淺談中職數學中用數形結合求概率

曾欽

【摘要】隨著中職教學改革不斷深入，尤其在中職數學的教育方面，本著適宜為主、夠用為度的教學原則調整了相應的教學方式和教學任務，特別是在概率教學方面采用了數形結合的教學方式來加強學生對概率的理解能力和解算能力，對中職學生提高數學的學習熱情有著非常重要的積極作用。本文對數形結合思想的優點進行了一定的分析，同時對數形結合方法應用于概率教學的具體情況進行了針對性闡述。

【關鍵詞】中職數學 數形結合 概率

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）19-0086-02

1.前言

長期以來，如何提高我國中職數學教學質量一直是中職數學教師關注的問題，在中職數學的實際教學過程中囊括了諸多解題思想，主要包含了歸化思想、分類討論思想、數形結合思想等，其中，數形結合思想由于具有一定的形象性、直觀性等特點，被廣泛應用于抽象化的教學內容中。

2.數形結合思想的優點分析

第一，具備一定的變通性。數形結合實質上就是數與行相結合靈活運用于實際數學教學過程中，特別是具有一定難度的函數問題、幾何問題以及概率問題，數與形之間的靈活轉變改變了以往數學解題枯燥單調的缺點，使得解題過程更富有趣味性，提高了學生的解題興趣。

第二，具備一定的簡化性。在實際解題過程中，通過適宜地運用數形結合思想能夠有效地將復雜題型簡單化，促使抽象問題具體化，這對減少解題難度，提高學生解題效率有著至關重要的積極作用。

第三，具備一定的發散性。數形結合思想從表層來看，是數與形的有效結合，但從更深層面來看，實質體現了思維上的邏輯與形象的有效結合，在思維方面有著一定的發散性，在數形結合的實際運用中，能夠很好地增強學生自身發散性思維的有效發展。

3.數形結合思想在概率教學中的應用

概率作為中職數學的主體內容之一，與現實生活的關系極為密切，但其內容抽象，不容易理解，特別是對于初學者來說很難掌握。如果將數形結合思想適當地應用到概率中，可使復雜的問題簡單化，輕松地解決問題。

3.1平面直角坐標系在求解概率問題上的應用

通常情況下，對于幾何概型來說，可以將平面直角坐標系作為輔助手段來求解概率問題。具體表現如下：

例1：在長度為1的線段上任意取非端點的兩點，將線段分成三段，求這三段線能夠構成一個三角形的概率？

分析：假設其中任意兩段線的長度為a、b，第三段線的長度為1-（a+b），由題意得0

解：設其中任意兩段線的長度為a、b，第三段線的長度為1-（a+b），由題意可得0

例2：甲、乙兩人打算于19時到20時之間在學校門口見面，同時約定好先到的一方要等候對方15分鐘，若15分鐘過后對方還沒來就可以離開，則兩人能夠碰面的概率是多少？

解析：以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達學校所需的時間，則兩人能夠碰面的充要條件是|x-y|≤15，如圖2所示。（x，y）存在的全部可能結果由圖2中所示的邊長為60的正方形區域表示，能夠碰面的時間由圖2中的陰影部分表示， 將“兩人能碰面”標記為事件A，所以，兩人見面的概率P（A）= = 。

通常情況下，兩個符合條件的獨立事件若能夠采用二元關系式來表達，則這一類的概率題大部分能夠采用此方法，那就是以兩個獨立事件的結果當作平面直角坐標系的橫縱坐標， 兩個獨立事件滿足的條件如能用二元關系式來表達， 發生的概率大多能用類似的方法， 即用兩個獨立事件的結果（ 數字） 分別作為坐標系的橫、縱坐標， 其坐標上的點所構成的有序數對所標記的點對應整個事件結果的所有可能，標出可能區域及滿足某條件區域，因為全部結果都是等可能發生的，所以所求概率即是區域間的量比值。

3.2樹形圖在求解概率問題上的應用

一般來說，針對超過兩步的隨機事件發生概率，采用樹形圖來求解事件的發生概率。畫樹形圖的重點在于層數的確定以及每層分叉個數的確定。具體表現如下：

例3：用紅、黃、藍三種不同顏色給3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，分別求三個矩形顏色均相同和顏色均不同時的概率。

解析：由樹形圖（用R，Y，G分別代表三種不同的顏色）知：

在該題中共有27個基本事件，由于對3個矩形進行涂顏色時，顏色是隨機選擇的，因此27個基本事件是等可能事件。

（1）將“3個矩形顏色均相同”標記為事件A。由圖3可知，事件A中含有的基本事件有3個，故P（A）= = 。

（2）將“3個矩形顏色均不同”標記為事件B。由圖3知，事件B中含有的基本事件有6個，故P（B） = 。

例4：三人傳球游戲，每人均等可能地傳給另兩人，不存在自傳現象，如果按照A發球開始算，求經過4次傳球后回到A中的概率？

分析：由于這是一個實際生活問題，若僅憑單純想象，一般解題是沒有頭緒的，所以要借助形象的樹形圖來輔助思考和解題。

解：將三人分別標記為A、B、C，因此4次傳球全部可能可采取樹形圖一一列出，如圖4所示。每個分支表示一種傳球方案，基本事件一共為16，4次傳球后回到A中的事件數為6，因此P= = 。

由上述例題可知，以樹形圖作輔助手段來促使具有一定復雜性、難度的概率問題簡易化，提高學生對概率題的整體理解能力，實現有效解題的目的。當然，值得注意的是，學生在解題過程中要按照題目所給的條件和數據正確畫出樹形圖，接著根據樹形圖的直觀形象性解題，給予嚴謹的推理過程。

3.3韋恩圖在求解概率問題上的應用

對于概率論而言，隨機試驗在一定程度上是一個集合，基本事件與集合中的子集一一對應。所以，可采用集合論中的部分記號、術語來表述基本事件之間的運算關系，比如韋恩圖。對基本事件相關概率問題也可采用韋恩圖來輔助理解，從而將抽象問題具體化、復雜問題簡易化。

例5：任意安排甲、乙、丙三人在3天假日中輪流值班一天，求甲排在乙之前的概率？

解析：由題意知，甲、乙、丙三人在3天假日中的值班順序數即為3個不同的元素在3個不同位置上的排列數共有A 種，具體表現如圖5的韋恩圖所示。

在以上6種事件結果中，甲排在乙之前的事件結果有3種，故其概率為P= = 。

4.結語

數形結合方法實質上就是以解決實際數學教學和解題過程中出現的抽象難題為目的，以相應的準確性為原則，將數與形相結合并靈活運用于實際數學教學和解題過程中。一方面，數與形之間的靈活轉變改變了以往數學解題枯燥單調的缺點，促使抽象化的問題具體化、復雜化的問題簡易化，提高學生解題的熱情。另一方面，數形結合充分發揮了數和形的雙重優越性，且以數形結合方式作為解題的輔助手段，利用其思想的變通性、簡化性、發散性等特點來解決具有一定難度的、復雜的、抽象化的數學問題，特別是概率問題，這對于增強學生的解題能力、提高學生的解題效率以及促進學生發散性思維全面發展有著至關重要的積極影響。

參考文獻：

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