反證法在初中數學教學中的應用

廣東省廣州市番禺區沙灣鎮象駿中學 歐陽秋霞

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反證法在初中數學教學中的應用

廣東省廣州市番禺區沙灣鎮象駿中學 歐陽秋霞

摘要：反證法在數學知識中占據了重要地位，對于學生邏輯思維能力、實踐解題能力的培養具有良好效果。初中是學生接觸高層次數學知識的基礎階段，灌輸反證法的相關知識有助于開發學生思維，幫助其打下堅實的數學基礎。本文探討反證法在數學教學中的價值，解讀反證法應用于數學教學的必要性，提出幾點科學運用反證法的建議。

關鍵詞：反證法 初中數學 教學實例

一、反證法的教學價值

牛頓說：“反證法是數學家最精良的武器之一。”初中數學中反證法不僅是常見的數學解題證明方法，同時也是培養學生邏輯思維的教學重點。初中數學教材對反證法的學習要求和例題講析不難發現，反證法的適用范圍非常大，包括否定性命題、無窮性命題、限定式命題、逆命題、不等量命題等。

初中數學教學中反證法有著十分重要的教學意義，具體表現在以下三點：其一，反證法是初中數學教學的必講內容，是學生解答習題必須學習的解題方法；其二，反證法能培養學生的逆向思維能力，提高思維創造能力；其三，反證法能加強學生對命題思考的判斷、分析、解答等綜合能力，使學生更好地發散思維，敢于證明、善于證明。

反證法的運用大致分為三個步驟：首先，假設需要證明的結論的反面是正確的；其次，通過邏輯推理得出與已知定理、定義以及數學公論、命題、已知條件等矛盾的結論；最后，說明該假設是不成立的，由此證明命題所要求證明的結論是正確的。

二、反證法在教學中的實例解析

1.實例解析

此類命題運用反證法時要仔細區分命題中所給的“不小于”“至少”“至多”“最多”“不大于”等詞語。

（2）以不等量命題為例，如圖1所示，在銳角△ABC中，已知∠C＞∠B，求證：AB＞AC。

分析：這道題可以用平面幾何的知識解決，也可以運用反證法加以證明。

圖1

證明：假設AB小于或等于AC，即AB≤AC，此時應分兩種情況討論：

若AB=AC，則△ABC為等腰三角形，所以∠B=∠C，該結論與已知條件∠C＞∠B矛盾。

若AB＜AC，在AB延長線上取一點D，使AD=AC，連接DC。因為AD=AC，所以△ADC為等腰三角形，所以∠ADC= ∠ACD，因為∠ABC為△ADC的一個外角，所以∠ABC＞∠BDC=∠ACD，而∠ACD＞∠ACB=∠C，所以∠ABC＞∠C，即∠B＞∠C，該結論與已知條件相矛盾。

所以上述兩種假設均不成立，原命題得證。

所以AB＞AC。

（3）以基本命題為例，如圖2中直線a、b相交于點P，求證：a、b只有點p這一個交點。

圖2

證明：假定直線a、b相交的點不止一個，那么直線a、b至少有兩個交點P、Q。

直線a是由P、Q兩點確定的直線，直線b也是由P、Q兩點確定的直線，得出P、Q兩點確定了兩條直線a、b的結論，而這一結論顯然與已知公理“兩點只確定一條直線”之間相互矛盾，所以直線a、b是不可能有兩個交點的，原命題得證。

2.教學注意

應用反證法時應注意以下幾點：

（1）正確地否定結論，如條件所給的“至多有2個”表示的是“只有1個或2個”或是“1個都沒有”。否定結論正確與否，決定學生繼續解題的反正思路是否正確，直接影響最終答案。

（2）了解和掌握運用反證法出現的各種矛盾，合理設計命題的矛盾證明點，采用臨時假設引出矛盾，結論與真命題相矛盾或是通過結論相互矛盾等方法進行合理反向證明。

綜上所述，反證法是一種十分重要的數學證明方法，它能有效解決數學知識中蘊含的問題。將反證法運用于數學教學中對于改善學生的思維局限性，提高學生的應變能力有著重要意義。作為一種典型的逆向性思維方式，反證法不僅能幫助學生研究數學知識，同時還能不斷啟發學生，使其研究并掌握更多的解題和學習思路。將反證法運用于數學教學中不僅需要教師具備相當的教學能力，同時對于課堂環境、師生關系也有較為嚴苛的要求。

文章編號：ISSN2095-6711/Z01-2016-04-0187