談中學(xué)數(shù)學(xué)中的中點(diǎn)與中位線定理教學(xué)

董秀山

初中數(shù)學(xué)中有關(guān)中點(diǎn)的知識(shí)點(diǎn)主要有兩個(gè)，一個(gè)是中線，另一個(gè)是三角形中位線定理。其中三角形中位線定理是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要知識(shí)內(nèi)容。

定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

那么在學(xué)生的具體學(xué)習(xí)和應(yīng)用中主要出現(xiàn)的問題是什么呢？通過對幾屆學(xué)生的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，主要是學(xué)生不知道什么時(shí)候使用定理，該怎樣使用定理。在此我給出一個(gè)基于關(guān)鍵詞思路的記憶和應(yīng)用方法。首先記憶方法是找中點(diǎn)，通過中點(diǎn)直接連接到學(xué)生的知識(shí)框架中，對幾個(gè)和中點(diǎn)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)采取分級原則，把中點(diǎn)—中位線的關(guān)系定位為最高級別，學(xué)生見到中點(diǎn)立即反饋回中位線定理的內(nèi)容。下面以初中數(shù)學(xué)的平面問題為例，說明筆者的思路，供讀者參考。

一、中點(diǎn)條件的給出方式

1.直接給出中點(diǎn)條件

例1：在四邊形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是菱形.

分析：可以明顯地看到E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，立刻使用中位線定理，得到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，很容易就可以得到結(jié)論。

證明：∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)

∴EF=1/2AC

同理：FG=BD/2，GH=AC/2，HE=BD/2.

∵AC=BD

∴EF=FG=GH=HE

∴四邊形EFGH是菱形

2.間接給出中點(diǎn)條件

中學(xué)數(shù)學(xué)題目中可以通過對稱性給出中點(diǎn)的條件，當(dāng)然也還存在其他方法如通過全等證明后得到中點(diǎn)、等腰三角形三線合一等。無論怎么給出主意只要得到了中點(diǎn)，就應(yīng)直接對接中位線定理，這樣也就解決了第一個(gè)問題在什么情況下使用中位線定理。

分析：先根據(jù)點(diǎn)A、D關(guān)于點(diǎn)F對稱可知點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，再由CD⊥AB，F(xiàn)G∥CD可知FG是△ACD的中位線，故可得出CG的長，再根據(jù)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)可知GE是△ABC的中位線，故可得出GE的長，由此可得出結(jié)論.

二、記憶鏈接的升華

在做題中我們發(fā)現(xiàn)找到中位線實(shí)際上只是完成了第一步，在解的過程中要熟知三角形中位線定理，理解中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半才是解題關(guān)鍵。因此我們要建立二級鏈接中點(diǎn)—中位線—三角形第三邊（知識(shí)鏈接很多此處仍強(qiáng)化定義中位線—第三邊為最高級別鏈接）。現(xiàn)在我們分析下面的例題。

例3.如圖，四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，延長BA、NM、CD分別交于點(diǎn)E、F，試說明∠BEN=∠NFC.

分析：題目中很快能夠找到M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，但我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)中點(diǎn)無法建立有效關(guān)聯(lián)，給定的AB=CD也顯得孤立，如果沒有強(qiáng)化中點(diǎn)—中位線—三角形第三邊就會(huì)感到很棘手。現(xiàn)在通過強(qiáng)化的思路構(gòu)想，我們看到中點(diǎn)聯(lián)系到考察的點(diǎn)在中位線定理，又要找第三邊，還要利用到AB=CD或根據(jù)結(jié)論證角相等想到平行線，則比較容易想到構(gòu)造BD的中點(diǎn)，并連接中位線。

證明：連接BD取其中點(diǎn)O，連接OM，ON

∵O為BD的中點(diǎn)，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)

∴OM∥=1/2AB，ON∥=1/2CD

∴OM=ON，∠BEN=∠OMN，∠CFN=∠ONM

∴∠OMN=∠ONM

∴∠BEN=∠CFN

三、啟示與思考

數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的學(xué)科，我們在各種事物處理中主要也是通過觀察和了解事物的特點(diǎn)、特性找到突破口，具體解決。希望學(xué)生通過尋求相關(guān)知識(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)理解定理的本質(zhì)，以此為基礎(chǔ)技能理解事物的本質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐堯.中位線定理與中點(diǎn)四邊形[J].學(xué)生之友，2012（09）.

[2]黃忠梁.構(gòu)造三角形中位線巧妙解決有關(guān)中點(diǎn)問題[J].數(shù)理化解題研究，2013（2）.