數學概念變式教學設計研究

許延穎+齊琳

摘 要： 中國的教育在不斷地改革，數學變式教學就對提高教學效率起到積極的作用.本著一切為學生的原則，使學生在教學活動中體會解決問題的快樂，對教師的變式在領悟的層面進行“再創造”.

關鍵詞： 變式 概念變式 數學素質

一、數學變式教學的背景

在數學學科迅速發展的今天，數學對各個領域都有著不可忽視的作用，從某方面講，有著不可替代的地位.而數學有意義的學、有意義的教是學生和教師共同的目標.從20世紀80年代以來，在有關中國學生數學學習成就和數學教學的國際研究中，出現大家思考、爭論、相互矛盾的局面.為了更好克服“不足與局限性”和實現“重要轉變”，大量研究者對數學教育進行新的思考與審視，認為中國數學變式教學才是這種局面產生的不可缺少的原因之一.

在國內，教師進行變式訓練，使學生明白抓住本質因素，克服干擾因素從而形成正確的概念.教師在整堂課的講授中，語言通俗、清楚、生動、富有感情、言簡意賅、表述嚴謹.另外，教師不斷提問和啟發，學生思維被激發調動，始終處于積極的活動狀態.在訓練方面，以解題思想方法為首要訓練目標，一題多解、一法多用、變式訓練是經常使用的訓練形式，從而形成了教學的“變式”理論.

二、數學變式教學的意義

近幾年，新課改對于數學教學提出新的要求，教師組織課堂，學生進行講解，改變傳統的教學模式，發展學生數學思維能力，培養數學大師，這就要求學生發散思維，善于創造，發現問題，解決問題.同時，數學變式教學對于掌握知識，促進思維發展，培養能力等方面具有重要作用.

首先，變式教學從多角度學習數學相關方面的知識，人們常說學好數學，先要學好數學的工具，深刻理解它的含義.在變式教學中，多角度變換，多角度切入，多角度提問，學生自然被教師帶到多角度的世界，引發學生全方位思考，新舊知識的聯系，融入知識網，有利于發現事物聯系，進而加強記憶，活學知識，做到理論與實際相結合，易于較好地掌握基礎知識.其次，數學變式教學提倡一題多解、多題一解等從特殊到一般的思想方法，使學生達到舉一反三的效果，避免死記硬背帶來的不良后果，實現知其然，更知其所以然的教學目標.然后，數學變式教學從多角度、全方位、多層次地觀察題目，分析題意，進一步培養學生學會變式的能力，有助于知識的掌握，培養數學能力，提高數學素質.

變式教學減少畫圖抄題時間，提高課堂教學效率；變式教學由易到難、循序漸進、增強信心；變式教學變化的東西，學生有新鮮感，增強學生學習動力；變式教學中變式充當化歸的臺階變式；變式教學用于構建認知經驗系統……

三、概念變式教學設計研究

變式是指通過變更對象的非本質特征，以突出對象的本質特征而形成的表現形式.也可以說成，變式就是從多方面變更所提供材料或問題呈現的形式，使事物非本質特征時隱時現，而事物的本質特征卻保持不變的變化方式.變式教學就是采用變式的方式進行.概念教學和其他教學一樣，為了學生更好地掌握基礎知識、基本技能.現在將概念教學和體驗式教學有機結合在一起，成為通向科學探究發展的廣寬大道.它以擴充、完善、不斷前進的概念，構建準確的認知為己任，在了解孩子的基礎上設計教學，幫助學生建構概念，使他們的學習、生活、社交乃至以后的人生產生有意義的影響擁有美好記憶.

（一）概念變式教學的含義

通過各種概念，以及概念變式與非概念變式之間的差異與聯系來把握概念的內涵和外延，這樣可以實現對概念多角度的理解.概念變式主要分為以下幾種類型，概念的引入變式、辨析變式、深化變式和鞏固變式.在實際教學中，教師依據教學內容選擇恰當的概念變式進行教學.

（二）概念的引入變式

為了讓學生掌握概念，在教學中教師往往對概念變式進行教學.

案例：在學習一元函數的基礎之上學習正比例函數.

教師：上節課我們學習了一次函數的定義，那么請同學回憶它的定義？

學生：在某一個變化過程中，設有兩個變量x和y，如果可以寫成y=kx+b（k為一次項系數，k≠0，b為常數），那么我們就說y是x的一次函數，其中x是自變量，y是因變量.

教師：同學們，你們在課下可有思考過b為常數，如果當b為零時，會是什么情況，請同學們帶著疑問，觀察PPT中的案例.

學生觀察PPT，總結、發現問題.

教師：根據案例提示，說明這就是我們今天要學習的函數，正比例函數.

教師、學生共同總結正比例函數定義，一般地，兩個變量x，y之間的關系式可以表示成形如y=kx的函數（k為常數，x的次數為1，且k0），那么y就叫做x的正比例函數.

由此可見，正比例函數是一次函數的特殊形式，即一次函數中，b=0，即“y軸的截距”為零，則為正比例函數.

教師：請觀看PPT中的習題，

1.下列題中，一次函數有哪些，正比例函數有哪些，請找出來？

（1）y=98+0.5x （2）z=6x+1 （3）y=-9x-6

2.根據要求回答問題：

形如函數y=5x+b，

變式一：當b為多少時函數為一次函數，

變式二：當b為多少時函數為正比例函數.

形如函數y=kx+b，

變式一：當k，b為多少時函數為一次函數，

變式二：當k，b為多少時函數為正比例函數，

變式三：當k，b為多少時函數為常值函數.

根據一次函數引入正比例函數，學生很快完成習題.

（三）概念的辨析變式

數學教學導致學生厭煩的大多是數學概念，在學生的頭腦里，大多數會選擇死記硬背，不依據概念的實際應用情況，適用范圍的情況去理解記憶，概念的辨析成為教師的一大難題，如果合理地運用概念的辨析變式，此難題將會得到很好的解決.下面由題的變式進一步對什么是一元一次方程、什么是一元二次方程進行辨析和掌握.

僅舉簡單的例子，希望大家多關注，多練習，多體會變式的樂趣，增加學習樂趣，培養學生思辨能力，加強學生獨立思考，充分發揮學生的發散思維，最終培養學生的數學素質.

（四）概念的深化變式

在數學中，同一概念會有不同的表述，對概念的條件和適用范圍都要深刻地了解，不一定非得知道從哪里來，但一定要明白它的生成與發生形成過程，這對概念的運用起到至關重要的作用，經過深化的變式對概念的掌握和靈活運用有著重要的意義.

案例：橢圓.

教師：請拿出昨天讓大家準備的道具。

學生：迅速拿出已準備好的道具。

教師：在白板的中間水平線上，釘兩顆圖釘，線的兩頭固定在圖釘的兩端，拿著繩子旋轉一周，即觀察所畫圖形是什么？和平時我們見過的哪些物品相似，學生思考請作答.

學生：橄欖球，同聲回答橢圓。

教師：回憶作圖過程，看誰能總結橢圓的定義？

學生：在數學中，橢圓是平面上到兩個固定點的距離之和是常數的軌跡.

教師：介紹橢圓的焦點、長軸、短軸、焦距、離心率。

教師：通過我們對橢圓相關的介紹，得到另一個定義即為第二定義，平面內到定點F的距離與到定直線的距離之比為常數（橢圓的離心率）的集合（定點F不在直線定直線上，該常數小于1的正數），其中定點F為橢圓的焦點，定直線稱為橢圓的準線.

通過對概念變式的含義的理解及分類，有利于在教學過程中根據教材選擇恰當的教學方法.依據教學看到變式數學教學培養學生思維、培養學生能力的作用.

四、數學變式教學的優點

變式教學歷來為教育家所重視，因為它有著其他教學所獨有的魅力，在變式教學中學生受益匪淺.

（一）變式教學可以培養學生的發散思維

發散思維和聚合思維是人的兩種思維.聚合思維就是用固有的想法，已形成的定向思想來解決問題.發散思維恰與聚合思維相反，在變式教學中多角度、多層次、全方位地分析問題，解決問題，進而培養學生的發散思維，達到學生解題的流暢性，在生活中學會變通，形成自己的獨特性.

（二）激發學生學習數學的積極性和自覺性

概念變式教學以其中的“不變”應題型中的“萬變”，進而讓學生享受其中變化的樂趣，通過“變式”激發學生的學習動力.變式教學滿足學生的需要，創設各種問題情境，激發學生的認知好奇心.在變式訓練中，幫助學生樹立正確的自我概念，獲得自我效能感，學生對數學的學習有較高的積極性，產生熱愛，會自覺地學習數學，把數學當成生活中的一分子，一種成就感，自然不會放棄數學，也會在數學中取得較高的成績，把所謂的數學負擔變成有成就感的事業.

（三）提高學生的數學素質

學習數學的最高境界就是提高學生的數學素質.數學素質主要包括學習能力、知識遷移能力、創新能力等，而創新能力又主要指意識創新、思維創新和技能創新.數學變式教學是一種神秘的教學方法，經過教師的變式，學生可以耳熟能詳地運用公式，定理中可以聯想其他的定理，發掘定理、公式的條件和適用情況，進一步根據相似，合理運用到自己的解題當中.變式教學不會導致學生死記硬背，會讓學生掌握本質特征，進而增強學生自主學習能力.由于它的靈活變化，為學生的創新提供了廣闊的空間，對知識的遷移也做到靈活有余，因此說變式教學提高了學生學習的數學素質.

參考文獻：

[1]鮑建生，黃榮金，易凌峰，顧泠沅.變式教學研究[J].數學教學，2003，1.

[2]張奠宇，宋乃慶.數學教育概論.北京：高等教育出版社，2004.

[3]陳向明.體驗式課程教學知識，重慶大學出版社，2012.

[4]程曉亮，劉影.數學教學論.北京：北京大學出版社，2014.

[5]劉長春，張文娣.中學數學變式教學與能力培養[M].山東：山東教育出版社，2001.

[6]張奠宙，李士琦，李俊.數學教育學導論.北京：高等教育出版社，2003.

[7]McMill J H，Schumacher S.2001.Research in Education [M].London：Addison Wesley Longman.