邏輯齒輪的齒根過渡曲線設計及彎曲應力分析*

劉德平　金建軍　高建設

(鄭州大學機械工程學院，河南 鄭州 450001)

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邏輯齒輪的齒根過渡曲線設計及彎曲應力分析*

劉德平金建軍高建設

(鄭州大學機械工程學院，河南 鄭州 450001)

建立了單圓角邏輯齒條刀具的齒頂圓半徑的公式，得出齒頂圓半徑與連接邏輯點的關系，并推出了兩圓角邏輯齒條刀具的齒頂曲線方程。根據邏輯齒條刀具與邏輯齒輪之間相互嚙合關系，求出邏輯齒輪齒根過渡曲線方程。通過Matlab編程求出邏輯齒輪齒廓上的點，擬合畫出齒輪齒廓。建立了兩種齒條刀具下的邏輯齒輪三維模型，運用Workbench對單齒嚙合的邏輯齒輪進行靜力有限元分析，得到邏輯齒輪的應力大小分布，結果表明單圓角齒條刀具對應齒根過渡曲線的邏輯齒輪彎曲強度較好。

邏輯齒輪；Matlab；齒根過渡曲線；有限元分析

日本學者小守勉首次提出了名為邏輯齒輪(logicGear)的新型齒輪，其節圓內外為凹凸形式,在嚙合時齒廓上分布著大量相對曲率為0的結合點(即為NP點)[1]。這樣構成的齒輪齒廓可以保證兩齒輪在嚙合時嚙合性能較好。齒輪的齒根過渡曲線對齒輪的彎曲強度有重大影響，因此對邏輯齒輪的齒根過渡曲線設計很有必要，而邏輯齒輪齒根過渡曲線是由與其相互嚙合的邏輯齒條刀具齒頂曲線決定，也即是對邏輯齒條刀具的齒頂曲線進行設計。文獻中提出了單圓角的邏輯齒條刀具齒頂曲線，沒有進一步說明齒頂圓弧半徑與連接處邏輯點的關系，因此筆者對此做補充，并據此提出了兩圓角的邏輯齒條刀具。為了比較兩種邏輯齒條刀具所對應過渡曲線下的邏輯齒輪彎曲強度，可運用有限元軟件對同條件下不同過渡曲線邏輯齒輪等效應力大小分布進行分析比較。

1　兩種齒根過渡曲線方程的建立

邏輯齒輪的形成是基于邏輯齒條，與邏輯齒條相互嚙合的共軛齒廓便是邏輯齒輪的齒廓。邏輯齒條刀具齒頂曲線的形狀決定了邏輯齒輪齒根過渡曲線的形狀。圖1是單圓角的邏輯齒條刀具，邏輯齒廓與齒頂圓弧在A(x1,y1)處相切，即光滑連接，且在齒頂最高點處斜率為零。A是邏輯齒廓上與齒頂圓弧相連接的邏輯點，圖1中變量關系如式(1)。

(1)

其中，α1是邏輯齒廓上A點的壓力角，r是齒頂圓弧半徑，sh是齒條刀具節線以上高度。

取模數m=4mm，齒廓參數取初始壓力角α=6°，相對壓力角δ=0.05°，初始基圓半徑G0=10 000mm，取基圓半徑變化規律Gi=G0[1-sin(0.6αi)][3]。根據公式(1)編程求出每一連接邏輯點對應情況下的sh和r值，部分結果如表1所示。

表1　不同連接點下的單圓角邏輯齒條刀具

由表1可得，當模數m確定時，即s一定，同時G0、α0以及δ等邏輯參數確定時，也即邏輯點坐標一定，邏輯齒廓上任一邏輯點都對應一個邏輯齒條刀具的sh和齒頂半徑r。因此，在標準齒頂高系數ha*為1和頂隙系數c*為0.25情況下，也即是sh為1.25m，連接點A是一確定點，齒頂圓弧半徑r也是一確定值。當連接點位于A點以下的齒廓邏輯點時，sh將小于1.25m，而位于A點之上時，sh將大于1.25m。因此當連接點位于A點之上時，若減小齒頂半徑r至合適值,將形成滿足sh為1.25m的兩圓角的齒頂曲線，齒頂圓弧分別與邏輯齒廓和齒頂線段相切(如圖2)，圖2中變量關系如式(2)。

(2)

其中，B為邏輯齒廓與齒頂圓弧的連接點，坐標為(x2,y2)，α2是B點處的壓力角，b為齒頂寬。

根據式(2)編程可以求出邏輯齒廓上滿足sh等于1.25m時所有連接點B的r值和b值，部分結果如表2所示。

由表(2)可得，連接點B相對于A越靠上，則r值越小，b值越大。單圓角的邏輯齒條刀具也可認為是當r取最大值，b取零的特殊雙圓角邏輯齒條刀具。當b值和r值被求出后，在此情況下的雙圓角邏輯齒條刀具齒頂曲線的方程如式(3)。

表2　不同連接點下的兩圓角邏輯齒條刀具

(3)

再根據邏輯齒條與邏輯齒輪嚙合過程[4]，求出邏輯齒輪齒根過渡曲線的方程，如式(4)。

(4)

其中，r2為邏輯齒輪節圓半徑，l=x+y·cotβ，β∈(α2,π/2)。

2　邏輯齒輪的建模

對上節中齒廓參數，可求出齒頂圓弧半徑r范圍為0～1.096，可取1.096，不可取0，對應齒頂寬b為0.447～0。當r=1.096時，即為單圓角的邏輯齒條刀具，在此以其對應的邏輯齒輪為例建模。取邏輯齒輪齒數z=30，則分度圓半徑r2= 60mm,這樣由此種邏輯齒條刀具加工出來的邏輯齒輪建模過程如下。首先用Matlab編程求出邏輯齒輪一側齒廓所有的NP點以及過渡曲線上點的橫坐標和縱坐標，然后在Excel中編輯成坐標點形式，最后在AutoCAD中用spline命令擬合所有上述坐標點進而畫出邏輯齒輪完整一側齒廓曲線。

邏輯齒輪齒頂圓半徑ra=64mm,齒根圓半徑rf=55mm。齒輪毛坯的半徑也應選為64mm,這樣半徑為ra的圓與邏輯齒輪一側齒廓相交點即為邏輯齒輪齒廓的頂點。接著鏡像出單個輪齒上另一側齒廓線，再圓周均布出所有輪齒齒廓，完善其他部分，最終得到完整的邏輯齒輪二維圖，如圖3所示。

最后，對邏輯齒輪二維圖進行拉伸，得到其三維模型。

3　邏輯齒輪彎曲應力分析

為比較兩種過渡曲線下的邏輯齒輪彎曲強度，從上節齒頂圓弧半徑r中分別選取1.096、0.572和0.001，單位為mm，再建立另外兩個三維模型。選取兩個相同齒根過渡曲線的邏輯齒輪進行嚙合分析，求出3種情況下邏輯齒輪的應力分布。實例中齒輪在節點位置嚙合接觸時，齒輪只有一對輪齒參與嚙合，因此綜合考慮計算速度和精度，忽略不參與嚙合的輪齒，僅取在節點處接觸的單齒嚙合分析，如圖4所示。3組嚙合模型材料應選取相同，因此齒輪材料選取有限元軟件中常用的結構鋼。

3.1網格劃分

在Workbench中對所分析模型進行自動網格劃分。因為齒輪嚙合的關鍵部位位于輪齒處，其他部分影響不大，因此在既不影響精度，又節省計算的情況下，僅對輪齒表面進行網格細化[5]。

3.2邊界約束及載荷施加

對主動輪內孔表面施加圓柱形約束，僅保留其圓周方向自由度，對從動輪內孔表面施加固定約束[6]。對于接觸關系，主動輪齒面設為目標面，源面選為從動齒面。根據所模擬的實際工況，對主動輪內孔表面再施加一個100N·m的轉矩。

3.3結果分析

求出三對模型在上述設置下的輪齒的等效應力分布，從圖5a得出，r=1.096mm時的單圓角邏輯齒條對應的邏輯齒輪的最大應力為48.989MPa；而對于兩圓角邏輯齒條刀具，從圖5b得出，r=0.572mm的對應邏輯齒輪的最大應力為54.949MPa；從圖5c得出，r=0.001mm的邏輯齒輪最大應力為62.296MPa。對比得出，在同條件下，單圓角邏輯齒條刀具對應的邏輯齒輪的最大彎曲應力最小，且兩圓角齒條刀具齒頂圓半徑越小，其對應邏輯齒輪最大彎曲應力越大。

4　結語

(1)當邏輯齒條齒廓參數和模數確定后，在標準齒頂高系數和頂隙系數下，單圓角的邏輯齒條刀具齒廓必在某一特定邏輯點處與齒頂圓弧相切連接。此時，齒頂圓弧半徑是一定值，也是滿足要求的齒頂圓弧半徑的最大值。而對于兩圓角的邏輯齒條刀具齒廓與齒頂圓弧連接處必在單圓角連接處之上，且越靠近齒頂，圓弧半徑越小。

(2)比較同條件的單圓角和兩圓角邏輯齒條刀具對應齒根過渡曲線下的邏輯齒輪的等效應力得出，單圓角齒條對應齒根過渡曲線的邏輯齒輪彎曲強度較好。因此，考慮到邏輯齒輪彎曲強度，采用單圓角的邏輯齒條刀具效果更好。

[1]KomoriT,ArigaY,NagataS.Anewgearprofilehavingzerorelativecurvatureatmanycontactpoints(logictoothprofile)[J].JournalofMechanicalDesign,1990(3) :430-436.

[2]趙韓,陳奇,黃康.基于精確建模的微線段齒輪彎曲強度理論分析[J].組合機床與自動化加工技術,2010(7):62-64.

[3]王愛群.logic齒輪嚙合理論及其創成加工技術研究[D]. 濟南:山東大學,2003:4-24.

[4]劉紅雨. 邏輯齒輪的原理及強度研究[D].合肥:合肥工業大學,1994:6,19-20.

[5]馮顯英,王愛群, 李劍鋒.logic齒輪的性能研究[J].機械傳動,2003,27(5):8-10.

[6]謝飛,黃旭,王建華,等.基于UG的logic齒輪參數化建模及彎曲應力分析[J].機械傳動,2011,35(3):30-32.

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Designofthededendumtransitioncurveandtheanalysisofbendingstressofthelogicgear

LIUDeping,JINJianjun,GAOJianshe

(SchoolofMechanicalEngineering,ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450001,CHN)

Theformulaofthetopcircleradiusofthelogicrackcutterofthesinglefilletisestablished,therelationshipbetweenthetopcircleradiusandtheconnectingpointisobtained,andtheequationoftheaddendumcurveofthelogicrackcutterofthetwofilletsisestablished.Accordingtotherelationshipwhichthelogicrackandthelogicgearismeshed,theequationofthededendumtransitioncurveofthelogicgearisobtained.ThroughtheMatlabprogramming,thepointsofthetoothprofileofthelogicgeararecalculated,andthetoothprofileofthegearisfitted.Three-dimensionalmodelsoflogicgearsundertwokindsoflogicrackcuttersisestablished,thenthestaticfiniteelementanalysisoflogicgearswhichsingletoothismeshedisdonebyusingWorkbench,finally,thestressdistributionoflogicgearsisanalyzed,theresultsshowthatbendingstrengthofthelogicgearunderthededendumtransitioncurveofthelogicrackcutterofsinglefilletisbetter.

logicgear;Matlab;dedendumtransitioncurve;finiteelementanalysis

THl32.429

A

劉德平，男，1966年生，博士，教授，主要研究方向為CAD/CAM。

(編輯李靜)(2015-09-24)

160214

*國家自然科學基金:新型串并混聯四足步行機器人的動載協調問題理論分析與實驗研究( U1304510)