一種無匯交軸線對稱三轉動并聯機構的運動分析

陳子明　黃　坤　張　揚　丁華鋒　黃　真

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室,秦皇島,0660042.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島，0660043.中國地質大學,武漢,430074

?

一種無匯交軸線對稱三轉動并聯機構的運動分析

陳子明1,2黃坤1,2張揚1,2丁華鋒3黃真1,2

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室,秦皇島,0660042.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島，0660043.中國地質大學,武漢,430074

傳統的三自由度轉動并聯機構(又稱球面并聯機構)一般都有一個轉動中心，且這個中心點往往是分支間多個運動副軸線的匯交點，這種嚴格的幾何條件給機構的加工制造帶來很大的難度，制約了這類機構的應用。針對此，提出了一種無匯交軸線的對稱三轉動并聯機構，其三個分支對稱布置，分支內及分支間均無匯交軸線。對機構進行了位置反解，得到了機構四種對稱的裝配構型；從分支運動奇異、平臺約束奇異和驅動奇異三個方面對機構進行了奇異分析；最后給定了一組尺寸參數，采用數值搜索的方法得到了機構的姿態工作空間。通過結果可以看出,該機構可以實現三維轉動，具有較大的姿態工作空間，而且制造裝配相對容易，具有很好的應用前景。

三自由度轉動;并聯機構;匯交軸線;奇異;姿態工作空間

0　引言

三自由度轉動并聯機構是十分重要的一類少自由度并聯機構，在衛星跟蹤隨動裝置、數控回轉臺等需要變換姿態的場合中具有廣泛的應用前景。

傳統的三自由度轉動并聯機構又稱為球面并聯機構。最典型的球面機構是Cox[1]在1981 年提出的3-RRR 并聯機構，很多學者針對這種機構作了進一步的研究[2-5]。

近年來，各種不同的球面并聯機構相繼被提出。例如，Karouia等[6]設計的3-UPU球面并聯機構，李秦川等[7]提出的3-PC(RR)N球面三自由度并聯機構，Di Gregorio[8-10]設計的一類單環手腕機構，Valasek等[11]設計的含冗余約束的球面并聯機構，趙云峰等[12]設計的含中間約束分支的3-UPS/S并聯機構。一些學者對球面并聯機構的型綜合進行了相關研究[13-14]，并用不同的方法對球面并聯機構作了深入的分析[15-21]。

然而，傳統的三轉動并聯機構中往往含有多個空間匯交的運動副軸線，這種嚴格的幾何條件給機構的加工制造帶來很大的困難。一旦這種匯交關系沒有得到滿足，機構的運動性質就會發生改變。

Huang等[22]在1995年曾提出一種無匯交軸線的3-RPS并聯角臺機構，并在之后運用螺旋理論分析了各種角臺式并聯機構[23-24]。陳子明等[25]分析了兩種三自由度并聯角臺機構的轉動空間，并在此基礎上進一步提出了這類無匯交軸線的三轉動并聯機構的型綜合方法[26]。

本文介紹了一種無匯交軸線的三轉動并聯機構，并對其進行了運動學求解、轉動空間計算以及奇異位形分析。

1　自由度分析

3-[RPR]RR三自由度轉動并聯機構如圖1所示，機構由定平臺、動平臺以及三個相同的[RPR]RR分支構成。每個分支由轉動副R1、移動副P2以及轉動副R3、R4、R5依次連接構成。R1、R3相互平行，P2與R1、R3垂直，這三個運動副構成一個三自由度的平面子鏈[RPR]。轉動副R4與R3相互垂直，轉動副R5與R4相互垂直。R1與定平臺傾斜連接，R5與動平臺垂直連接。

圖1　3-[RPR]RR并聯機構

如圖2所示，在分支中建立一個局部坐標系oiuiviwi，坐標系的原點位于轉動副R4的中心點，坐標軸ui沿分支轉動副R4的軸線方向，坐標軸wi與分支第一個轉動副R1的軸線平行，坐標軸vi的方向由右手定則確定。分支的運動螺旋系可以表示為

(1)

其中，d1、e1、d2、e2、d3、e3、b5、c5是與各轉動副的方向和位置相關的量。

圖2　[RPR]RR分支

根據分支運動螺旋系與約束螺旋系的關系可以求出分支的約束螺旋為

(2)

這個約束螺旋表示的是一個經過分支坐標系原點且平行于分支第一個轉動副軸線的約束力。對于整個機構來說，三個分支一共對動平臺施加了三個約束力。

利用修正的G-K公式，可以求得機構的自由度M=6(14-15-1)+15+0=3。

由于每個分支中的第一個轉動副固連于定平臺上，其軸線方向不會隨機構的運動而發生變化,于是，各分支約束力的方向相對于定平臺始終保持不變。對于整個機構，根據分支布置的對稱性可知，動平臺上一共施加有三個約束力,這三個約束力的方向均沿各分支的定平臺轉動副軸線方向。機構動平臺始終受到空間交錯的三個約束力，限制了動平臺的三個移動自由度，動平臺剩下三個轉動自由度。

根據螺旋互逆原理，可以求得3-[RPR]RR機構動平臺在這三個約束力作用下的運動螺旋系為一個一般的三階螺旋系，其中既包含節距為零的純轉動,又包含節距為有限值的一般螺旋運動。這與傳統的球面三自由度轉動并聯機構是不同的，球面三自由度轉動并聯機構能夠實現繞定點的轉動，而3-[RPR]RR機構動平臺在轉動過程中沒有固定的轉動中心。由于3-[RPR]RR機構動平臺能夠實現空間任意三維姿態，因而還是將其稱作為三自由度轉動并聯機構。

2　位置反解及裝配構型

2.1位置反解

機構坐標系的建立如圖 3所示。定坐標系{B}與動坐標系{M}的原點分別設在定平臺、動平臺的中心點。定坐標系的X軸沿OA1方向，Z軸垂直于定平臺。動坐標系的x軸沿PD1方向，z軸垂直于動平臺。定平臺、動平臺的邊長分別為la和lb。圖3中，l34、l45分別為對應轉動副間的連桿長度。

圖3　機構坐標系的建立

在對機構進行反解時，機構動平臺的姿態是已知的，其姿態矩陣可表示為

假設動平臺中心點坐標為

P=[PXPYPZ]T

則動平臺三個頂點在{M}中的坐標為

利用坐標系間的坐標變換公式，可得D1、D2、D3在{B}中的坐標為

(3)

(4)

(5)

定平臺三個頂點在{B}中的坐標為

(6)

機構第i個分支中的5個運動副的螺旋可以分別表示為

(7)

其中,sij和rij分別為分支i中第j個運動副的軸線方向向量和空間位置向量，且

(8)

由于$i5的方向與動坐標系的z軸同向，因此其方向向量為

si5=(ax,ay,az)T

(9)

每個分支的第一個轉動副固定在定平臺上，且與定平臺的夾角為α，如圖4所示。以第一個分支為例，s11可以看作由一條與Y軸平行的直線繞X軸旋轉α角而得到，即

其中，RX(α)表示繞X軸轉動α角的旋轉矩陣。

圖4　定平臺轉動副

由于三個分支的第一個轉動副關于Z軸對稱分布，因此另外兩個分支的$21和$31可以通過對$11進行旋轉變換得到：

s21=RZ(120°)·s11

s31=RZ(-120°)·s11

每個分支中，$i1和$i3相互平行，有

si1=si3

由于$i4始終與$i3、$i5都保持垂直，因此

$i5已知，而$i4與$i5垂直，距離為桿長l45，可推導出$i4的位置向量為

(10)

同理，$i3始終與$i4垂直，距離為桿長l34，可推導出$i3的位置向量為

(11)

如圖3所示，機構運動過程中，連桿l34始終垂直于$i1，所以有

(ri4-ri1)·si1=0

(12)

式中，ri1、si1為對應定平臺轉動副的位置向量和方向向量，為已知量。

聯立式(5)～式(10)，可以得到ri4關于PX、PY、PZ的表達式。當i取1、2、3時，由式(12)可得到三個關于PX、PY、PZ的方程，從而得到P點絕對坐標。將PX、PY、PZ代入(10)、式(11)，即可求出ri4及ri3。

分支中移動副的方向矢量為

si2=ri3-ri1

至此，三個分支中的所有運動副的方向和位置都已經得到。

選取每個分支的移動副作為驅動副，則可以求得驅動桿的長度為

di=|ri3-ri1|

至此，就完成了機構的反解。根據式(10)、式(11)可知，每個分支在反解時都有四組解。

2.2裝配構型

根據機構分支的四組反解，可以得到機構對應的四種對稱的裝配構型，如圖5所示。

(a)裝配構型1 　　　　 　　 (b)裝配構型2

(c)裝配構型3 　　　　 　　 (d)裝配構型4圖5　機構的四種裝配構型

3　奇異分析

本文中對機構的奇異分析采用Fang等[27]的分類方法，并運用螺旋理論和線幾何來判別機構的奇異位形。根據上述分類方法，并聯機構的奇異可以分為三種：分支運動奇異(limb singularity)、平臺約束奇異(platform singularity)和驅動奇異(actuation singularity)。

3.1分支運動奇異

在某些位形下，分支運動螺旋系產生線性相關時，機構輸出構件自由度減少，稱之為分支運動奇異。

觀察式(1)，可以看到分支的運動螺旋系最后一列元素均為0，所以矩陣的秩僅取決于其前五列。取螺旋系前五列得到方陣A：

A=001d1e1000d2e2001d3e3100000b5c511é?êêêêêêù?úúúúúú

對方陣A進行分塊，可以很容易得到A的行列式值為

(1)當b5=0時，分支運動螺旋系可表示如下：

$i1=(001;d1e10)

$i2=(000;d2e20)

$i3=(001;d3e30)

$i4=(100; 000)

$i5=(00c5; 100)

通過觀察，容易得到其約束螺旋系為

對比式(2)可以看出，此時分支約束螺旋系增加了一個約束力偶，所以發生這種奇異時，該分支會額外限制動平臺的一個轉動自由度。

b5=0時，$i5的方向向量變為(0,0,c5)，即與si1、si3平行。如圖6所示，分支中后兩個連桿間夾角γi=0°或者γi=180°時，分支中轉動副R3與R5軸線平行，機構就會產生這種奇異。

(a)γi=0°　　　　　　(b)γi=180°圖6　分支運動奇異

如圖5所示，該機構四種裝配構型中，構型1和構型2以及構型3和構型4的區別均在于轉動副R4兩端連桿的相對位置不同。當R4的轉角為0°或180°時，R3和R5的軸線平行，轉動副R5與平面子鏈中兩個轉動副產生線性相關，即發生圖6所示的分支運動奇異。其中構型1和構型4較容易發生γi=180°的這種奇異，而構型2和構型3則較容易發生γi=0°的這種奇異。

3.2平臺約束奇異

當機構的約束螺旋系發生線性相關時，動平臺受到的約束減少，自由度增加，這種奇異稱之為平臺約束奇異。

對于3-[RPR]RR機構，每個分支對動平臺施加一個約束力。由螺旋理論，只有當共面匯交于一點、共面平行或共軸時，這三個力線矢才會線性相關，如圖7所示。

(a)共面匯交 　 (b) 共面平行　　 (c) 共軸圖7　三個約束力線矢線性相關的條件

而對于本文分析的這個機構，其動平臺受到的三個約束力分別與各分支的第一個轉動副相平行，而每個分支的第一個轉動副固連在定平臺上且與定平臺傾斜布置，所以這三個約束力在空間相互交錯，不會發生圖7所示的線性相關。也就是說，機構不存在這種奇異。

3.3驅動奇異

驅動奇異是指當所有驅動副鎖住后，動平臺仍保留未被約束掉的自由度。

如圖8所示，當鎖住3-[RPR]RR機構三個分支中的移動副后，機構分支可看作是一個4R支鏈。建立與圖2中相同的分支坐標系oiuiviwi，則分支的運動螺旋系可以表示為

圖8　[RR]RR分支約束力

由螺旋互易原理可知，一定存在兩個線性無關且與這四個運動螺旋都相逆的反螺旋。

如圖8所示，能夠找到兩條直線與分支中所有轉動副軸線共面，其中一條與wi軸重合，另一條在平面P1內且過點E和點F。圖8中，P1是$i1、$i3所在平面，E和F分別是$i4、$i5與平面P1的交點。根據螺旋理論，任意兩個共面的線矢量一定互逆，所以，這兩條直線所決定的兩個線矢量一定與運動螺旋系中四個線矢量互逆，構成分支的約束螺旋系,可以表示為

由于每個線矢量表示一個約束力，所以三個分支對動平臺一共施加六個約束力，則動平臺的約束螺旋系可以表示為

如圖9所示，六個約束力分別由六個矢量表示，它們分布在圖9所示這六個不同的平面內。在一般位形下，這六個約束力線性無關，動平臺能夠由所選定的三個驅動完全控制，不發生奇異。

圖9　動平臺所受約束力

4　工作空間分析

對于三自由度轉動并聯機構的工作空間，主要研究的是其轉動能力，為了能夠直觀地描述機構的運動姿態，這里采用Bonev等[28]提出的一種修正的歐拉角，即Tilt-and-Torsion(T&T)歐拉角。相比傳統歐拉角，這種T&T歐拉角對機構三維轉動的描述更加直觀。

如圖10所示，動平臺由初始位形運動到圖10所示位置的轉動過程可以用三個歐拉角來描述：φ指示偏轉軸線位置，θ表示偏轉角大小，ψ表示自轉角大小。

圖10　T&T歐拉角

任意給定一組歐拉角，就可以得到機構此時的姿態矩陣。然后代入前面的反解計算，并按照所給定的約束條件進行判別，即可判斷出所給的一組歐拉角是否在機構的轉動空間內。在此基礎上，按一定的規律搜索出三個歐拉角的變化范圍，并將其范圍在三維空間中表示出來，即得到機構的轉動空間。這里采用圓柱坐標系來描述機構的轉動空間，三個歐拉角(φ,θ,ψ)分別為圓柱坐標系的角度坐標、徑坐標和豎坐標[25]。

圖11　機構轉動空間

圖12　轉動空間的最大內切子空間

由圖11可以看出：①機構的自轉范圍可達(-44°,58°)。②ψ在0°左右時，機構的偏轉能力較大，動平臺朝各個方向的最大偏轉角約為θ=50°。

5　數值算例

這里給出機構工作空間內兩個極限位置的算例，如表1所示，并通過三維模型進行了驗證，如圖13、圖14所示。

表1　數值算例

圖13　最大偏轉狀態(φ=0°，θ=54°，ψ=-8°)

圖14　最大自轉狀態(φ=0°，θ=0°，ψ=58°)

6　結論

(1)提出了一種3-[RPR]RR對稱三自由度轉動并聯機構，該機構不存在空間匯交的運動副軸線，制造工藝相對簡單。

(2)機構的動平臺能夠實現空間任意三維轉動，但其自由度性質不同于傳統的三自由度轉動并聯機構，其轉動過程不存在固定的轉動中心。

(3)機構的每個分支對應有四組反解，可以得到機構四種對稱的裝配構型。

(4)對機構進行了奇異性分析，結果表明,3-[RPR]RR機構不存在平臺約束奇異，但存在分支運動奇異，當分支運動奇異發生時，機構的自由度會減少。

(5)由機構的工作空間分析可以看出，這種并聯機構能夠實現三維轉動并具有較大的轉動空間，在需要進行姿態控制的場合具有很好的應用前景。

[1]CoxDJ.TheDynamicModelingandCommandSignalFormulationforParallelMulti-parameterRoboticDevices[D].Gainesville,Florida:UniversityofFlorida, 1981.

[2]GosselinCM,HameiJ-F.TheAgileEye:aHigh-PerformanceThree-degree-of-freedomCamera-orientingDevice[C]//Proceedingsofthe1994IEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation.SanDiego,CA,USA,1994: 781-786.

[3]杭魯濱, 王彥, 吳俊, 等. 基于拓撲解耦準則的球面并聯機構解耦條件研究[J]. 機械工程學報, 2005, 41(9):28-32.

HangLubin,WangYan,WuJun,etal.DecouplingConditionsofSphericalParallelMechanismBasedontheTopologicalDecouplingRules[J].ChineseJournalofMechanicalEngineering, 2005, 41(9): 28-32.

[4]張立杰, 劉辛軍. 球面三自由度并聯機器人可達工作空間的研究[J]. 中國機械工程, 2001, 12(10): 1122-1127.

ZhangLijie,LiuXinjun.ReachableWorkspaceAnalysisof3-DOFSphericalParallelMechanism[J].ChinaMechanicalEngineering, 2001, 12(10): 1122-1127.

[5]曾憲菁, 黃田, 曾子平. 3-RRR型數控回轉臺的精度分析[J]. 機械工程學報, 2001, 37(11):42-45.

ZengXianqing,HuangTian,ZengZiping.PrecisionAnalysisofthe3-RRRNCRotaryTable[J].ChineseJournalofMechanicalEngineering, 2001, 37(11): 42-45.

[6]KarouiaM,HerveJM.AThree-DOFTripodforGeneratingSphericalRotation[C]//AdvancesinRobotKinematics.Dordrecht:Springer, 2000: 395-402.

[7]李秦川, 陳歡歡, 李昳, 等. 3 -PC(RR)N球面三自由度并聯機構的運動學分析[J]. 中國機械工程, 2009, 20(11):1280-1285.

LiQinchuan,ChenHuanhuan,LiDie,etal.KinematicAnalysisofaPC(RR)N3-DOFSphericalParallelMechanism[J].ChinaMechanicalEngineering, 2009, 20(11):1280-1285.

[8]DiGregorioR.SingularityAnalysisofaSingle-loopUnderactuatedWrist[C]//InternationalDesignEngineeringTechnicalConferencesandComputersandInformationinEngineeringConference.Portland,USA,2013:DETC2013-12044.

[9]DiGregorioR.PositionAnalysis,PathPlanning,andKinetostaticsofSingle-loopRu-(Ns)PuWrists[J].MechanismandMachineTheory, 2014, 74: 117-133.

[10]DiGregorioR.Single-loopWristsWhichGenerateTriangularStructures[J].MechanismandMachineTheory, 2014, 80: 230-245.

[11]ValasekM,ZichaJ,KarasekM,etal.Hexasphere-redundantlyActuatedParallelSphericalMechanismasaNewConceptofAgileTelescope[J].AdvancesinAstronomy, 2010: 348286.

[12]趙云峰, 程麗, 趙永生. 3-UPS/S并聯機構運動學分析及機構優化設計[J]. 機械設計, 2009(1):46-49.

ZhaoYunfeng,ChengLi,ZhaoYongsheng,etal.KinematicAnalysisof3-UPS/SParallelMechanismandItsOptimizationDesign[J].JournalofMechanicalDesign, 2009(1): 46-49.

[13]FangY,TsaiL-W.StructureSynthesisofaClassof3-DOFRotationalParallelManipulators[J].IEEETransactionsonRoboticsandAutomation, 2004, 20(1): 117-121.

[14]KongX,GosselinCM.TypeSynthesisof3-DofSphericalParallelManipulatorsBasedonScrewTheory[J].JournalofMechanicalDesign, 2004, 126(1): 101-108.

[15]EnferadiJ,TootoonchiAA.AccuracyandStiffnessAnalysisofa3-RRPSphericalParallelManipulator[J].Robotica, 2011, 29(2): 193-209.

[16]BonevIA,ChablatD,WengerP.WorkingandAssemblyModesoftheAgileEye[C]//Proceedingsofthe2006IEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation(ICRA2006) .Orlando,IEEE, 2006: 2317-2322.

[17]DiGregorioR.KinematicsofaNewSphericalParallelManipulatorwithThreeEqualLegs:the3-UrcWrist[J].JournalofRoboticSystems, 2001, 18(5): 213-219.

[18]BonevIA,GosselinCM.AnalyticalDeterminationoftheWorkspaceofSymmetricalSphericalParallelMechanisms[J].IEEETransactionsonRobotics, 2006, 22(5): 1011-1017. [19]BaiS,HansenMR,AngelesJ.ARobustForward-DisplacementAnalysisofSphericalParallelRobots[J].MechanismandMachineTheory, 2009, 44(12): 2204-2216.[20]BaiS.OptimumDesignofSphericalParallelManipulatorsforaPrescribedWorkspace[J].MechanismandMachineTheory, 2010, 45(2): 200-211.

[21]ZarkandiS.ANewGeometricMethodforSingularityAnalysisofSphericalMechanisms[J].Robotica, 2011, 29(7): 1083-1092.

[22]HuangZ,FangY.MotionCharacteristicsandRotationalAxisAnalysisofThreeDOFParallelRobotMechanisms[C]//IEEEInternationalConferenceonSystems,ManandCybernetics.Vancouver,British,1995: 67-71.

[23]黃真, 方躍法. 三自由度并聯角臺機構轉軸存在的子空間[J]. 東北重型機械學院學報, 1997, 21(2):95-99.

HuangZhen,FangYuefa.SubspaceofExistingRotationAxisof3-DofCubicParallelMechanism[J].JournalofNortheastHeavyMachineryInstitute, 1997, 21(2): 95-99.

[24]HuangZ,ChenZ,LiuJ,etal.A3-DOFRotationalParallelManipulatorwithoutIntersectingAxes[J].JournalofMechanismsandRobotics, 2011, 3(2): 021014.

[25]陳子明, 陳誼超, 楊鳳霞, 等. 兩種三自由度并聯角臺機構的轉動空間分析[J]. 機械工程學報, 2014, 50(5):48-56.

ChenZiming,ChenYichao,YangFengxia,etal.RotationWorkspaceAnalysisofTwo3-DOFCubicParallelMechanisms[J].ChineseJournalofMechanicalEngineering, 2014, 50(5): 48-56.

[26]ChenZ,CaoW,HuangZ.TypeSynthesisof3-DofRotationalParallelMechanismswithNoIntersectingAxes[C]//ASME2012InternationalDesignEngineeringTechnicalConferencesandComputersandInformationinEngineeringConference.Chicago, 2012:DETC2012-70846.

[27]FangY,TsaiL-W.StructureSynthesisofaClassof4-Dofand5-DofParallelManipulatorswithIdenticalLimbStructures[J].TheInternationalJournalofRoboticsResearch, 2002, 21(9): 799-810.

[28]BonevIA,RyuJ.ANewApproachtoOrientationWorkspaceAnalysisof6-DofParallelManipulators[J].MechanismandMachineTheory, 2001, 36: 15-28.

(編輯蘇衛國)

Kinematics Analysis of a 3-DOF Symmetrical Rotational Parallel Mechanism without Intersecting Axes

Chen Ziming1,2Huang Kun1,2Zhang Yang1,2Ding Huafeng3Huang Zhen1,2

1.Hebei Provincial Key Laboratory of Parallel Robot and Mechatronic System, Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science of Ministry of Education, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei, 066004 3.China University of Geosciences, Wuhan, 430074

The traditional 3-DOF rotational PMs also called as spherical parallel mechanisms(SPMs) usually had a rotation center which was the intersecting point of multiple revolute joint axes. This strict geometric conditions were very hard to fulfill in the manufacture processes and would restrict further applications of this kind of mechanisms. Thus, a PM with three rotational DOF and no intersecting axes was designed herein. It consisted of three identical limbs distributed symmetrically without intersecting axes in or between limbs. The inverse kinematics was solved and four symmetrical assembly modes were obtained. Then the singularity of the mechanism was analyzed and classified into three types: limb singularity, platform singularity and actuation singularity. At last, its orientation workspace was studied. This mechanism can realize three dimensional rotations with large workspace and is easier for manufacturing and assembly, so it has broad application prospects.

3-DOF rotation; parallel mechanism(PM); intersecting axes; singularity; orientation workspace

2015-07-07

國家自然科學基金資助項目(51305381)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20131333120006)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.09.013

陳子明，男，1984年生。燕山大學機械工程學院講師、博士。主要研究方向為少自由度并聯機構的設計和分析。發表論文20余篇。黃坤，男，1992年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。張揚，男，1988年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。丁華鋒，男，1977年生。中國地質大學機械與電子信息學院教授、博士研究生導師。黃真，男，1936 年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。