必考題型如何規范解答？
——以兩道平行四邊形證明題為例

呂兵

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必考題型如何規范解答？
——以兩道平行四邊形證明題為例

呂兵

平行四邊形是中考必考的題型，常常與全等三角形、特殊三角形結合在一起作為基礎題考查，這類基礎考題如何做到“會而不錯”是十分關鍵的.下面選取2015年兩道中考題講解思路，給出規范解答，引導回顧，并講評注意事項.

圖1

例1（2015·常州）如圖1，在?ABCD中，∠BCD=120°，分別延長DC、BC到點E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形.

（1）求證：AE=AF；

（2）求∠EAF的度數.

【思路講解】

（1）由平行四邊形的性質得出∠BAD= ∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC= AD，由等邊三角形的性質得出BE=BC，DF= CD，∠EBC=∠CDF=60°，從而證出∠ABE= ∠FDA，AB=DF，BE=AD，根據SAS證明△ABE≌△FDA，得出對應邊相等即可.

（2）由全等三角形的性質得出∠AEB= ∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度數.

【規范解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD.

∵△BCE和△CDF都是正三角形，

∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°.

∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD.

在△ABE和△FDA中，

∴△ABE≌△FDA（SAS），

∴AE=AF.

（2）∵△ABE≌△FDA，

∴∠AEB=∠FAD.

∵∠ABE=60°+60°=120°，

∴∠AEB+∠BAE=60°，

∴∠FAD+∠BAE=60°，

∴∠EAF=120°-60°=60°.

【反思回顧】這道幾何考題主要考查對平行四邊形的邊角關系（對邊相等、對角相等、鄰角互補等性質）、作圖語句的閱讀理解，并在此基礎上尋找和證明全等三角形（△ABE≌△FDA）.由于上述考點都是基礎題級別，所以解答時不能隨意跳步驟，要嚴謹規范，做到會而不錯.

例2（2015·南通）如圖2，在?ABCD中，點E，F分別在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD.

圖2

（1）求證：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA= DF.

【思路講解】

（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質得到對邊平行且相等，對角相等，再由垂直的定義得到直角相等，利用等式的性質得到角相等，利用ASA即可得證.

（2）由特殊角45°的啟發，添加輔助線“如圖3，過點D作DH⊥AB，垂足為H”，一方面，在Rt△ADH中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半得到AD=2DH，在Rt△DEB中，利用等腰直角三角形的性質得到EB= 2DH，從而得到DA=EB.另一方面，由△AED≌△CFB得到AE=CF，由四邊形ABCD是平行四邊形得到AB=DC，從而證得EB=DF，再等量代換可證.

【規范解答】

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，

∴∠ADB=∠CBD.

∵ED⊥DB，FB⊥BD，

∴∠EDB=∠FBD=90°，

∴∠ADE=∠CBF.

∴△AED≌△CFB（ASA）.

（2）如圖3，過點D作DH⊥AB，垂足為H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴DA=2DH.

圖3

在Rt△DEB中，∠DEB=45°，

∴EB=2DH.∴DA=EB.

∵△AED≌△CFB，∴AE=CF.

∵AB=DC，∴EB=DF.

∴DA=DF.

【反思回顧】一般以平行四邊形為載體的證明問題是解答題中的必考題型，由于中考題追求一定的綜合性，所以往往這類證明題都會有2～3個小問，而除了第1小問是單一知識點的證明外，第2或3問都會出新的“強化條件”（如例題的第（2）問增加了特殊銳角30°、45°），這時受到這些特殊角度的啟發添加輔助線構造特殊直角三角形成為破題的關鍵.如上面的證明步驟中，強調“在Rt△ADH中”是重要的，是一種聚焦圖形的語句，起著引導閱卷老師關注的作用，值得同學們重視.

（作者單位：江蘇省海安縣城南實驗中學）