2015年高考考題研究《例談線性規(guī)劃的解題策略》

摘要：線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個(gè)重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法。簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)、生活中經(jīng)常用到，如資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等。隨著課程改革的不斷深入，線性規(guī)劃問(wèn)題在近幾年高考命題中成了熱點(diǎn)。此類試題經(jīng)常是以二元一次不等式（組）為約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最值為背景，考查考生的數(shù)形結(jié)合能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)綜合解決問(wèn)題的能力，備受命題者的青睞。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；高考；線性規(guī)劃問(wèn)題；解題策略

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2015）11-0064

縱觀2015年全國(guó)各地高考試題，線性規(guī)劃問(wèn)題大致可分為四種類型。下面，筆者以真題剖析，旨在探尋題型規(guī)律，揭示此類型題的解題策略。

類型一：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值

例1. 【2015高考北京，理2】若，滿足x-y≤0，x+y≤1，x≥0，則z=x+y的最大值為（ ）

A. 0 B. 1 C. D. 2

【解析】如圖，先畫(huà)出可行域，由于z=x+2y，則y=x+z，令z=0，作直線y=-x，在可行域中作平行線，得最優(yōu)解（0，1），此時(shí)直線的截距最大，z取得最小值2。故選D

點(diǎn)評(píng)：對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題，先作出可行域，再作出目標(biāo)函數(shù)，利用線性目標(biāo)函數(shù)中直線的縱截距的幾何意義，結(jié)合可行域即可找出取最值的點(diǎn)，通過(guò)解方程組即可求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值。此題主要考查線性相關(guān)問(wèn)題和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查學(xué)生的作圖能力與運(yùn)算能力。

點(diǎn)評(píng)：解該類題目時(shí)候，往往還要將目標(biāo)直線的斜率和可行域邊界的斜率比較，否則很容易出錯(cuò)。

規(guī)律總結(jié)：求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫(huà)二移三求.其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義。截距型：形如z=ax+by，求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y= x+ z，（b≠0）通過(guò)求直線的截距 的最值間接求出z的最值.

類型二：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用

例2. 【2015高考陜西，理10】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為（ ）

A. 12萬(wàn)元 B. 16萬(wàn)元 C. 17萬(wàn)元 D. 18萬(wàn)元

【解析】設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x、y噸，則利潤(rùn)z=3x+4y

由題意可列3x-2y≤12x+2y≤8x≥0y≥0，

其表示如圖陰影部分區(qū)域：

當(dāng)直線3x-2y-z=0過(guò)點(diǎn)A（2，3）時(shí)，z取得最大值，所以zmax=3×2+4×3=18，故選D。

點(diǎn)評(píng)：利用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題，要注意合理利用表格，幫助理清繁雜的數(shù)據(jù)；另一方面約束條件要注意實(shí)際問(wèn)題的要求。如果要求整點(diǎn)，則要用平移法驗(yàn)證。

規(guī)律總結(jié)：與線性規(guī)劃有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，通常涉及最優(yōu)化問(wèn)題。其一般步驟是：一設(shè)未知數(shù)，確定線性約束條件及目標(biāo)函數(shù)；二是轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型；三解該線性規(guī)劃問(wèn)題，求出最優(yōu)解；四調(diào)整最優(yōu)解。

類型三：線性規(guī)劃的綜合問(wèn)題及求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值

例3. 【2015高考浙江，理14】若實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是（ ）

【解析】x2+y2≤1表示圓=1及其內(nèi)部，易得直線6-x-3y=0與圓相離，故|6-x-3y|=6-x-3y，當(dāng)2x+y-20時(shí)，|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，如右圖所示，可行域?yàn)樾〉墓蝺?nèi)部，目標(biāo)函數(shù)z=x-2y+4，則可知當(dāng)x=，y=時(shí)，z的最小值=3；2x+y-2≤0時(shí)，|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y，可行域?yàn)榇蟮霉蝺?nèi)部，目標(biāo)函數(shù)z=8-3x-4y，同理可知當(dāng)x=，y= 時(shí)，z的最小值=3。綜上可述，|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為3。

點(diǎn)評(píng)：本題以線性規(guī)劃為背景的應(yīng)用題，主要考查了：1. 線性規(guī)劃的應(yīng)用；2. 分類討論的數(shù)學(xué)思想；3. 直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題。根據(jù)可行域是圓及其內(nèi)部的特點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系的判定，首先可以將目標(biāo)函數(shù)的兩個(gè)絕對(duì)值號(hào)中去掉一個(gè)，再利用分類討論的數(shù)學(xué)思想去掉其中一個(gè)絕對(duì)值號(hào)，利用線性規(guī)劃知識(shí)求解。

點(diǎn)評(píng)：主要考查線性規(guī)劃與基本不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查知識(shí)的整合與運(yùn)用，本題中，對(duì)可行域的處理并不是大問(wèn)題，關(guān)鍵是“求xy最大值”中，xy已經(jīng)不是“線性”問(wèn)題了，如果直接設(shè)xy=k，y=，則轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)y=的曲線與可行域有公共點(diǎn)問(wèn)題，難度較大，且有超出“線性”的嫌疑。而上面解法中，用基本不等式的思想，通過(guò)系數(shù)的配湊，即可得到結(jié)論，當(dāng)然，對(duì)于等號(hào)成立的條件也應(yīng)該給以足夠的重視。屬于較難題。

規(guī)律總結(jié)：與二元一次不等式（組）表示的非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題的求解一般要結(jié)合給定代數(shù)式的幾何意義來(lái)完成。常見(jiàn)代數(shù)式的幾何意義：（1）表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）之間的距離。（2）表示點(diǎn)（x，y）到直線Ax+By+C=0的距離。（3）z= 表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）連線的斜率。要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義。

類型四：含有參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題

例4. 【2015高考山東，理6】已知x，y滿足約束條件x-y≥0x+y≤2，y≥0若z=ax+y的最大值為4，則a=（ ）

A. 3 B. 2 C. -2 D. -3

【解析】不等式組x-y≥0x+y≤2y≥0在直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域如右圖中的陰影部分所示：

若z=ax+y的最大值為4，則最優(yōu)解可能為x=1，y=1或x=2，y=0，經(jīng)檢驗(yàn)，x=2，y=0是最優(yōu)解，此時(shí)a=2；x=1，y=1不是最優(yōu)解。故選B。

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)確定參數(shù)的值，考查學(xué)生對(duì)線性規(guī)劃的方法理解的深度以及應(yīng)用的靈活性，意在考查學(xué)生利用線性規(guī)劃的知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力。非線性的目標(biāo)函數(shù)的問(wèn)題，常需考查目標(biāo)函數(shù)或可行域的幾何意義求解，應(yīng)予以關(guān)注。

規(guī)律總結(jié)：解決此類問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)線性規(guī)劃的深化理解，確定參數(shù)的值。

作者簡(jiǎn)介：翟常海，任教于山東省淄博第五中學(xué)，特級(jí)教師。