關于斜投影乘積的若干性質

周玉興，黃敬頻，劉曉冀，涂火年（.廣西師范學院 師園學院，南寧 506；.廣西民族大學 理學院，南寧 50006；.廣西財經學院信息與統計學院，南寧 5000）

關于斜投影乘積的若干性質

周玉興1，黃敬頻2，劉曉冀2，涂火年3
（1.廣西師范學院 師園學院，南寧 530226；2.廣西民族大學 理學院，南寧 530006；3.廣西財經學院信息與統計學院，南寧 530003）

摘要：根據斜投影的定義及其性質，并結合空間直和分解，研究2個斜投影乘積的性質，得到若干等價命題.對于3個或多個斜投影的乘積，也有類似的結論.

關鍵詞：斜投影乘積；直和分解；斜投影算子；投影矩陣

斜投影算子在系統識別、多變元分析、參數估計、系統建模和信號檢測等領域具有廣泛應用［1-3］.斜投影算子最早是在20世紀30年代由Murray和Lorch提出的，后來其他學者對其做了進一步研究，取得了豐碩的成果［4-13］.文獻［7-8］研究了2個斜投影的乘積以及斜投影的分解，得出若干等價命題.文獻［9］研究了加權廣義逆、斜投影和最小二乘的若干問題.文獻［10-11］在Hilbert空間的基礎上，研究了Schur補和斜投影的相關性質.文獻［12］基于C*代數系統研究了斜投影算子的性質.

本研究根據斜投影的定義、性質與空間直和分解，研究2個及3個斜投影乘積的性質，得到若干等價命題.

1　相關定義及引理

投影算子分為正交投影算子和斜投影算子，兩者共同點是都具有冪等性.在一些文獻中，為方便，常將斜投影算子看作矩陣，因此，斜投影算子也稱為投影矩陣.設Pi為沿著空間Wi到空間Vi的投影，其中：.設R（Pi）為Pi的值域，N（Pi）為Pi的零空間，則R（Pi）=Vi，N（Pi）=Wi. Pi是投影矩陣，顯然，Qi=I-Pi為沿著空間Vi到空間Wi的投影矩陣.

引理1設P1、P2為投影矩陣，則有

引理2［4］設P是從Cn到Cn的線性算子，則下列命題等價：

（1）P是Cn的投影算子；

引理3若P1P2=P2P1，則P1P（2或P2P1）為沿著W1+W2到V1∩V2的投影.

證明因為P1P2=P2P1，則有因此，P1P2是投影矩陣.設x∈V1∩V2，則有P（1P2x）=P1x=x.另一方面，設x∈W1+W2，x= x1+x2，其中：x1∈W1，x2∈W2.于是，P1P2x=P1P（2x1+ x2）=P1P2x1+P1P2x2=0.因此，En=（V1∩V2）⊕（W1⊕W2）.故P1P2是沿著W1+W2到V1∩V2的投影.

2　主要結果

定理1下列結論是等價的：

證明 （1）?（2）：將P2=I-Q2代入P1P2=P2P1，得P（1I-Q2）=（I-Q2）P1.因此P1Q2=Q2P1.注意到P2為沿著空間W2到空間V2的投影，而Q2為沿著空間V2到空間W2的投影，在等式中，將P2換成Q2，并交換V2和W2的位置，即得

（2）?（3）：將P1=I-Q1和Q2=I-P2代入P1Q2= Q2P1，得（I-Q1）（I-P2）=（I-P2）（I-Q1）.因此Q1P2= P2Q1.由于Pi為沿著空間Wi到空間Vi的投影，Qi為沿著空間Vi到空間Wi的投影矩陣.在等式中，將P1換成Q1，Q2換成P2，并交換Vi和 W（ii=1，2）的位置，即得

（3）?（4）：將P2=I-Q2代入Q1P2=P2Q1，得Q（1IQ2）=（I-Q2）Q1，即Q1Q2=Q2Q1.由于P2為沿著空間W2到空間V2的投影，在等式中，將P2換成Q2，并交換W2和V2的位置，即得

（4）?（1）：由Q1Q2=Q2Q1，得（I-P1）（I-P2）=（IP2）（I-P1），即P1P2=P2P1.由于Pi為沿著空間Wi到空間Vi的投影，在等式中，將Qi換成Pi，并交換Wi和Vi的位置，即得

推論1在定理1的條件下，有

證明僅證明（1），其余結論證明方法相同.由于投影Pi為沿著零空間Wi到值域空間Vi的投影.故投影P1P2是沿著零空間W1+W2到值域空間V1∩V2的投影.因此R（P1P2）=V1∩V2，N（P1P2）=W1+W2.

推論2下列結論是等價的：

（1）P1+Q2為沿著空間W1∩V2到空間V1⊕W2的投影.

（2）P2-P1為沿著空間V1⊕W2到空間W1∩V2的投影.

此時，V1?V2，W2?W1.

證明 （1）?（2）：因為P1+Q2為沿著W1∩V2到V1⊕W2的投影，所以P1Q2=Q2P1=0.由定理1得，P1Q2=Q2P1?Q1P2=P2Q1.于是Q1P2=P2Q1=（I-Q2）（IP1）=I-P1-Q2.又由定理1可知，P2Q1為沿著V1⊕W2到W1∩V2的投影.而P1+Q2=I-P2Q1.因此P2-P1=I-（P1+Q2）為沿著V1⊕W2到W1∩V2的投影.

（2）?（1）：因為P2-P1為沿著V1⊕W2到W1∩V2的投影，所以P1P2=P2P1=P1.由此得P（1I-Q2）=（IQ2）P1=P1，即P1Q2=Q2P1=0.類似于（1）?（2）的證明，由定理1得P1Q2=Q2P1?Q1P2=P2Q1，Q1P2=P2Q1= I-P1-Q2，P2Q1為沿著V1⊕W2到W1∩V2的投影.因此，P1+Q2=I-P2Q1為沿著W1∩V2到V1⊕W2的投影.

對于（1），因為P1Q2=Q2P1=0，由P1Q2=0得R（Q2）?N（P1），即W2?W1.由Q2P1=0得R（P1）?N（Q2），即V1?V2.

對于（2），由P1P2=P1?P（1I-P2）=0?R（I-P2）?N（P1）?N（P2）?N（P1），得W2?W1.由P2P1=P1?（IP2）P1=0?R（P1）?N（I-P2）?R（P1）?R（P2），得V1?V2.

類似推論2，可得推論3～推論5.

推論3下列結論是等價的：

（1）P1+P2為沿著空間W1∩W2到空間V1⊕V2的投影.

（2）Q2-P1為沿著空間V1⊕V2到空間W1∩W2的投影.

此時，V1?W2，V2?W1.

推論4下列結論是等價的：

（1）Q1+Q2為沿著空間V1∩V2到空間W1⊕W2的投影.

（2）P2-Q1為沿著空間W1⊕W2到空間V1∩V2的投影.

此時，W2?V1，W1?V2.

推論5下列結論是等價的：

（1）Q1+P2為沿著空間V1∩W2到空間W1⊕V2的投影.

（2）Q2-Q1為沿著空間W1⊕V2到空間V1∩W2的投影.

此時，W1?W2，V2?V1.

定理2在定理1的條件下，下列結論是等價的：

證明僅證P1P2=P2P1的情形.其他3種情形類似可證.

（1）?（2）：由（P1P2）2=P1P2知P1P2P1P2=P1P2.將P2=I-Q2代入上式，得P1（I-Q2）P1（I-Q2）=P1（IQ2），即 P1Q2P1Q2=P1Q2P1.由定理 1的（2），得P1Q2P1Q2=Q2P21.注意到P21=P1，Q2P1=P1Q2.因此（P1Q2）2=P1Q2.

（2）?（3）：由（P1Q2）2=P1Q2知P1Q2P1Q2=P1Q2.注意到Q2=I-P2，P1=I-Q1，于是（I-Q1）（I-P2）（IQ1）（I-P2）=（I-Q1）（I-P2）.化簡得Q1P2Q1P2= Q21P2.注意到Q21=Q1.因此（Q1P2）2=Q1P2.

（3）?（4）：由（Q1P2）2=Q1P2知Q1P2Q1P2=Q1P2.注意到P2=I-Q2，于是Q1（I-Q2）Q1（I-Q2）=Q1（IQ2）.化簡得Q1Q2Q1Q2=Q1Q2Q1.由定理1的（4），得（Q1Q2）2=Q1Q2.

（4）?（1）：由（Q1Q2）2=Q1Q2知Q1Q2Q1Q2=Q1Q2.注意到Q1=I-P1，Q2=I-P2，于是（I-P1）（I-P2）（IP1）（I-P2）=（I-P1）（I-P2）.化簡得P1P2P1P2= P1P2P1.由題設有P1P2=P2P1及P21=P1，可得（P1P2）2= P1P2.

定理3設En=V1⊕W1=V2⊕W2=V3⊕W3，則下列結論是等價的：

（1）若P1P2=P2P1，P1P3=P3P1，P2P3=P3P2，則P1P2P3為沿著W1+W2+W3到V1∩V2∩V3的投影.

（2）若P1P2=P2P1，P1Q3=Q3P1，P2Q3=Q3P2，則P1P2Q3為沿著W1+W2+V3到V1∩V2∩W3的投影.

（3）若P1Q2=Q2P1，P1Q3=Q3P1，Q2Q3=Q3Q2，則P1Q2Q3為沿著W1+V2+V3到V1∩W2∩W3的投影.

（4）若Q1Q2=Q2Q1，Q1Q3=Q3Q1，Q2Q3=Q3Q2，則Q1Q2Q3為沿著V1+V2+V3到W1∩W2∩W3的投影.

證明證法類似于引理3.

定理4若PiPj=PjPi=0，i，j=1，2，3，則P1+ P2+P3為沿著W1∩W2∩W3到V1⊕V2⊕V3的投影.此時，V2、V3?W1；V1、V3?W2；V1、V2?W3.

證明對任意x∈（V1⊕V2⊕V3），有分解x=x1+ x2+x3，其中：xi∈Vi（i=1，2，3）.注意到P1x2=P1P2x= 0，同理可得P1x3=0，P2x1=0，P2x3=0，P3x1=0，P3x2= 0.于是（P1+P2+P3）x=（P1+P2+P3）（x1+x2+x3）= P1x1+P2x2+P3x3=x1+x2+x3=x.由PiPj=PjPi=0，顯然有P1=P1（I-P2-P3），P2=P2（I-P1-P3），P3= P3（I-P1-P2）.對任意x∈（W1∩W2∩W3），有（P1+ P2+P3）x=P1（I-P2-P3）x+P2（I-P1-P3）x+P3（IP1-P2）x=0.于是R（P1+P2+P3）=V1⊕V2⊕V3，N（P1+P2+P3）=W1∩W2∩W3.因此P1+P2+P3為沿著W1∩W2∩W3到V1⊕V2⊕V3的投影.

由P1P2=0?R（P2）?N（P1），即得V2?W1.由P2P1= 0?R（P1）?N（P2），即得V1?W2.同理，P1P3=0?V3?W1；P3P1=0?V1?W3；P2P3=0?V3?W2；P3P2=0?V2?W3.因此有V2、V3?W1，V1、V3?W2，V1、V2?W3.

類似定理4可得推論6.

推論6（1）若PiPj=PjPi=0，i，j=1，2，PiQ3= Q3Pi=0，則P1+P2+Q3為沿著W1∩W2∩V3到V1⊕V2⊕W3的投影.此時，V2、W3?W1，V1、W3?W2，V1、V2?V3.

（2）若QiQj=QjQi=0，i，j=2，3，P1Qi=QiP1=0，則P1+Q2+Q3為沿著W1∩V2∩V3到V1⊕W2⊕W3的投影.此時，V1、W3?W2，V2、W2?V3，W2?W1，W3?V2.

（3）若QiQj=QjQi=0，i，j=1，2，3，則Q1+Q2+Q3為沿著V1∩V2∩V3到W1⊕W2⊕W3的投影.此時，W2、W3?V1，W1、W3?V2，W1、W2?V3.

定理5在定理3的條件下，下列結論是等價的：

證明證法類似于定理2.

設Pk為沿著空間Wk到空間Vk的投影，根據斜投影的定義，Qk為沿著空間Vk到空間Wk的投影.

推論7設En=Vi⊕Wi，i=1，2，…，k，k≤n，則下列結論是等價的：

（1）若PiPj=PjPi，則P1P2…Pk為沿著W1+W2+ …+Wk到V1∩V2∩…∩Vk的投影.

（2）若PiPj=PjPi，PiQk=QkPi，則P1P2…Pk-1Qk為沿著W1+W2+…+Wk-1+Vk到V1∩V2∩…∩Vk-1∩Wk的投影.

（3）若P1Qj=QjP1，QiQj=QjQi，則P1Q2…Qk為沿著W1+V2+…+Vk到V1∩W2∩…∩Wk的投影.

（4）若QiQj=QjQi，則Q1Q2…Qk為沿著V1+V2+ …+Vk到W1∩W2∩…∩Wk的投影.

推論8設En=Vi⊕Wi，i=1，2，…，k，k≤n，且PiPj=PjPi=0，i，j=1，2，…，k，則P1+P2+…+Pk為沿著W1∩W2∩…∩Wk到V1⊕V2⊕…⊕Vk的投影.

定理6在推論7的條件下，下列結論是等價的：

參考文獻：

［1］張欽宇，曹斌，王健，等.基于斜投影的極化濾波技術［J］.中國科學：信息科學，2010，40（1）：91-101. ZHANG Q Y，CAO B，WANG J，et al.Polarization filtering based on oblique projection［J］.Science China：Information Sciences，2010，40 （1）：91-101（in Chinese）.

［2］姚志英，曹海青.一種基于投影算子的二值圖像處理算法［J］.計算機系統應用，2013，22（1）：95-98. YAO Z Y，CAO H Q.Binary image processing algorithm based on projection operator［J］.Computer Systems Applications，2013，22（1）：95-98（in Chinese）.

［3］田鵬武，康榮宗，于宏毅.基于斜投影算子的壓縮域濾波法［J］.北京郵電大學學報，2012，35（3）：108-111. TIAN P W，KANG R Z，YU H Y.A compressive-domain filtering method based on oblique projector［J］.Journal of Beijing University of Posts and Telecommunications，2012，35（3）：108-111（in Chinese）.

［4］陳永林.廣義逆矩陣的理論與方法［M］.南京：南京師范大學出版社，2005. CHEN Y L.Theory and Method of Generalized Inverse Matrix［M］.Nanjing：Nanjing Normal University Press，2005（in Chinese）.

［5］何旭初，孫文瑜.廣義逆矩陣引論［M］.南京：江蘇科學技術出版社，1990. HE X C，SUN W Y.Introduction of Generalized Inverse Matrix［M］. Nanjing：Jiangsu Science and Technology Press，1990（in Chinese）.

［6］RAO C R，MITRA S K.Generalized Inverses of Matrices and Its Applications［M］.New York：Wiley，1971.

［7］TAKANE Y，YANAI H.On oblique projectors［J］.Linear Algebra Appl，1999（289）：297-310.

［8］GROB J，TRENKLER G.On the product of oblique projectors［J］.Linear Multilinear Algebra，1998（44）：247-259.

［9］CORACHG，MAESTRIPIERIA.Weightedgeneralizedinverses，oblique projections and least squares problems［J］.Numer Funct Anal Optim，2005，26（6）：659-673.

［10］CORACH G，MAESTRIPIERI A，STOJANOFF D.Schur complements and oblique projections［J］.Acta Sci Math，2001，67：439-459.

［11］CORACH G，MAESTRIPIERI A，STOJANOFF D.Generalized Schur complements and oblique projections［J］.Linear Algebra and Appl，2002，341：259-272.

［12］ANDRUCHOW E，CORACH G，STOJANOFF D.Geometry of oblique projections［J］.Studia Math，1999，137：61-79.

［13］BEN-ISRAEL A，GREVILLE T N E.Generalized Inverses：Theory and Applications［M］.2nd ed.New York：Springer，2003.

（責任編校馬新光）

第一作者：周玉興（1973—），男，講師.主要從事數值代數和矩陣分析方面的研究．

文章編號：1671-1114（2016）01-0012-02

中圖分類號：O153.3

文獻標志碼：A

收稿日期：2015-01-25

基金項目：國家自然科學基金資助項目（11161004）；廣西自然科學基金資助項目（2013GXNSFAA019008）.

Some properties of oblique projection product

ZHOU Yuxing1，HUANG Jingpin2，LIU Xiaoji2，TU Huonian3
（1.College of Shiyuan，Guangxi Teachers Education University，Nanning 530226，China；
2.College of Science，Guangxi University for Nationalities，Nanning 530006，China；
3.College of Information and Statistics，Guangxi University of Finance and Economics，Nanning 530003，China）

Abstract：According to the definition and properties of oblique projection，and combining the space direct sum decomposition，the properties of a product of two oblique projection are studied，and some equivalent propositions are given.The similar results of product of three or multiple oblique projection are also given.

Keywords：product of oblique projection；direct sum decomposition；oblique projection operator；projection matrix