倡導思考，提高數學解題分析能力

周元清

摘 要： 思考對于一個人來說是非常重要的，引導學生進行數學思考是數學學科特點，是數學教學中的核心，解題是展示數學思維的最佳平臺。

關鍵詞： 數學思考 教學過程 方法 反思

大發明家愛迪生說：“不下決心培養思考習慣的人，便失去了生活中最大的樂趣。”他的這句話充分說明了思考在一個人的生活中占著非常重要的地位。一個人在生活中離不開學習，學習必然要學會思考。數學是一門思維的科學，是一個人獲取思維過程的重要學科，在數學教學中就是要幫助學生獲取數學知識、形成數學技能，也就是讓學生學會運用數學的思維方式對日常生活中的現象進行觀察、思考、分析，從而解決實際的問題，培養學生思考的習慣，提升學生的數學素養。所以數學教師應該也必須把數學思維作為教學的核心，通過解題這一過程提高分析能力，最終提高思考的深度。

一、在課堂教學中始終貫穿數學思維

1.注重教學過程，讓學生在探究知識的過程中得到思考

現代教育心理學研究指出，學生的學習過程不僅是一個接受知識的過程，而且是一個發現問題、分析問題、解決問題的過程。這個過程，一方面是暴露學生產生各種疑問、困難、障礙和矛盾的過程，另一方面是展示學生發展聰明才智、形成獨特個性與創新成果的過程。

例如：在教學方程的根與函數的零點這一節零點存在性判斷中，筆者先在黑板上畫一條直線，叫一個學生一只手拿著細繩一端，另一只手拿著細繩一端，在黑板上移動兩點，讓學生觀察，在什么情況下這條細繩和直線會有交點？學生通過觀察會發現當點、位于直線兩側時一定有交點，在同側時不一定有交點。如圖4剪斷細繩呢？引導學生思考細繩可看做什么？學生能夠回答是函數的圖像且不能間斷。那兩個點在直線的兩側又如何從函數的角度體現？學生再通過思考、討論會得出兩函數值的積小于零。最后和學生一起總結出函數的零點存在性定理：如果函數f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且f（a）·f（b）<0，那么函數f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

圖1？搖？搖？搖 ？搖圖2？搖？搖？搖？搖 圖3？搖？搖？搖？搖 圖4？搖？搖？搖？搖

在這里，筆者從學生已有的知識出發，通過提問讓學生在探究中進行數學思考，通過總結結論讓學生體會學習中的收獲與喜悅。在這一過程中，學生進行思考的意識和能力得到了有效培養和深刻訓練。因此，教師在教學過程中要與學生充分地探究知識的形成過程，把知識講清講透。

2.注重概念教學，讓學生在接受知識的過程中得到思維訓練

百度百科中對“數學概念”是這樣定義的：“人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式。”數學是由概念、命題等內容組成的知識體系，是一門以抽象思維為主的學科，而概念又是這種思維的基本單位，是組成數學的細胞，數學概念是數學基礎知識和基本技能的核心。如果脫離了數學概念，便無法進行數學思維，也無法構成數學思想和數學方法。所以數學概念教學是教學的重要組成部分。

例如：在橢圓概念教學中，筆者先問學生你能舉出一些橢圓的圖形嗎？有的學生會舉出橄欖球、雞蛋的例子，反問學生：球是圓嗎？然后通過一些橢圓圖案的展示，讓學生感知橢圓是一個平面圖形。接著再問學生：如何畫橢圓這個圖形？筆者用課件展示，一塊木板上釘著兩個釘子，釘子上固定一根細繩，用鉛筆繃緊細繩在木板上不停地畫出一個橢圓。引導讓學生思考：在這一過程中兩個釘子固定可以看做什么？可以看做是兩個定點。細線的長度是否發生改變？沒有改變。和圓比較沒有改變叫什么？定長。于是和學生一起總結橢圓定義：平面上，到兩個定點距離之和為定值（大于兩定點間距離）的點的軌跡，叫做橢圓，兩個定點稱為橢圓的焦點，兩定點之間的距離稱為橢圓的焦距。

接著再給學生提出：（1）為什么這個常數要大于|F■F■|？（2）若小于或等于|F■F■|？結合圖形利用三角形的三邊關系進行分析：若常數小于|F■F■|則無軌跡，常數等于|F■F■|就是線段F■F■。

這樣通過概念的教學促進了學生思維的發展，加強了學生對數學思想、方法的正確理解，提高了學生表達交流意識和探索精神的培養。

二、加強解題指導，提高學生解題分析能力，促進思維發展

1.加強對解題過程的監控，追根溯源找到解題思路

美籍匈牙利數學家波利亞在解題中提出要加強解題過程的控制，即在解題過程中，對如何入手，如何策劃，如何構思，如何選擇，如何組織，如何猜想，如何修正等做出基本計劃和安排。對學習情景中的各種信息做出準確的知覺和分類，調動頭腦中已有的相關知識，對有效信息做出迅速選擇，以恰當的方式組織信息，選擇解決問題的策略，安排學習步驟，控制自己的思維方向。關注解題的過程性和層次性，有意識地控制自己的解題節奏，對整個解題過程做到“心中有數”，明確地意識到自己所采取的每個解題步驟的意圖。

本題從如何構思而言即解題的源頭就是要把已知給出的函數化為y=Asin（ωx+φ）+k形式，利用三角函數的有關知識解題；從如何選擇、如何組織角度就是運用三角的公式：兩角和與差的正弦公式、二倍角的正余弦公式，三角函數的周期公式及單調性知識進行解題。

2.加強常規常法指導，順其自然地解題

學生在每次限時的考試中，首先從大腦中提取的解題思路與解題方法應該是平常很普遍又很重要的。在考試中雖有些問題的一些解法比較簡單，但對于學生不容易想到，再好的方法也是空的。教師在平常的教學中要多講解常規方法，引導學生分析，講清如何解決這個問題，并且講透為什么這樣解。如果學生通過老師這樣不斷訓練與歸納，那么他們在解題中也就能做到自信面對。

解法3：前面解法同2，把4a+b+6=0，-3a+5b-6=0兩方程相加得：a+6b=0，將方程中的a、b分別用x、y替代得x+6y=0即為所求。

顯然法1、2都是待定系數法為常規常法，學生比較容易想到也易于掌握。而法3化定元為變元，體現數學中設而不求的思想，對于一般的學生不容易理解、理會，只能讓學有余力的學生接受。通過常規常法的學習，既要讓學生體驗到數學并不是非常抽象的學科，又要讓學生感悟到學好數學最關鍵的是要有清晰的思路，就是順著已知的條件來思考，把已知的條件化成數學的等式來求解，而不在于什么奇思妙想。

3.加強解題后反思，提高解題分析能力

解題是數學學習過程的中核心部分，通過解題可以檢驗學生對所學知識掌握的程度，對知識的應用能力、遷移能力，數學思想的領悟都可以得到很好的反饋。很多學生會解題，但缺乏對解題過程的反思，停留在就題解題層面，不能做到解一題而通一類題，導致解題質量不高。這樣教師若能在解題后引導學生反思解題過程，將對他以后的解題帶來很大的幫助。

如：已知定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，且f（1+x）=f（1-x），若f（1）=5，求f（2017）的值。本題的背景是抽象函數，不能由具體的解析式求函數值，可利用函數的相關性質來解。事實上，由f（1+x）=f（1-x），得f（x+2）=f（-x），又f（-x）+f（x）=0，得f（-x）=-f（x），于是f（x+2）=-f（x），從而f（x+4）=f（x），故f（x）是R上周期為4的奇函數，則有f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=5。解完后，馬上讓學生回顧本題運用了什么知識解題？體現了怎樣的數學思想與方法？本題還可以如何設問？對f（x+1）=f（1-x）可變為f（a+x）=f（a-x）？

通過這些問題的思考，引導學生反思解題的過程，拓寬解題的視野，推廣解題的結論。波利亞說：“通過回顧所完成的解答，通過重新檢查考慮和重新檢查這個結果和得出這一結果的路子，學生可以鞏固他們的知識和發展他們的解題能力。”讓學生反思解題的過程，使學生的知識發生同化和順應，對提高學生將現有知識遷移到新的問題中有著非常積極的作用。

總之，學生學習數學的本質特征是思考，在教學中利用問題情境、問題探究、概念教學等途徑，給學生提供思考的平臺，積極引導學生進行數學的思考。通過解題這一環節的指導，讓學生的思維在實踐中得到訓練，不僅提高了學生解題分析能力，而且讓學生的思維得到了進一步升華。

參考文獻：

[1]毛錫榮.數學教學，讓學生學會思考.中學數學教學參考.

[2]朱卓君.在反思中提升學生的數學學習能力.中學數學教學參考.