由數轉形，巧解函數難題

柯張軍

一、利用函數圖像，巧解抽象函數不等式

抽象函數不等式是指沒有具體函數解析式的不等式，這類不等式一般利用函數性質求解，畫出符合函數性質的草圖，觀察圖形可以直觀易解。

如在求解這道題：設[f（x）、g（x）]分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當[x<0]時，[f（x）g（x）+][f（x）g（x）>0][且g（-3）=0]，求不等式[f（x）g（x）<0]的解集時，可以先設[F（x）]=[f（x）g（x）]，因為當[x<0]時，[f（x）g（x）]+[f（x）g（x）]=[[f（x）g（x）]]=[F（x）>0]，所以[F（x）][在（-∞，0）]上是增函數，因為[f（x）、g（x）]分別是定義在R上的奇函數和偶函數，所以[F（x）]為奇函數， 又[g（-3）=0]，所以[F（-3）=f（-3）g（-3）=0]，[f（x）]是奇函數，所以[f（0）=0]，故[F（0）=0]。根據以上特點，不妨構造如圖1所示的符合題意的函數[F（x）]的圖象，由圖直接觀察出所求解集是[（-∞，-3）？（0，3）]。

解題過程中依題意確定函數性質，構造函數[F（x）]，依據性質畫出[F（x）]草圖，觀察圖像求解，實現抽象問題具體化，復雜問題簡單化。

二、利用函數圖像，比較數的大小

比較大小是高考試題中一個重要題型，利用函數圖形交點位置來確定大小關系，可以避免求值過程中的復雜計算，如果根據題意構造幾個函數，畫出圖像確定交點位置，就可以很快得解。

如在判斷[0.32，log20.3，20.3]三個數的大小順序時，可將其看成是三個函數[y1=x2，y2=log2x，y3=2x]在[x=0.3]時，所對應的函數值的大小比較。在同一坐標系內作出這三個函數的圖像（如圖2），從圖像可以直觀地看出當[x=0.3]時，所對應的三個點[P1]，[P2]，[P3]的位置，從而可得出結論：[20.3>0.32>log20.3]。

解題過程中三個數的值不易計算，觀察數式構造函數，使三個數分別為自變量取同一個值的三個不同的函數值，自然想到三個基本初等函數[y1=x2，y2=log2x，y3=2x]，在同一坐標系中畫出三個函數圖像作圖即可得解。

三、構建解析幾何模型，解決函數最值問題

將函數問題轉化成解析幾何中的斜率、截距、距離等問題，利用其幾何意義求解。與解析幾何有關的常見函數模型有：①距離型函數[（x-a）2+（y-b）2]；②斜率型函數[y-ax-b]；③截距型函數Ax+By；④單位圓型函數[y=1-（x-a）2+b]；⑤雙曲線型函數y=[ax+bcx+d]。

如在求函數[y=x2-2x+5+][x2+6x+25]的最小值時，可以先將函數[y=x2-2x+5+x2+6x+25]變形得：[y=（x-1）2+（0-2）2+（x+3）2+（0-4）2]，由此很容易聯想到兩點間距離公式，從而使問題轉化為求[x]軸上動點[P（x，0）]到兩定點[A（1，2），B（-3，4）]的距離之和，結合圖3可知：[P，A'，B三點共線即]P點的坐標為[（-13，0）]時，[y]最小，[此時y=213]。

四、利用函數圖像，求參數的取值范圍

方程根的問題，函數零點問題，圖像交點問題，這些問題借助函數圖像，往往可以避免繁瑣計算，獲得簡捷的解答。

如在求解這道題：已知方程[1+4-x2] [=kx-2+4]有兩個相異實數根，求實數[k]的取值范圍時，可以構造函數[y=1+4-x2]與[y=kx-2+4]，方程[1+4-x2] [=kx-2+4]有兩個相異實數根等價于函數[y=1+4-x2]與[y=kx-2+4]圖像有兩個交點，函數[y=1+4-x2]即[x2+y-12=4y≥1] ，它表示以（0，1）為圓心，2為半徑的上半圓；函數[y=kx-2+4]表示過（2，4）且斜率為[k]的直線。原題的含義是：當直線與半圓有兩個相異交點時，該直線的斜率應在什么范圍？如圖4，直線MB、MC與半圓切于B、C，半圓的兩端依次為A（-2，1），B（2，1）。顯然，線段AB內任意一點與M的連線與半圓都只有一個公共點，所以[kmax=kMA=4-12+2=34]，設直線MC交直線[y=1]于N，令[∠DMC=∠DMB=α]，[∠DNM=β]，顯然將方程根的個數問題轉化為直線與圓交點個數問題，利用幾何方法求解直觀簡單。

（作者單位：黃梅縣第一中學）