雙曲螺線的主法線曲面的相關性質研究*1

包　弘，梁　林（云南師范大學數學學院，云南 昆明 650092；楚雄師范學院數學與統計學院，云南 楚雄 675000）

數搖學

雙曲螺線的主法線曲面的相關性質研究*1

包弘，梁林
（云南師范大學數學學院，云南 昆明 650092；楚雄師范學院數學與統計學院，云南 楚雄 675000）

本文以雙曲螺線為背景，生成曲面為研究對象，討論了三維歐氏空間中雙曲螺線的主法線曲面的幾何性質.獲得了雙曲螺線的主法線曲面的漸近曲線、曲率線、法曲率、主曲率、高斯曲率、平均曲率等，并給出了簡單應用。

雙曲螺線；主法線曲面；平均曲率；高斯曲率；主曲率

微分幾何學家常致力于一些特殊曲面的研究，以期擴寬曲面的知識。由于主法線曲面屬于可展曲面的范疇，因此對主法線曲面的研究可豐富可展曲面的相關內容。所謂的主法線曲面是指，一條曲線的主法線所產生的直紋面。袁媛、劉會立在文［1］中分別得到了特殊曲線Mannheim曲線，Bertrand曲線主法線曲面的一些相關性質。由于一般螺線也和Mannheim曲線，Bertrand曲線一樣具有良好的幾何和代數性質，本文受此啟發，討論了雙曲螺線的主法線曲面，給出了雙曲螺線的主法線曲面的相關幾何性質。

1.預備知識

定義1［2］主法線曲面是由曲線r→（t）的主法線生成的直紋面.設β→（t）為曲線r→（t）上任意一點P的主法向量，則曲線r→（t）的主法線曲面Σ為

引理1［2］曲面的第一基本形式：

定義3［2］曲面上的一點P處滿足Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0的方向du：dv稱為曲面在P點處的漸近方向.曲面上的曲線的每一點的切方向都是漸進方向的曲線，稱為漸進曲線，其微分方程為Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0.

引理4［2］曲面的第二基本形式：

則曲率線微分方程為

其中kN為主曲率，主曲率滿足：

其中k1、k2為曲面上一點的兩個主曲率.高斯曲率為：

平均曲率為：

2.主要結論

定理2.4雙曲螺線的主法線曲面的另一族非直線漸近曲線的微分方程為

定理2.6雙曲螺線的主法線曲面上的曲率線微分方程為

證明雙曲螺線的主法線曲面的主曲率滿足（1.5），其中F=N=0，整理得EG-LGkN-M2=0，把（2.2），（2.3）代入得記雙曲螺線的主法線曲面的主曲率為k1，k2，由求根公式即得。

定理2.9雙曲螺線的主法線曲面的高斯曲率為

定理2.10雙曲螺線的主法線曲面的平均曲率為

定理2.12雙曲螺線的主法線曲面的極小曲面不存在.

當且僅當t=0時，sinh t=0，tanh t=0.這與假設矛盾，故雙曲螺線的主法線曲面的極小曲面不存在.

定理2.13雙曲螺線的主法線曲面不可能是平面或球面.

證明若雙曲螺線的主法線曲面是平面或球面，則主曲率相等，即k1=k2，則

這與（2.6）中雙曲螺線的主法線曲面的K＜0矛盾.

［1］袁媛，劉立會.曲面的主法線曲面［J］.東北大學學報，2007，28（1）：145—148.

［2］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.高等教育出版社，2008.

（責任編輯李艷梅）

Research on the Related Properties of Hyperbolic Spiral's Principal Normal Surfaces

BAO Hong&LIANG Lin
（School of Mathematics，Yunnan Normal University，Kunming，650092，Yunnan Province；School of Mathematics and Statistics，Chuxiong Normal University，Chuxiong，675000，Yunnan Province）

The hyperbolic spiral as the background，surface generation as the research object，discusses the geometric properties of hyperbolic spiral's principal normal surfaces in the Euclidean three-space ，hyperbolic spiral's principal normal surfaces of asymptotic curves，curvature method，principal curvature，Gaussian curvature，mean curvature all be obtained in this paper，and gives some simple application.

hyperbolic spiral；principal normal surfaces；mean curvature；Gaussian curvature；principal curvature

O186.16

A

1671-7406（2016）03-0001-05

楚雄師范學院國家自然科學基金孵化項目。

2016-01-05

包弘 （1990—），女，碩士研究生。梁林 （1967—），男，教授，研究方向：微分幾何。