)∑x2(1-x)n在（0，1）上一致收斂。

5.阿貝爾判別法和狄利克雷判別法

阿貝爾判別法：

（ii）對于每一個x∈D，｛νn（x）｝是單調(diào)的；

狄利克雷判別法：

（ii）對于每一個x∈D，｛νn（x）｝是單調(diào)的；

（iii）在D上νn（x）一致收斂于0（n→∞），則∑un（x）νn（x）在D上一致收斂。

若要根據(jù)阿貝爾判別法和狄利克雷判別法，證明函數(shù)項級數(shù)一致收斂，關(guān)鍵是將通項寫成兩個因子的乘積，使之符合判別法的條件：un（x）=an（x）·bn（x）。

6.狄尼定理

設(shè) un（x）≧0，在D上連續(xù)，（n=1，2 …），又在D上收斂于連續(xù)函數(shù)s（x），則∑un（x）在D上一致收斂于s（x）。

（1）方法步驟：判別un（x）≧0（或un（x）≦0），且連續(xù)推導(dǎo)出求和函數(shù)s（x），推導(dǎo)出判定和函數(shù)s（x）在定義域上連續(xù)，推導(dǎo)出一致收斂。

（2） 在狄尼定理中，可將un（x）≧0（n=1，2…）改變?yōu)椤肮潭▁時，各un（x）保持同號（當(dāng)x變化時，un（x）可以變號）”，結(jié)論仍然成立。

四、小結(jié)

M判別法、狄利克雷判別法及阿貝爾判別法使用較為方便，但是，M判別法多用于證明絕對一致收斂的函數(shù)項級數(shù)；狄利克雷判別法和阿貝爾判別法常用于條件收斂的函數(shù)項級數(shù)。柯西收斂準(zhǔn)則在理論上很重要，通常用于證明抽象函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性（M判別法、狄利克雷判別法及阿貝爾判別法即由其推導(dǎo)得到）。在不易使用M判別法、狄利克雷判別法及阿貝爾判別法時，常用確界法，而且確界法不僅可以判別一致收斂，也可以判別非一致收斂。

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文章編號：ISSN2095-6711/Z01-2016-04-0220