基于靈敏度數的薄板結構加強筋布局優化設計

李　蕾　張　葆　李全超　譚淞年

1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所　中國科學院航空光學成像與測量重點實驗室，長春，1300332.中國科學院大學，北京，100049

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基于靈敏度數的薄板結構加強筋布局優化設計

李蕾1,2張葆1李全超1譚淞年1

1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所中國科學院航空光學成像與測量重點實驗室，長春，1300332.中國科學院大學，北京，100049

提出了一種啟發式的加強筋生長設計方法，加強筋從給定初始點出發，沿著使結構性能最優的方向生長和分枝，同時刪除對結構性能貢獻小的加強筋，逐步形成最優的加強筋布局。設計過程中，以單元的相對密度為設計變量，以單元靈敏度數作為判斷加強筋單元生長和刪除的準則。使用Python語言編寫了基于ABAQUS的優化設計程序，利用ABAQUS進行有限元求解和前處理。為驗證所提方法的有效性，以最大化結構整體剛度為設計目標，對幾種典型結構進行了加強筋設計，并與現有文獻中的設計結果進行了對比。

加強筋布局；結構優化；靈敏度數；剛度優化

0　引言

薄板加強筋結構在航空、船舶、汽車等領域有著極為廣泛的應用，如光電平臺框架、輕量化薄型反射鏡和反射鏡背板等都是典型的加強筋結構。通過在薄板表面布置加強筋，能夠在保證結構輕量化的同時，顯著提高結構的強度、剛度、振動等力學性能。

對加強筋進行布局優化設計，實現結構輕量化和承載性的雙贏，一直是結構設計領域的難題。變厚度法[1]、均勻化法[2]、漸進結構優化法[3]等連續體拓撲優化方法都被應用到加強筋的布局優化設計中。這些方法通常將加強筋的布局問題轉換為加強筋材料的分布問題，設計結果是加強筋大致的分布區域需要采用后處理手段進行識別。此外，一些學者采用直線或B樣條曲線來描述加強筋，并利用遺傳算法[4]、拓撲導數法[5]、粒子群算法[6]等方法對直線端點或樣條曲線控制點的坐標進行優化設計。上述方法需要對加強筋進行參數化描述，雖然能夠獲得清晰的加強筋布局，但是難以處理具有復雜結構、承受復雜載荷的薄板結構加強筋布局優化問題。

仿生設計方法在該領域也有廣泛應用。Kobayashi[7]提出了一種基于L系統的拓撲優化方法，并以最小化葉脈質量和壓降為優化目標對植物脈序生長進行了模擬。馬劍峰等[8]通過研究蜻蜓膜翅的結構特征，對飛機加強框進行了仿生設計。Stanford等[9]利用一種基于L系統的拓撲優化方法，通過模擬細胞分裂過程，對機翼的加強筋布局進行了優化設計。然而現有的研究通常只對特定承載條件下的具體結構進行仿生設計，只能解決有限的工程問題。Ding等[10]通過研究植物根系形態形成機理，提出了應用于薄殼結構加強筋設計的自適應成長設計法，已被成功應用到以最小柔度[11]和抗振性能[12]等為優化目標的加強筋優化設計中。該方法以加強筋的高度為設計變量，通過改變單元高度來逐步實現加強筋的生長和退化。本文提出了一種新的加強筋布局設計方法，并以結構整體剛度最大化為優化目標對典型的板殼結構進行加強筋布局設計，驗證該方法的有效性。

1　加強筋布局設計的數學模型

以結構整體剛度最大化為設計目標，加強筋板的設計模型如圖1所示。利用有限元技術，將加強筋板離散為板梁組合結構，基板采用四節點殼單元模擬，任意相鄰殼單元的節點之間可創建兩節點梁單元。采用這種基結構模型，能夠避免網格重新劃分。需要指出的是，由于本文僅涉及加強筋在基板平面內的二維布局，故為了便于建模分析，采用相同截面尺寸的矩形截面加強筋進行設計。

圖1　加強筋板的基本設計模型

結構優化設計中，結構整體剛度通常采用結構在外載作用下的應變能來定量描述，對于上述板梁組合結構的剛度優化問題，在給定加強筋體積上限的情況下，其數學表達式如下：

(1)

其中，xi為第i個梁單元的相對密度；n為梁單元總數；E為結構的應變能，它是結構整體剛度的一個逆指標，最大化結構整體剛度等價于最小化應變能；f為載荷向量；u為位移向量；Vi為第i個梁單元的體積；V*為事先指定的體積上限。設計過程中，單元相對密度xi為離散設計變量，只允許兩種取值，分別代表單元的兩種狀態：xmin為一個十分小的值(一般為0.001)，表示未成長的空單元，1表示已成長的實體單元。空單元不被完全刪除，可為單元生長提供必要信息。

2　加強筋布局設計方法

給定基板結構的條件下，加強筋布局的形成是一個逐步生長的過程。如圖2所示，加強筋從若干給定的初始點出發，朝著使結構性能最佳，即應變能最小的方向生長和分枝，逐步添加對結構整體剛度貢獻度最大的加強筋單元，同時刪除貢獻度最小的加強筋單元。每一步迭代中，所有已生長單元的節點都可以生長出新的加強筋單元，與之相連的所有空單元都是下一步迭代中的潛在生長單元。

圖2　加強筋生長示意圖

2.1單元靈敏度數

為了衡量加強筋單元對結構整體剛度的貢獻程度，引入單元靈敏度數的概念。單元靈敏度數能夠表征單元對于減小應變能、增大結構剛度的貢獻程度，可作為加強筋單元生長和刪除的判據。

首先采用伴隨方法，計算結構應變能相對于第i個單元相對密度的偏導數：

(2)

其中，K為整體剛度矩陣。僅考慮與xi對應的單元位移向量和剛度矩陣，將單元靈敏度數定義為

(3)

(4)

(5)

單元靈敏度數表示單元的生長和刪除對目標函數的影響程度。實體單元靈敏度數表示刪除某個單元可能導致的應變能增大值，靈敏度數越小，對減小目標函數的貢獻越小。空單元靈敏度數可理解為添加某個單元可能導致的應變能減小值，靈敏度數越小，對減小目標函數的貢獻越大。可以看出，無論是空單元還是實體單元，式(5)中靈敏度數的絕對值越大，單元的貢獻度越高，因此，可將單元靈敏度數統一表示為

(6)

對于對稱結構，位于對稱位置的單元可能有相同的靈敏度數，為了避免一次添加過多加強筋材料，需考慮這些單元的總體積，對其靈敏度數取平均值：

(7)

2.2加強筋生長/刪除準則和收斂條件

(1)單元生長：當加強筋體積V

(2)單元刪除：當加強筋體積V≥V*或滿足以下條件：

(8)

當同時滿足體積約束V*和下列收斂條件：

(9)

時，認為達到設計要求，停止迭代。其中，k為當前迭代步，τ為收斂精度，N是一個指定的整數。通常將N取為5，表示目標函數在最后10次迭代中的變化在可接受的范圍內。

設計流程如圖3所示。

圖3　設計流程圖

3　數值算例

本文設計算法利用Python語言編譯實現，并嵌入ABAQUS/CAE，調用ABAQUS進行有限元前處理和求解。為了驗證所提方法的有效性，本節對幾個典型算例進行了加強筋布局設計。本文所有算例均采用相同材料，彈性模量為70 GPa，泊松比為0.29，密度為2.85×103kg/m3。計算現有文獻中所獲得結果的應變能時，保持加強筋體積與本文算例相同。并且，由于本文研究的是加強筋在薄板平面內的布局問題，故假設加強筋的高度也相同。

3.1四點簡支方板

圖4所示的受集中載荷200 N的四點簡支方板(僅約束平動自由度)，模型幾何參數如下：方板邊長為200 mm、厚為2 mm，加強筋截面高為4 mm、寬為3 mm。設計參數設置如下：V*=0.2V0(V0為基板體積)，r=0.5%，τ=0.001。由于結構的對稱性，初始點的位置也應對稱選取。除了初始點位于方板中心的情況，至少應選取4個初始點。設置了3組不同的初始點位置，加強筋的設計結果分別如圖5～圖7所示，文獻[4]中采用遺傳算法以及文獻[10]中采用自適應成長法均獲得圖8所示的結果，其加強筋截面高為4 mm，寬為7.1 mm，保證其加強筋體積同樣為0.2V0。圖5～圖7中黑點表示初始點，粗實線表示結構邊界，細實線表示加強筋，結構邊界上不布置加強筋，E0為未加筋基結構的應變能，I表示總迭代次數。

圖4　四角簡支方板的加載示意圖

圖5　四點簡支方板的加強筋布局設計結果一

圖6　四點簡支方板的加強筋布局設計結果二

圖7　四點簡支方板的加強筋布局設計結果三

圖8　四點簡支方板的加強筋布局設計結果[10]

圖5中的初始點位于四邊中點，經歷30次迭代收斂，最終結構應變能為0.45E0，是三種方案中優化效果最差的。圖6中的初始點位于板的中心，圖7中的初始點位于板的中心和四個支撐點，這兩種方案的加強筋布局基本一致，僅在靠近支撐點的位置略有不同，分別經歷32次和33次迭代收斂，最終結構應變能分別為0.32E0和0.31E0，圖7的結果略優于圖6的結果。圖8中加強筋分布在板的對角線上，結構的應變能為0.36E0。文獻[10]采用自適應成長法經歷203次迭代才獲得收斂的結果，這是因為它以加強筋單元的高度為設計變量，這是一個連續變量，每次迭代中通過一個啟發式的公式來確定加強筋高度的生長量，需要確定的參數較多，且各參數的取值直接影響設計結果，其實質是一個尺寸優化過程，而本文采用的是離散變量，一次迭代中直接添加或刪除單元。從以上結果可以看出，初始點應選擇在支撐處和載荷作用處，而且采用本文方法獲得的加強筋布局略優于文獻[4，10]的結果。

3.2單邊固支方板

圖9所示的單邊固支方板，自由邊中點受法向集中載荷100 N，模型幾何參數如下：方板邊長為200 mm、厚為3 mm，加強筋截面高為5 mm、寬為3 mm。設計參數設置如下：V*=0.1V0，τ=0.001。為探討不同的刪除率r對設計結果的影響，分別將刪除率設置為1%、0.5%、0.1%和0.01%，在載荷作用點和固支邊布置了5個初始點。不同刪除率獲得的結果如圖10～圖13所示，圖14所示為文獻[4]獲得結果，加強筋高為5 mm，寬為5.37 mm，圖15所示為采用OptiStruct軟件獲得的結果。

圖9　單邊固支方板的加載示意圖

圖10　單邊固支方板加強筋布局設計結果(r=1%，E=0.38E0)

圖11　單邊固支方板加強筋布局設計結果(r=0.1%，E=0.29E0)

圖12　單邊固支方板加強筋布局設計結果(r=0.5%，E=0.29E0)

圖13　單邊固支方板加強筋布局設計結果(r=0.01%，E=0.3E0)

圖14　單邊固支方板加強筋布局設計結果(E=0.41E0)

圖15　單邊固支方板加強筋布局設計結果(OptiStruct)

退化率為1%時，無法獲得一個收斂的結果，迭代過程出現了“震蕩”的現象，如圖10所示，與軸線垂直的加強筋兩端以及軸線兩側的兩條加強筋末端的單元在迭代過程中不斷地被重復添加和刪除，迭代過程陷入死循環。退化率設置為0.1%和0.5%時，獲得的結果完全一致，最終結構的應變能為E=0.29E0，優于文獻[4]獲得的結果，加強筋布局與采用OptiStruct軟件獲得的結果基本一致。退化率設置為0.01%時，獲得的加強筋布局與退化率為0.5%和0.1%時的分布區域基本一致，但是各條加強筋的長度以及靠近受力點的位置略有不同，導致這種結果的原因是靠近載荷作用點的短加強筋以及外側兩條加強筋上的單元在迭代過程中沒有被及時地刪除，沒有獲得最優化的結果。

比較不同的刪除率設置所獲得的加強筋結果可知，刪除率不宜過大或過小，如果過大則導致一些單元被錯誤地刪除，并且可能使加強筋沿著錯誤的方向生長，使迭代陷入死循環；如果設置過小則不能及時地刪除單元，在低效的位置浪費過多的材料，不能獲得最佳的布局。刪除率的選擇不需要十分精確，只需在一定的范圍內就能保證獲得比較理想的結果。大量算例結果表明，將刪除率設置在0.1%至0.5%之間能夠獲得最優化的加強筋布局。

3.3帶孔懸臂矩形板

圖16所示的受兩個反向集中力100 N的帶孔懸臂矩形板，模型幾何參數如下：板長為300 mm、寬為200 mm、厚為3 mm，加強筋截面高為5 mm、寬為3 mm，中心孔徑為50 mm。設計參數設置如下：V*=0.1V0，r=0.5%，τ=0.001。基板離散為30×20的四節點殼單元。在載荷作用點和固支邊布置了7個初始點，設計結果如圖17所示，圖18所示為文獻[5]采用拓撲導數法獲得的結果，其加強筋高為5 mm，寬為4.63 mm。圖19所示為采用OptiStruct軟件獲得的結果。

圖16　帶孔懸臂矩形板的加載示意圖

圖17　帶孔懸臂矩形板的加強筋布局設計結果

圖19　帶孔懸臂矩形板的加強筋布局設計結果(Optistruct)

圖17～圖19中的三種加強筋布局基本一致，加強筋從載荷作用點出發，在孔的右側交叉形成“X”形，最終延伸至固支邊的兩個端點。但是，圖17中的加強筋在交叉處分為兩股，形成了兩個重合的“X”形，這樣的布局與圖19采用OptiStruct獲得的加強區域完全一致，結構的應變能也遠低于文獻[5]的結果。

3.4中心支撐圓形薄板

圖20所示的中心支撐圓形薄板，表面受均布載荷0.1 MPa。模型幾何參數如下：基板直徑為200 mm、厚為2 mm，加強筋截面高為5 mm、寬為3 mm，中心孔徑為50 mm。設計參數設置如下：V*=0.15V0，r=0.1%，τ=0.001。由于其受均布載荷，在板的表面均布5個初始點，設計結果如圖21所示。

圖20　中心支撐圓板

圖21　中心支撐圓板加強筋布局設計結果

歷經23次迭代獲得了收斂的結果，最終結構的應變能為0.19E0。可以看到，8條加強筋從約束點出發，呈放射狀向邊緣生長。圖22所示為旱金蓮葉的脈序布局，圖23所示為文獻[13]中利用Optistruct拓撲優化軟件設計的中心支撐反射鏡結構。這兩種結構的支撐與載荷條件都與本算例類似。可以看到，采用本文方法獲得的加強筋布局結果與旱金蓮葉脈脈序和反射鏡背部加強筋位置基本一致。

圖22　旱金蓮葉圖23　中心支撐反射鏡

4　結語

本文提出的加強筋布局設計方法以單元靈敏度數作為加強筋生長和刪除準則，逐步生長出最優加強筋布局。以最大化整體剛度為目標對典型的薄板結構進行了加強筋設計，通過與現有文獻中的結果進行對比，驗證了該方法的有效性。采用本文方法能夠獲得清晰的加強筋布局，顯著地提高了結構的整體剛度。

該方法同樣適用于任意目標函數和約束條件的優化設計問題。此外，基于ABAQUS的優化設計程序具有良好的開放性，可用于解決復雜結構的加強筋布局設計問題。

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(編輯陳勇)

Stiffener Layout Optimization of Thin Plate Structures Based on Sensitivity Number

Li Lei1,2Zhang Bao1Li Quanchao1Tan Songnian1

1.Key Laboratory of Airborne Optical Imaging and Measurement,Changchun Institute of Optics,Fine Mechanics and Physics,Chinese Academy of Sciences,Changchun,130033 2.University of Chinese Academy of Sciences,Beijing,100049

A heuristic design method for stiffener layout of thin plate structures was proposed herein. Starting from some prescribed initial nodes, the stiffeners grew and branched off towards the direction that the structural performance would be optimized. And the stiffeners with the minimum effectiveness on the structural performance were deleted simultaneously. During the design process, the relative density of each element was treated as the design variable. The growth and degeneration of the stiffeners were determined by the elemental sensitivity numbers. The design algorithm was programmed in Python and integrated with ABAQUS software which was used as the FEA preprocessor and solver. To validate the effectiveness of the proposed method, it was applied to design the stiffener layouts of some typical structures with the objective of maximizing the overall stiffness, and the obtained results were compared with the results in existing literatures.

stiffener layout；structure optimization；sensitivity number；stiffness optimization

2015-12-15

國家自然科學基金青年科學基金資助項目(61405192)；中國科學院國防科技創新基金資助項目(CXJJ-15S158)

TH122

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.09.002

李蕾，男，1989年生。中國科學院大學、中國科學院長春光學精密機械與物理研究所中國科學院航空光學成像與測量重點實驗室博士研究生。主要研究方向為結構優化設計。張葆，男，1966年生。中國科學院長春光學精密機械與物理研究所中國科學院航空光學成像與測量重點實驗室研究員、博士研究生導師。李全超，男，1989年生。中國科學院長春光學精密機械與物理研究所中國科學院航空光學成像與測量重點實驗室研究實習員。譚淞年，男，1989年生。中國科學院長春光學精密機械與物理研究所中國科學院航空光學成像與測量重點實驗室研究實習員。