具有分紅、流動儲備金和利率的風(fēng)險模型的絕對破產(chǎn)

張燕　趙培標(biāo)

摘要建立了閾值分紅策略下具有流動儲備金、投資利率和貸款利率的復(fù)合泊松風(fēng)險模型. 利用全概率公式和泰勒展式， 推導(dǎo)出了該模型的GerberShiu函數(shù)和絕對破產(chǎn)時刻的累積分紅現(xiàn)值期望滿足的積分微分方程及邊界條件， 借助Volterra方程， 給出了GerberShiu函數(shù)的解析表達(dá)式.

關(guān)鍵詞保險數(shù)學(xué)； GerberShiu函數(shù)； 積分—微分方程； 分紅； 流動儲備金

中圖分類號O211.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

AbstractThis paper studied the compound Poisson risk model with liquid reserves， credit interest and debit interest in the presence of a threshold dividend strategy. By the total law of probability and Taylor's expansion， we first obtained the integrodifferential equations with boundary conditions satisfying the GerberShiu function and presented the closed form expressions for the GerberShiu function. Secondly， we derived the integrodifferential equations with boundary conditions satisfying the expected discounted present value of all dividends until absolute ruin by employing Volterra equations.

Key wordsinsurance mathematics； Gerber-Shiu function； integro-differential equation； dividend； liquid reserves

1 引言

近年來， 常利率風(fēng)險模型引起眾多學(xué)者的關(guān)注， 也得到了很多有意義的成果，例如Kalashnikov & Konstantinides（2000）[1]， Cai & Dcikson（2002）[2]， Gao & Liu（2010）[3]和Li & Lu（2013） [4].具有常利率的經(jīng)典風(fēng)險模型中， 保險公司在t時刻的盈余U（t）滿足

dU（t）=cdt+rU（t）dt-dS（t），t≥0， （1.1）

其中c是保費率， r是投資利率， {N（t），t≥0}是索賠計數(shù)過程， {Xi，i=1，2，…}是索賠額， 且

St=∑Nti=1Xi.

在模型（1.1）中， 當(dāng)盈余大于0時， 保險公司將這些盈余全部投資到金融市場且能夠獲得投資利潤， 當(dāng)盈余小于0時， 我們稱之破產(chǎn). 事實上， 即使保險公司將其所有正的盈余全部進(jìn)行無風(fēng)險投資（或存入銀行）， 在一些銀行儲蓄業(yè)務(wù)中， 必須存入的資金超過一定的量才能獲得利息， 不一定如式（1.1）描述的只要盈余大于0就存在投資利潤. 另一方面， 保險公司不一定將所有大于0的盈余進(jìn)行投資， 其可能保留一部分大于0的盈余作為流動儲備金.Embrechts&Schmidli;（1994）[5]提出了一種具有流動儲備金的風(fēng)險模型， 假設(shè)當(dāng)保險公司的盈余達(dá)到一定的水平Δ>0時， 才可以進(jìn)行投資且超過這個值Δ的盈余部分才能獲得投資利率r. 當(dāng)盈余小于Δ時，此時的盈余作為流動儲備金， 且不獲得投資利率. Cai et al （2009） [6]在模型（1.1）的基礎(chǔ)上增加了閾值分紅策略和流動儲備金， 進(jìn)一步假設(shè)如果盈余夠大超過一個值b（≥Δ），那么超出b的那部分盈余將作為紅利以一個常值紅利率α（0≤α≤c+r（b-Δ））分給持保者， 且超出b的那部分盈余不會賺得投資利率， 研究了GerberShiu函數(shù)和破產(chǎn)時刻的累積分紅折現(xiàn)期望等量. 其它閾值分紅策略的研究可參見Lin&Pavlova;（2006）[7]， Zhang et al（2010） [8]和溫玉珍&尹傳存[9].

然而， 現(xiàn)實中， 當(dāng)保險公司盈余小于0或出現(xiàn)財政赤字時， 保險公司可以以一定的貸款利率貸款以繼續(xù)維持其經(jīng)營， 同時保險公司需要從保費中支取一部分資金償還貸款. 因此只要貸款利率合理， 負(fù)的盈余可能轉(zhuǎn)為正的盈余， 但是， 當(dāng)負(fù)的盈余小于一定的值時， 就不可能再轉(zhuǎn)為正的盈余， 此刻絕對破產(chǎn)發(fā)生. 絕對破產(chǎn)概率是一個重要的風(fēng)險尺度， 已引起眾多學(xué)者的關(guān)注， 例如Cai（2007） [10] ， Cai et al （2009） [11] 和Yu[12] .受此啟發(fā)， 在Cai et al （2009） [6]的基礎(chǔ)上增加投資利率， 建立存在門限分紅策略時具有流動儲備金、投資利率和貸款利率的復(fù)合泊松風(fēng)險模型， 研究其Gerber—Shiu函數(shù)和到絕對破產(chǎn)時刻為止的累積分紅現(xiàn)值期望. 記D（t）為[0， t]內(nèi)的所有累積分紅， 分紅后t時刻的盈余為Ub（t）=U（t）-D（t）且 Ub（0）=u. 于是， 盈余過程Ub（t）具有如下的形式

dUb（t）=c1dt+r（b-Δ）dt-dS（t），Ub（t）≥b，c2dt+r（Ub（t）-Δ）dt-dS（t），Δ≤Ub（t）

（1.2）

其中c2>0為保費率， Δ（≥0）是流動儲備金水平， b為分紅水平， 投資利率為r. 當(dāng)盈余Ub（t）小于Δ時， 資產(chǎn)將被作為流動儲備金， 且不獲得投資利潤. 當(dāng)盈余Ub（t）大于Δ時， 超過Δ的資產(chǎn)獲得投資利潤. 如果當(dāng)盈余Ub（t）達(dá)到一個更高水平b（≥Δ）時， 超過水平b的那部分盈余則作為紅利以常數(shù)率α（0≤α≤c2+r（b-Δ））連續(xù)分紅給保單持有者， 且其不再獲得投資利潤， 此時的保費率可以看作為c1=c2-α>0. 如果盈余Ub（t）介于Δ與b之間， 此時沒有分紅， 但超過Δ的那部分盈余獲得投資利潤.然而， 當(dāng)盈余Ub（t）小于0時， 允許保險公司以貸款利率δ（δ≥r>0）向銀行貸款以維持經(jīng)營， 同時保險公司需要從保費中支取一部分資金償還貸款， 當(dāng)盈余達(dá)到或低于-c2/δ時， 保險公司的盈余不可能由負(fù)轉(zhuǎn)正，此時其已無能力償還貸款， 絕對破產(chǎn)發(fā)生.

假設(shè)N（t），t≥0為服從參數(shù)為λ的Poisson過程， Xi，i=1，2，…是獨立同分布的非負(fù)隨機變量序列， 分布函數(shù)為P（x），密度函數(shù)為p（x），且N（t），t≥0和Xi，i=1，2，…相互獨立.為保證保險公司運行上的安全， 假定安全負(fù)載條件為c2>λEXi且c2-α+r（b-Δ）>λEXi.

4結(jié)論

在閾值分紅策略下研究了具有流動儲備金、投資利率和貸款利率的復(fù)合泊松風(fēng)險過程的GerberShiu函數(shù)和分紅問題. 利用全概率公式和泰勒展式， 得到了GerberShiu函數(shù)和絕對破產(chǎn)時刻的累積分紅現(xiàn)值期望滿足的積分—微分方程及邊界條件， 并借助Volterra方程， 給出了GerberShiu函數(shù)的解析表達(dá)式. 進(jìn)一步，當(dāng)索賠額變量服從確定確定分布時，例如指數(shù)分布， 可以推導(dǎo)出絕對破產(chǎn)時刻的累積分紅現(xiàn)值期的精確表達(dá)式. 考慮到市場經(jīng)濟的波動和一些不確定因素的影響，可以研究帶擾動項的風(fēng)險模型的相關(guān)問題，將紅利策略推廣為線性紅利策略，使得模型更貼近實際運作，研究GerberShiu函數(shù)和分紅問題，這對于決策者進(jìn)行風(fēng)險過程的穩(wěn)定性分析提供了重要的理論依據(jù).

參考文獻(xiàn)

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