“討價還價”的“納什解”的形成路徑與結論拓展

摘要建立了一個“討價還價”的雙邊適應性預期模型，并利用這個模型的二元常系數線性差分方程組，揭示“納什討價還價解”的形成路徑.對于不是“納什討價還價解”的一般討價還價的成交結果，同樣可以運用這樣一個模型來揭示.基于這個模型，當買、賣雙方希望成交，各方的出價通過逐次調整會最終收斂到同一個常數，因此能夠從理論上保證討價還價最終成交.雙方當中有一方不肯讓價而成交的情形，可以作為這個模型退化成為單邊適應性預期模型的情形.舉例計算說明了一個討價還價問題的收斂過程與結果.

關鍵詞理論經濟學；討價還價；合作博弈；適應性預期；收斂

中圖分類號 文獻標識碼A

AbstractA bilateral adaptive expectation model of “bargain” was set up， a binary constant coefficients liner difference equation system of the model was used， and a formation path of “Nash Bargaining Solution” was explicated. This model can also be used to explicate a common conclusion of bargain that is not “Nash Bargaining Solution.” Based on this model， bids of both buyer and seller all converge to same constant if they wish to clinch a deal， so that the “bargain” can clinch a deal ensured in theoretical meaning. A situation can be as the degeneration of the model that both clinch a deal although one of them keeps own bid from beginning to end， because it becomes a single adaptive expectation model. An example was drawn upon to verify the process and result of a common bargain problem.

Key words theoretic economics； bargain； cooperation game； adaptive expectation； convergence

1引言

“討價還價”是現實生活中非常普遍的經濟現象.在經濟學理論中，用合作博弈理論來解釋“兩人討價還價”及成交問題， 在由個體理性、帕累托強有效性、對稱性、等價盈利描述的不變性、無關選擇的獨立性五個公理組成的“納什公理”下，能夠證明“兩人討價還價”問題存在滿足“納什公理”的唯一解（施錫銓，2012）[1].“兩人討價還價”問題的“納什解”被廣泛應用于一類微觀經濟活動.并且，已經有人嘗試將其運用于馬克思的社會再生產宏觀經濟模型，獲得了社會擴大再生產的“納什討價還價解” （陶為群，2015）[2].然而，“納什討價還價解”僅僅是一個結果，只有當這個結果與 “兩人討價還價”合作博弈抽象過程直接聯系到一起，才能夠從理論意義上把“納什解”當作 “兩人討價還價”的一種典型結果.因而，需要具體給出“納什解”的形成路徑.這就首先需要對于買、賣雙方逐次討價還價、最終成交的典型過程加以歸納和提煉，建立“納什解”形成路徑的具體模型，從而完整地確立“討價還價”問題的“納什解”.另外，從本質上講“討價還價”合作博弈的結果是雙方地位對比的反映，而“納什公理”中的對稱性公理過于側重公平性，所以理論上的成交價格也過于體現買、賣雙方出價的平均化.這與現實的“討價還價”中“店大壓客”或者“客大壓店”的情形不吻合，因此理論上的“納什解”成交價格也只是一種理想化的結果，并不能一般性地解釋 “討價還價”的成交價格.已經有研究從合作博弈的角度建立各個局中人地位對稱的三方相互威懾討價還價模型（龔智強，謝政，戴麗，2015）[3]，為探索“討價還價”的 “納什解”的結論拓展提供了有益的啟示.所以，不僅需要明確 “討價還價”的 “納什解”的形成路徑，而且需要對由這個路徑形成的結論加以拓展，使其能夠一般性地解釋 “討價還價”的成交過程與結果.通過建立一個“討價還價”的雙邊適應性預期模型，可以闡明“納什解”的形成路徑并對由這個路徑形成的結論加以拓展.

經濟數學第 33卷第2期

陶為群：“討價還價”的“納什解”的形成路徑與結論拓展

2一般討價還價問題的“納什解”

假設對于一件商品買、賣雙方都有成交的意愿，但對于價格有不同的訴求，于是進行討價還價.分別以ps0，pd0表示賣方、買方初始出價.買方初始出價會低于賣方初始出價，因而有：

pd0

合作博弈中有一個基本概念是利益分配， 那么對于這一件商品來說， 賣方與買方初始出價之間的差額（ps0-pd0）就成為買、賣雙方利益分配的具體對象.以x表示經過討價還價成交時買方獲得的利益，那么賣方獲得的利益就是（ps0-pd0）-x.最終成交時買方出價是賣方初始出價減去買方獲得的利益.以pd表示：

pd=ps0-x. （2）

而最終成交時賣方出價是買方初始出價加上賣方獲得的利益.以ps表示：

ps=pd0+（ps0-pd0）-x=pd. （3）

因而，用買、賣雙方初始出價之間的差額作為利益分配的具體對象是自然、適宜的.合作博弈的買、賣雙方有各自的效用，是利益分配的函數，會影響其對于利益分配的衡量.分別以ud，us表示買方和賣方關于利益分配的效用，并假設買、賣雙方的效用是所獲得的利益的某個倍數.即，

ud=adx，

us=as（ps0-pd0-x）. （4）

式（4）中ad，as都是常數.對于“兩人討價還價”問題，在 “納什公理”下，存在滿足“納什公理”的唯一討價還價解，它是使“納什積”ud×us達到最大的解.因此將式（4）代入“納什積”，就形成一般的“討價還價”問題的目標函數：

max {[adx]×[as（ps0-pd0-x）]}.（5）

目標函數中的“納什積”是待定變量x的二次函數，使用求函數最大值的方法，很容易求得目標函數的最優解，就是“納什討價還價解”.

=12（ps0-pd0）. （6）

將代入最終成交時買、賣雙方出價pd和ps的表達式，得到：

pd=ps=12（pd0+ps0）. （7）

式（7）表明，當買、賣雙方的效用都是利益分配的某個倍數，則按照“納什討價還價解”最終成交價格是買賣雙方初始出價的中間價.雖然這是“兩人討價還價”的一種典型結果，但是從邏輯上講，需要明確提出“納什解”的一條形成路徑，作為這種結果與“兩人討價還價”合作博弈抽象過程之間的紐帶，才能夠確立“納什解”對于“討價還價”成交價格的理論意義.

3討價還價的雙邊適應性預期

模型及其退化情形

如果一般的討價還價問題存在著“納什解”，就意味著買賣雙方的“討價還價”合作博弈過程是收斂的，并且收斂到“納什討價還價解”.而收斂的前提條件，是每一方都根據另一方的出價不斷調整本方的出價，從而使雙方的出價逐步接近，使“討價還價”過程收斂.“討價還價”的收斂，也就是在合作博弈中每一方都根據另一方的利益分配訴求，不斷調整本方的利益分配訴求，最終使雙方的利益分配訴求之和等于可供分配的總的利益，從而得以成交.分別以pdn，psn表示買方、賣方在討價還價中的第n次出價，以xn，yn表示買方、賣方的第n次利益分配訴求（n=0，1，2，3…），直接成為各方的博弈策略.那么各方的每次出價和利益分配訴求之間是一一對應關系.

pdn=ps0-xn，

psn=pd0+yn，

n=0，1，2，3，…（8）

以雙方的初始出價差額（ps0-pd0）作為可供分配的總的利益.在合作博弈中每方的初始策略是：

x0=y0=ps0-pd0.（9）

由于雙方的初始出價不同，也就是初始策略之和超過可供分配的總的利益，因而需要通過討價還價，最終使雙方的出價相同，才能夠成交.

可以假設“討價還價”的次序是首先由賣方給出初始出價ps0，然后由買方給出初始出價pd0，那么由于雙方的初始策略之和超過可供分配的總的利益，無法成交，所以雙方都必須對本方的初始策略進行調減，重新提出策略；再由賣方提出第1次策略，然后由買方提出第1次策略；…，照此逐次進行下去， 買方、賣方分別逐次提出本方的第n次策略xn，yn，形成雙方對于本方的策略逐次調整的過程，是一個“討價還價”合作博弈過程.如果反過來，將合作博弈的次序改為每次先由買方、再由賣方提出本方的策略，完全不影響“討價還價”合作博弈的結果.買方、賣方的逐次提出的策略形成兩個相互關聯的無窮數列xn，yn，最終成交對應著這兩個數列收斂.于是，需要建立一個模型來歸納和提煉由“討價還價”合作博弈所形成這兩個策略數列，并證明這兩個數列收斂，從而具體給出“納什解”的形成路徑.

在討價還價中，必須買、賣雙方至少有一方誠心成交才有可能達成交易；而一般的成交狀況是雙方都希望成交，因而都逐次對于本方的博弈策略加以調整，形成下一輪次策略，所以買、賣雙方“討價還價”合作博弈是各方對于本方策略進行適應性預期調整的過程.經典的適應性預期模型當中只有一個主體，這個主體根據自身預期狀況與實際狀況之間的差距，對自身預期狀況不斷加以調整.因而調整的內容是自身預期狀況；調整的參照物是實際狀況.而在討價還價合作博弈中，有買方、賣方兩個主體，因而是雙邊的適應性預期調整.調整的內容是本方預期的利益訴求也就是策略.由于雙方能夠實際獲得的利益是此長彼消的，于是一方必須根據對方的策略來調整本方的策略，因而調整的參照物只能是對方的策略.而如果要完全適應對方的策略，那么買方采取的第n次策略就應當是（ps0-pd0）-yn；賣方采取的第n次策略就應當是（ps0-pd0）-xn.所以，可以歸納和提煉成一個雙邊適應性預期模型（王曦、陳淼，2013） [4].

xn+1=xn+βd[（ps0-pd0-yn）-xn]，

yn+1=yn+βs[（ps0-pd0-xn）-yn].

n=0，1，2，3，…（10）

βd，βs稱為適應系數，在此分別表示買、賣雙方對于本方策略向適應對方策略調整的幅度，反映了向對方妥協的程度.如果一方的適應系數為0，表示完全堅持本方策略而絲毫不向對方妥協；如果一方的適應系數為1，表示完全向對方妥協而接受了對方策略.假如有某方的適應系數小于0，則由于雙方的初始策略之和超過可供分配的總的利益即x0+y0>ps0-pd0，

就意味著各方下一輪次策略值更高，那么雙方策略之和更超過可供分配的總的利益，不可能成交，因此排除這種情形.討價還價持續進行的原因是在各輪次雙方都不能夠完全適應對方策略.根據式（10），假如一方的適應系數大于1，就意味著本方下一輪次策略值低于如果完全適應對方策略的本方本輪次策略值，也就是xn+1<（ps0-pd0）-yn或者yn+1<（ps0-pd0）-xn，這都已經超過了完全適應對方策略的妥協程度，因此也排除這種情形.所以，確定在模型中適應系數的取值范圍限定在：

0≤βd，βs≤1.（11）

將式（10）代入式（8），可以對應地獲得買、賣雙方對于本方出價進行雙邊適應性預期調整的模型：

pdn+1=（1-βd）pdn+βdpsn，

psn+1=βspdn+（1-βs）psn.

n=0，1，2，3，…（12）

式（12）表明：買、賣雙方的第n+1輪次出價pdn+1，psn+1都是雙方的前一輪次出價pdn，psn的固定加權平均數，數值介于二者之間.這比較貼近現實當中最簡便的討價還價方式.

有一種特殊的情形是買、賣雙方的適應系數之和恰好等于1.即

βd+βs=1.（13）

在這種特定條件下，將式（10）中兩式取n=0相加并將式（13）代入，得到：

x1+y1=x0+y0+（βd+βs）×[ps0-pd0-（x0+y0）]=ps0-pd0. （14）

即，只經過一次討價還價雙方的策略之就恰好等于可供分配的總的利益，對應著雙方的出價完全相同，因而成交使合作博弈終止.這是因為恰巧在討價還價中買、賣雙方的適應系數是互補的.

根據常識，如果賣方不肯讓價而成交，那么只有買方單方面妥協，以賣方初始出價成交.這是討價還價的雙邊適應性預期模型式（10）退化成為買方單邊適應性預期調整的一種特殊情形，可以用在模型式（10）中賣方的適應系數取特定值βs=0來說明.由于賣方不肯讓價，堅持獲得全部可供分配的利益即yn=（ps0-pd0）（ n=0，1，2，3，…）而絲毫不向買方妥協，因此這種情形下只有買方完全（一次到底）或者不完全（逐步）向賣方妥協才能成交.如果買方完全向賣方妥協，則買方的適應系數βd=1，根據式（13）和式（14）經過一次討價還價雙方就以賣方獲得全部利益（ps0-pd0）也就是以初始出價ps0成交.如果買方不完全向賣方妥協，并沒有改變問題的實質，這時買方的適應系數0<βd<1.式（10）中的買方策略方程就簡化成為xn+1=（1-βd）xn，當“討價還價”無限進行下去，通過迭代買方逐輪次策略就向零收斂.

雙方最終以賣方初始出價ps0成交.

同樣根據常識，如果買方不肯讓價而成交，那么只有賣方單方面妥協，以買方初始出價成交.這是討價還價的雙邊適應性預期模型式（10）退化成為賣方單邊適應性預期調整的一種特殊情形，可以用在模型式（10）中買方的適應系數取特定值βd=0來說明.由于雙邊適應性預期模型式（10）對于買、賣雙方具有完全對稱性，所以與賣方“不可還價”成交的道理類似，不管賣方完全（一次到底）或者不完全（逐步）向買方妥協，都是以買方獲得全部利益（ps0-pd0）也就是以初始出價ps0成交.

討價還價成交的一般情形是買、賣雙方都不完全向對方妥協，因而都對于本方初始策略進行適應性預期調整，因此最終以買、賣雙方各獲得全部利益（ps0-pd0）中的一部分，也就是也雙方初始出價之間的某個價格成交.這種情形下買、賣雙方的適應系數都介于0到1之間并且不是互補的.并且在現實當中，一般買、賣雙方對于本方策略比對方策略更為看重，因而向適應對方策略調整的幅度會小于0.5，也就是適應系數會小于0.5.因此可以進一步縮小適應系數取值范圍是：

0<βd，βs<0.5.（16）

這意味著在式（12）表示的買、賣雙方的前一輪次出價加權平均形成各方本輪次出價當中，前一輪次本方出價所占權重高于對方出價所占權重.

順便指出：適應系數βd，βs分別是買、賣雙方自身的秘密，只是由本方使用的參數，對方并不知曉數值.以下以式（16）作為約束條件，運用雙邊適應性預期模型式（10）研究一般的討價還價中雙方調整博弈策略和成交情形.

4 一般討價還價的雙邊適應性預期

模型的解的唯一存在性

將式（10）稍加變形，成為：

式（26）表明，由于在“討價還價”過程中買賣雙方的利益訴求分別向x*和y*收斂，因而雙方出價趨向于完全相同，于是，能夠從理論上保證“討價還價”趨向于成交.

差分方程組式（17）的平衡解x*和y*是一個特解.根據差分方程組的一般理論，可以由特解x*和y*以及將式（17）去掉常數項后的常系數齊次線性差分方程組的通解，獲得常系數非齊次線性差分方程組式（17）的通解.為此先求式（17）去掉常數項后的齊次差分方程組的系數矩陣的特征值.很容易解出兩個特征值λ1=1和λ2=1-（βd+βs）.將兩個特征值代入常系數線性差分方程組的通解的一般公式，可得到非齊次線性差分方程組式（17）的通解.再根據這個差分方程組有初始值x0，y0，利用得到的通解和特解x*，y*，得到常系數非齊次線性差分方程組式（17）有初始值x0，y0的解：

xn=βdβd+βs（ps0-pd0）[1-（βd+βs）]n+x*，

yn=βsβd+βs（ps0-pd0）[1-（βd+βs）]n+y*，

n=1，2，3，…. （27）

根據線性差分方程組的一般理論，差分方程組式（17）有唯一的滿足初始值x0，y0的解 （周義倉、曹慧、肖燕妮，2014） [6].所以式（27）就是差分方程組式（17）有初始值x0，y0的唯一解.

將式（27）代入式（8），得到討價還價過程中雙方逐次出價數列的通項：

pdn=ps0-βdβd+βs（ps0-pd0）[1-（βd+βs）]n-x*，

psn=pd0+βsβd+βs（ps0-pd0）[1-（βd+βs）]n+y*，

n=1，2，3，…. （28）

根據式（27）和式（16），買、賣雙方預期調整的適應系數和可以接受的利益訴求差額，決定著“討價還價”的成交（收斂）過程與結果.買、賣雙方“討價還價”的實際成交價格對應著通過逐次迭代獲得的唯一收斂點的近似值.各方的適應系數越大，可以越快成交；可以接受的訴求差額起著計算精度的作用，精度越高成交過程越慢.雙方成交的步驟是：當一方的某輪次策略與上一輪次策略不超過其可以接受的利益訴求差額，就可以忽略不計本方繼續調整的結果；當各方都忽略不計本方繼續調整的結果的時候，買、賣雙方討價還價就中止，該輪次的買、賣雙方的策略就成為本方策略極限值的近似值，從而討價還價近似達成均衡.所以，建立雙邊適應性預期模型式（10）作為買、賣雙方討價還價收斂從而成交的形成路徑，從理論上講是適宜的.這里指出：根據式（23）和式（27），買、賣各方策略的極限值都是雙方的適應系數和初始出價的隱函數，所以并不能獲得一般討價還價的解析解.買、賣雙方可以并不知曉利益訴求的雙邊適應性預期模型式（10），也并不知道討價還價的收斂值，只要是在討價還價中簡單地按照式（12）逐次調整本方的出價，就必然趨于向雙方出價的唯一收斂價格收斂并成交.

回過頭來看，如果買、賣雙方討價還價是以“納什討價還價解”收斂，那么買方、賣方的逐次提出的策略數列xn，yn的極限x*和y*就是分別取特定值和.根據式（6）和式（24），這種情形下買、賣雙方的策略極限值是相等的.即：

==12（ps0-pd0）.（29）

根據“納什公理”當中的對稱性公理，買、賣雙方的地位完全平等，所以應當是雙方將本方策略向適應另一方策略調整的幅度相等，也就是雙方的適應系數相同.即：

βd=βs. （30）

將式（29）和式（30）代入差分方程組式（17）的通解式（27），得到討價還價以“納什討價還價解”收斂的唯一解：

xn=yn=12[1+（1-2βd）n]（ps0-pd0），

n=1，2，3，…. （31）

根據約束條件式（16）并將式（31）與式（27）比較可以看出，買、賣雙方討價還價近似以“納什討價還價解”成交，只是一般的成交結果當中雙方的適應系數相同的特定情形.所以，“討價還價”的雙邊適應性預期模型式（10）不僅可以說明“納什討價還價解”的形成路徑，而且可以拓展這個結論.討價還價合作博弈的結果是買、賣雙方地位對比的反映，一般情形下雙方并不是地位完全平等的.所以，一方將本方策略向適應另一方策略調整的幅度并不相同，這就是現實的討價還價當中“店大壓客”或者“客大壓店”的情形的集中體現.當買、賣雙方都希望成交，處于相對強勢地位的那一方向對方妥協的程度會低一些，具體表現在將本方策略向適應對方策略調整的幅度比對方小.所以，最終的成交價格會偏離“納什討價還價解”所代表的雙方初始出價的中間價，而偏向處于相對強勢地位的那一方的初始出價.

5一般討價還價的雙邊適應性

預期調整與成交舉例

下面，舉一個例子具體說明討價還價的雙方怎樣逐次調整出價及成交.假設有某件商品，賣方初始出價是ps0=95元，買方初始出價是pd0=60元.買、賣雙方在給出自己出價的同時，也適當考慮對方的出價，并對本方出價進行逐次調整，形成下一次出價.假設買方、賣方對于對方出價的適應系數分別是βd=0.3和βs=0.2，意味著賣方處于相對強勢地位.并假定買方、賣方可以接受的出價差額分別是0.5元和0.3元.也就是說只要買方、賣方的某輪次出價與上一輪出價的差額分別在0.5元和0.3元以內，就忽略不計本方繼續調整出價的結果了.那么，將假設的ps0，pd0和βs，βd數值都代入式（12）迭代計算，表示買、賣雙方根據討價還價的適應性預期模型對于本方出價逐次調整.整個討價還價的雙邊適應性預期調整過程列成表1.可以看到，賣方的逐次出價是遞減的；而買方的逐次出價是遞增的.經過7輪次討價還價，買方、賣方的出價與上一輪出價的差額已經分別低于0.5元和0.3元，達到了雙方各自可以接受差額，因而雙方都可以不再繼續調整出價而中止討價還價.譬如，買方、賣方可以分別根據各自的第7輪次出價pd6=80.68和ps6=81.22取整數81元作為成交價格，于是雙方經過8輪次討價還價成交.那么，81元就是此例討價還價的收斂價格的近似值.

6結論

建立雙邊適應性預期模型并利用這個模型的二元常系數線性差分方程組，揭示“納什討價還價解”的形成路徑，可以增強買、賣雙方的合作博弈存在這個解的理論意義.討價還價以“納什討價還價解”成交，可以作為一般的成交結果當中的一種特定情形.對于多個局中人針對有利益分配具體對象的合作博弈問題，如果每個局中人的效用都是其獲得的利益分配的某個倍數，那么這樣的多方合作博弈問題也類似地存在“納什解”，因而同樣可以探索建立多邊適應性預期模型來揭示“納什解”的形成路徑.并且，對于一般的多邊適應性預期模型，也可以嘗試運用常系數線性差分方程組作為求解的工具.

參考文獻

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