充分條件與必要條件的三種判斷方法

建華

摘要：充分條件、必要條件是簡易邏輯中的重要概念，在高考命題中常常出現(xiàn)。其概念抽象且不易理解。因此，如何正確理解和準(zhǔn)確判斷充分或必要條件是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。作為教師，我們應(yīng)該讓學(xué)生掌握好充分條件與必要條件的判斷方法，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的目的。

關(guān)鍵詞：充分條件；必要條件；定義法；集合法；等價(jià)命題法

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）11-0080

充分條件、必要條件是簡易邏輯中的重要概念，在高考命題中常常出現(xiàn)。其概念抽象且不易理解。因此，如何正確理解和準(zhǔn)確判斷充分或必要條件是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。下面，筆者就介紹三種判斷充分條件與必要條件的常見方法。

一、定義法

1. 若p？ q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件；2. 若p？ q，且q p，則稱p是q的充分但不必要條件；3. 若p q，且q？ p，則稱p是q的必要但不充分條件；4. 若p？圳q，則稱p是q的充要條件；5. 若p q，且q p，則稱p是q的既不充分又不必要條件。

初學(xué)者容易分不清誰是充分條件誰是必要條件，下面介紹一個(gè)簡便記憶法：如果把符號“？ ”的左邊當(dāng)做箭頭前，右邊當(dāng)做箭頭后的話，箭頭前的是充分條件，箭頭后的是必要條件，可記為“前充后必”。

例1.“x-1=0”是“（x-1）（x-3）=0”的 條件

解：因?yàn)楫?dāng)（x-1）（x-3）=0時(shí)x=1或x=3，所以并不一定x=1（即x+1=0），故（x-1）（x-3）=0 x-1=0，但是x-1=0？ （x-1）（x-3）=0。此處應(yīng)該填“必要不充分條件”。

另外，由充分條件和必要條件的概念可知 ，“充分條件”與“充分不必要條件 ”不是 一回事 ，“必要條件”和“必要不充分條件”也不是一回事。例如，“x-1=0”是“x2-1=0”的 條件。顯然，此處填“充分不必要條件 ”比填“充分條件”更為準(zhǔn)確 。 再如，若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則r是p的 。 此處應(yīng)該填“必要條件”，如果填“必要不充分條件”就錯(cuò)了。

二、集合法

給定兩個(gè)命題p，q可以考慮A={x|x滿足p}，B={x|x滿足p}，則：1. 若A？哿B，則p是q的充分條件；2. 若A？勐B，則p是q的必要條件；3. 若A？哿B且B？芫A，則p是q的充分但不必要條件；4. 若B？哿A且A？芫B，則p是q的必要但不充分條件；5. 若A=B，則p是q的充要條件；6. 若A？芫B，且B？芫A，則p是q的即不充分又不必要條件。

例2. 命題p：x-5>0，命題q：x-10>0，問p是q的什么條件？

解：令A(yù)={x|x-5>0}，B={x|x-10>0}，因?yàn)锳？哿B且B？芫A，所以p是q的充分但不必要條件。

例3. 命題p：x-5<0，命題q：x-10<0，問p是q的什么條件？

解：令A(yù)={x|x-5<0}，B={x|x-10<0}，因?yàn)锽？哿A且A？芫B，所以p是q的必要但不充分條件。

例4. 命題p：x =x2，命題q：2x+3=x2，問p是q的什么條件？

解：令A(yù)={x|x =x2}，B={x|2x+3=x2}，通過解方程可得A={0，3}，B={-1，3}，因?yàn)锳？芫B，且B？芫A，所以p是q的即不充分又不必要條件。

三、等價(jià)命題法

由于原命題和它的逆否命題是等價(jià)的，所以當(dāng)遇到原命題不容易判斷時(shí)可以轉(zhuǎn)而判斷它的逆否命題來完成。即p？ q等價(jià)于 q？ p，此時(shí)p是q的充分條件， p是 q的必要條件。

例5. 若命題p：x≠1，且x≠3命題q：x+y≠4，問p是q的什么條件？

解：其逆否命題是 q∧ p：若x+y=4則x=1或x=3，經(jīng)過判斷逆否命題是假命題但其逆否命題的逆命題是真命題因?yàn)?p？ q，但 q p，所以 p是 q充分不必要條件，所以p是q的必要但不充分條件。