巧用數形結合優化思維過程

馮長智 劉貞靜

在數學教學中有機滲透數形結合的思想方法，可以使抽象的概念直觀化、枯燥的算式形象化，也可以使復雜的問題條理化，讓學生在愉悅的氛圍中理解概念，在理解算理的基礎上掌握算法，從而提高學生的思維能力和數學素養。巧妙地運用數形結合，可以優化思維過程，使得數學教學充滿樂趣。

一、直觀操作，理解數學概念

數學概念是知識教學中的重要組成部分，在概念教學中，僅闡明其實際意義是不夠的，還應從事物的整體、本質和內在聯系出發，對概念進行全面分析、比較，突出其本質屬性，使抽象枯燥的概念形象化、生動化、具體化。借助直觀的圖形，加強實驗操作將概念教學趣味化，從而幫助學生在輕松、愉快的學習氛圍中理解概念的形成過程。

例如，在教學北師大版《數學》五年級下冊《體積與容積》時，為讓學生充分體會到物體所占的空間是有大有小的，筆者找來兩個大小差不多大的土豆和紅薯，問學生到底誰占得空間大及具體測算方法。學生分組討論后，提出猜想并進行實驗驗證：取來兩個裝有同樣多的水的量杯，將土豆和紅薯分別放進去，比較兩個杯中水面上升的幅度后發現，裝有土豆的杯子的水面高度高于裝有紅薯的杯子，說明土豆占得空間大，紅薯占得空間小，從而得出土豆體積大，紅薯體積小。

此處將不規則物體的體積大小轉化成了上升的那部分水的體積，運用了數形結合思想的同時，也有機滲透了轉化的數學思想，為后面探究不規則物體的體積奠定了基礎。

在揭示“容積”的概念時，為讓學生充分理解“所能容納”的深層含義。筆者出示一個裝了大半瓶水的瓶子，問學生“瓶子中水的體積是瓶子的容積嗎？”學生有的點頭，有的搖頭，似乎不敢確定。筆者再次追問“那么瓶子的容積到底是多少呢？”這時，有學生提出，把瓶子里的水加滿就是。于是，筆者手拿裝著水的量杯往瓶子里加水，邊加邊說：“當水的體積等于瓶子的容積時，你們就叫停?！边@樣一個扣人心弦的實驗演示讓學生真實直觀地體會到“所能容納”就是滿滿地容納，不留一點兒空隙。教師通過直觀演示讓學生在真實的情境中觀察比較，滲透數形結合的思想方法，使概念的理解由模糊變得清晰。

充分利用直觀圖形、實踐探究和演示操作，讓學生在觀察、猜想、比較、分析、推理、驗證中內化枯燥抽象的數學概念，從而使概念教學趣味化、生動化、形象化。

二、想象驗證，拓展空間觀念

空間觀念是學生必須具備的數學核心素養之一。教學中應盡可能為學生提供形象直觀的物體，展示幾何圖形的形狀、大小、位置關系及其變換，通過數形結合，使抽象的圖形直觀化，豐富學生對現實空間及圖形的認識，從而發展學生的空間想象能力。

例如，在執教人教版《數學》六年級下冊《圓柱的表面積》的鞏固訓練環節，筆者出示習題：把一根長12米，直徑為6米的圓柱體木料切成2段，表面積增加了多少？一開始，學生無從下手，不知道應該怎樣計算？筆者引導學生運用數形結合的方法分三步解題。首先動手操作，根據數據畫出一個圓柱體，再將其切成2段，可以橫切，也可以縱切，分別畫出橫切和縱切的草圖，看看不同的切法表面積都多了哪幾個面，多的這幾個面的面積合起來就是表面積增加的部分。其次實物操作演示，可以切蘿卜、火腿腸或黃瓜，課堂真實演示，讓學生驗證自己所切的面是否與筆者操作的一樣。最后師生共同抽象概括，使物體的整體模型印刻在腦海中。通過數形結合，豐富學生對現實空間及圖形的認識，從而拓展了學生的空間觀念。

三、畫圖分析，理清數量關系

數形結合的思維方法是理論與實際的有機聯系，是思維的起點，是兒童建構數學模型的基本方法。學生初步認識分數時，通過數形結合的對應思想，幫助學生構建了整體“1”與部分量之間的關系。在分數應用題中為了更好地分析數量關系，理清題意，引導學生通過畫圖來分析題中復雜的數量關系。其中線段圖的使用顯得更為清晰方便，使學生能夠一目了然地獲取相關的信息和問題，直觀形象地了解到各信息與問題之間的數量關系。

例如筆者在教學這樣的分數應用題時：氣象小組有12人，攝影小組的人數是氣象小組的[13]，航模小組的人數是攝影小組的[34]。航模小組有多少人？先引導學生畫一畫，嘗試運用畫圖的方式來表示這三者之間的關系，有的畫的圓圈圖，有的畫的三角圖，還有的畫的點子圖，無論學生畫的哪種形式的圖，只要能正確的表示出這三者之間的關系就已經成功了一半。再引導學生嘗試用線段圖來表示三者之間的數量關系，引導學生注意畫圖的規范化和科學性，其實這些圖所表達的道理都是相通的，學生在畫圖的過程中明晰了三者之間的關系，正確地分析了數量關系，解題思路也就明晰了。

四、計算建模，明晰算法算理

計算教學時，教師應指導學生理解算理，在理解算理的基礎上掌握計算方法，才能找到最優路徑，順利完成教學任務。數形結合就是幫助學生正確理解算理的一種很好的方式。

筆者在執教人教版《數學》二年級下冊《有余數除法》時，創設了這樣的情境：16根小棒，能搭出幾個三角形？讓學生用自己喜歡的方式搭一搭，有的學生這樣表示△△△△△/，正合我意。接著，筆者要求學生用除法算式表示搭三角形的過程。再結合圖形說出這題除法算式的商是多少以及多出來的一根小棒表示什么。通過搭建三角形，學生的大腦中的圖像就基本上形成了，筆者及時引導抽象出有余數的除法的橫式、豎式，學生有了表象能力的支撐，直觀、明了地理解了原本抽象的算理，初步建立了有余數除法的豎式計算模型。

（作者單位：馮長智，宜昌市猇亭區教研室；劉貞靜，宜昌市猇亭區長堰堤小學）