大學(xué)物理教材及教學(xué)應(yīng)重視剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量與角速度的方向關(guān)系

周雨青（東南大學(xué)物理系，江蘇南京 211189）

大學(xué)物理教材及教學(xué)應(yīng)重視剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量與角速度的方向關(guān)系

周雨青
（東南大學(xué)物理系，江蘇南京 211189）

大學(xué)物理教材及教學(xué)在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一章中，往往不太重視剛體總角動(dòng)量與角速度的關(guān)系，而只關(guān)注于沿軸向的角動(dòng)量，有時(shí)甚至出現(xiàn)L=Jω這種容易誤解的表述形式.實(shí)際上，一般情況下剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量與角速度方向不相同，且剛體勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受變外力矩作用.本文首先從理論層面上給出角動(dòng)量與角速度方向不一致的一般性證明，并給出方向相同的兩種特殊情況，其次用一個(gè)實(shí)例闡述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體軸受到垂直于軸向的變力矩作用，最后將特例所得結(jié)論推廣至一般剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，從而闡明重視兩者方向關(guān)系的必要性.

剛體；定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；角動(dòng)量；角速度；方向；變力矩

大學(xué)物理教材及教學(xué)一般不重視剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的總角動(dòng)量與角速度的關(guān)系——即便是提到［1］也沒(méi)有深入討論其對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的影響是什么.可能的原因是，第一，只有軸向角動(dòng)量才是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的主體；第二，教學(xué)要求的難度和教學(xué)時(shí)數(shù)的有限對(duì)此問(wèn)題的闡述帶來(lái)的限制；第三，其他.可是正因如此教材以及教學(xué)中往往忽視了這兩者的關(guān)系，甚至有些教材［2，3］在描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一章中會(huì)出現(xiàn)L=Jω的公式，這容易造成定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量與角速度方向一致和勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不受外力矩作用的模糊結(jié)論.這個(gè)結(jié)論源于我們的大學(xué)物理教材通常在研究剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，選取了一個(gè)垂直于轉(zhuǎn)軸的xy參考平面［2］，并認(rèn)為“這個(gè)參考平面內(nèi)的質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)情況可以代表整個(gè)剛體的各質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)情況”，由于在這個(gè)參考面內(nèi)的剛體質(zhì)元只有相對(duì)于轉(zhuǎn)軸方向的角動(dòng)量，從而當(dāng)推廣至整個(gè)剛體，且又沒(méi)有特別說(shuō)明，由此產(chǎn)生L=Jω的誤解，正是這個(gè)簡(jiǎn)化掩蓋了剛體角動(dòng)量與角速度方向不一致的結(jié)果.

1　剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量與角速度方向不相同的一般性證明

在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上選一xy面，即參考面，轉(zhuǎn)軸為z軸，如圖1所示.

圖1　定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體示意圖

由質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定義L=r×m v，以及質(zhì)點(diǎn)速度與角速度關(guān)系v=ω×r和ω=ωk可知，剛體上任意一點(diǎn)的質(zhì)量元的角動(dòng)量為考慮到r2=x2+y2+z2，r=x i+y j+z k，代入上式得

對(duì)式（1）積分可得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量為

其J即為剛體相對(duì)于轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由式（2）可見(jiàn)，一般的剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量有兩個(gè)分量，一個(gè)是沿轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向，與角速度方向一致.另一個(gè)在x y平面內(nèi)，方向隨剛體轉(zhuǎn)動(dòng)而變化.

2　兩種特例

（1）當(dāng)剛體恰好就是參考面的“薄剛體”z=0時(shí)，式（2）變?yōu)?/p>

我們的教材往往就是從對(duì)參考面得出的這個(gè)結(jié)論，直接推廣到了整個(gè)剛體.

（2）當(dāng)剛體具有z軸對(duì)稱，且取z軸為轉(zhuǎn)動(dòng)軸時(shí)，式（2）中的第二項(xiàng)積分為零，則式（2）也變?yōu)槭剑?）.

除上述兩種情況之外，一般剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度都不與角速度方向相同.因此大學(xué)物理教材上不宜將角動(dòng)量與角速度之間的關(guān)系寫作式（2）的形式，那樣容易產(chǎn)生極大的誤解.最好寫作

以明示剛體角動(dòng)量的z軸分量.那么，大學(xué)物理教學(xué)或教材中有必要說(shuō)明式（2）的必要性嗎？

3　明示剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量與角速度方向不一致的必要性

首先，這兩者是不同物理量，方向問(wèn)題本就應(yīng)該明確，且在大學(xué)物理層面上說(shuō)清這個(gè)問(wèn)題并不復(fù)雜，如式（2）的推導(dǎo)過(guò)程.

其次，若對(duì)兩者方向關(guān)系不明示，將引起困惑，我們來(lái)看下面一個(gè)例子：

將長(zhǎng)為R、質(zhì)量可忽略的輕質(zhì)桿連同質(zhì)量為m的小球固定于豎直輕質(zhì)軸上，構(gòu)成一簡(jiǎn)單剛體，此剛體繞豎直軸做勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)固定豎直軸的兩軸承各自到小球圓軌道平面中心的距離皆為a.選如圖2所示的坐標(biāo)系，求此剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量以及所受的外力矩.

圖2　繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的桿

此例實(shí)際上就是一個(gè)“薄剛體”，但即便如此，若參考面并不取在“薄剛體”面內(nèi)，角動(dòng)量仍不是式（3）形式.

該問(wèn)題的前一解似乎非常簡(jiǎn)單，無(wú)論是正確理解定軸剛體角動(dòng)量（式（2）），還是錯(cuò)誤理解（式（3）），都可以得出Lz=Jzω=mR2ω的結(jié)論.但是，對(duì)于后一問(wèn)，如果錯(cuò)誤理解剛體角動(dòng)量只沿z軸方向，即L=Jω，則由于M==0，那么對(duì)求外力矩這一問(wèn)題就會(huì)感到非常困惑——“不就是等于零嗎？”.反之如果知道剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量為式（2），則由于式（2）中的第二項(xiàng)分量是隨剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的，則剛體受到外力矩的作用就一點(diǎn)也不奇怪了.實(shí)際上，在圖2所示的坐標(biāo)系中，由于這個(gè)簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)的質(zhì)量集中在小球——質(zhì)點(diǎn)上，且質(zhì)點(diǎn)在z=a的平面上作半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即式（2）中的坐標(biāo)分別為

且不用計(jì)算積分關(guān)系.則方向沿剛體圓周運(yùn)動(dòng)的切線方向，這個(gè)外力矩只可能來(lái)自兩軸承端在xy面內(nèi)給予剛體的分力和小球所受的重力，見(jiàn)圖3.這個(gè)力矩的作用使小球系統(tǒng)在x y面內(nèi)的角動(dòng)量分量產(chǎn)生轉(zhuǎn)速為ω的進(jìn)動(dòng)，同時(shí)保證剛體的定軸取向不變.所以剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題如果不闡述清楚角動(dòng)量和角速度的方向問(wèn)題，將會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤和困惑.

圖3　軸承分力示意圖

最后，弄清此類問(wèn)題有助于理解大學(xué)物理演示實(shí)驗(yàn)中的若干問(wèn)題，比如手持電筒式駐波演示儀的鋼片振動(dòng)原理、偏心彈簧振子轉(zhuǎn)動(dòng)與振動(dòng)轉(zhuǎn)換演示儀工作原理等.

綜上所述，我們的大學(xué)物理教材和教學(xué)都應(yīng)該，也必須重視剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量與角速度的方向關(guān)系.

4　不同坐標(biāo)系中看待同一問(wèn)題的自洽性

上述范例中，若將坐標(biāo)系取在剛體小球系統(tǒng)平面上，即剛體恰好就在參考平面內(nèi)，滿足特例情況（1）.由于z=0，剛體角動(dòng)量的確為L(zhǎng)=Jω，其中J=mR2.此時(shí)雖然有M==0，但疑惑并沒(méi)解除，因?yàn)楫吘怪亓Φ牧厥敲黠@存在的

在大學(xué)物理教材中這個(gè)與參考面垂直的力往往被認(rèn)為不影響轉(zhuǎn)動(dòng)而忽略的［1：109］，可它實(shí)際上是有物理效應(yīng)的.正因?yàn)檫@個(gè)重力力矩的存在，導(dǎo)致軸承對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸有相互作用，我們可以根據(jù)力矩關(guān)系及其式（5）分別求出軸承O′和O處對(duì)軸的作用力F′和F.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，有

得

以O(shè)′為坐標(biāo)原點(diǎn)（注意，此時(shí)z=-a）時(shí)，有

得

當(dāng)以剛體小球系統(tǒng)平面為xy面時(shí)，由式（7）、（8）計(jì)算兩軸承處的受力對(duì)O″的力矩恰好等于重力的力矩

5　簡(jiǎn)單剛體的應(yīng)用及進(jìn)一步討論

由式（7）或式（8）可見(jiàn)，軸承施力或受力是周期性的，當(dāng)我們?cè)谝粋€(gè)小電動(dòng)機(jī)軸心上引出一個(gè)剛體小球，并將電動(dòng)機(jī)固定在手持電筒式駐波演示儀的鋼片上，電動(dòng)機(jī)以ω勻速帶動(dòng)“偏心”小球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，鋼片就將受到相同周期性的作用力而振動(dòng)，這正是該演示儀重要的振動(dòng)來(lái)源.這恰恰正是由于“偏心”小球的存在使得偏心輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量與角速度方向不同造成的結(jié)果.

若在上述剛體系統(tǒng)中再加上一個(gè)質(zhì)量相同、對(duì)稱于轉(zhuǎn)軸的另一個(gè)小球，構(gòu)成對(duì)稱簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)，則由于總存在（x、-x）和（y、-y）運(yùn)動(dòng)位置，所以依據(jù)式（2）可知，無(wú)論坐標(biāo)原點(diǎn)選在轉(zhuǎn)軸上的哪個(gè)位置，剛體角動(dòng)量皆為L(zhǎng)=J′ω，因而總力矩始終等于零.由于兩邊重力矩相互抵消，所以軸在水平面內(nèi)不受力.這時(shí)的剛體才真正地滿足L= Jω.這是一種動(dòng)平衡狀態(tài)，即使此時(shí)沒(méi)有軸承的存在，轉(zhuǎn)軸的取向也不會(huì)改變.同時(shí)由于質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上，總力矩又始終等于零，則當(dāng)在與小球運(yùn)動(dòng)平面垂直，即平行于轉(zhuǎn)軸方向上所加的任何外力，都將被軸承中出現(xiàn)的力抵消一切效應(yīng).

6　一般結(jié)論和對(duì)教學(xué)的建議

推而廣之，當(dāng)一般剛體的質(zhì)量分布相對(duì)于轉(zhuǎn)軸（z軸）來(lái)說(shuō)對(duì)稱時(shí)，剛體的角動(dòng)量方向與角速度方向嚴(yán)格一致——沿z軸方向，即L=Jω.可以證明上述簡(jiǎn)單對(duì)稱剛體系統(tǒng)的結(jié)論都能在對(duì)稱剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中成立.這種情況下才真正能忽略平行轉(zhuǎn)軸方向的所有力的作用.

大學(xué)物理層面上要特別說(shuō)明上述內(nèi)容的確存在認(rèn)知和要求上的難度，如何在不增加兩難的情況下保證邏輯和系統(tǒng)上的清晰性？我們的建議是，第一，教材在不做大的變動(dòng)下，可在本節(jié)內(nèi)容開(kāi)端首先明確說(shuō)明：“剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量方向一般不與角速度方向相同，以下只討論剛體角動(dòng)量沿定軸方向的分量”.有了這樣的表述，上文提到的“選擇某一參考平面，其中的質(zhì)元運(yùn)動(dòng)情況代表了其他剛體部分的運(yùn)動(dòng)情況”就不會(huì)引起歧義和錯(cuò)誤了，大家都知道是指對(duì)旋轉(zhuǎn)軸而言的.第二，教學(xué)中用偏心馬達(dá)演示定軸轉(zhuǎn)動(dòng)引起振動(dòng)的例子，說(shuō)明角動(dòng)量與轉(zhuǎn)速方向不一致時(shí)引起的后果.這樣學(xué)生盡管沒(méi)有深入了解定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體總角動(dòng)量與角速度的關(guān)系，但也不會(huì)混淆總量與分量的區(qū)別.

［1］ 陸果.基礎(chǔ)物理學(xué)教程（上卷）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［2］ 馬文蔚.物理學(xué)［M］.6版.北京：高等教育出版社，2014.

［3］ 張達(dá)宋，李行一.物理學(xué)基本教程［M］.3版.北京：高等教育出版社，2008.

THE IMPORTANCE OF EMPHASIZING THE RELATIONSHIP BETWEEN ANGULAR MOMENTUM AND ANGULAR VELOCITY IN A RIGID BODY'S ROTATION ABOUT A FIXED AXIS

Zhou Yuqing
（Department of Physics，Southeast University，Nanjing，Jiangsu 211189）

In college physics textbooks and teaching，little emphasis is put on the relationship between the angular momentum and angular velocity of a rigid body when it rotates about a fixed axis.Instead，attention is focused on the projection of the angular momentum along the axis of rotation.Sometimes，we see equations，such asL=Jω，that are quite misleading.In fact，when a rigid body rotates about a fixed axis，its angular momentum and angular velocity generally point in different directions；there is normally a time-varying external torque acting on it even when it is rotating uniformly.Paper first present a general proof of this assertion and indicate two special situations in whichL andωpoint in the same direction.Then，by using a specific example，paper shows that when a rigid body rotates about a fixed axis，there is generally a changing external torque acting on the axis of rotation in a direction perpendicular to the axis.Finally，paper generalize the conclusion drawn from this particular example，and further illustrate the importance of clarifying the relationship between the directions ofL andω.

rigid body；rotation about a fixed axis；angular momentum；angular velocity；direction；time-varying torque

2015-05-25；

2015-10-25

教育部在線教育研究中心在線教育研究基金（全通教育）重點(diǎn)課題，2016ZD312；江蘇省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目（省教育廳），2015JSJG118.

周雨青，男，教授，主要從事大學(xué)物理教育教學(xué)工作，研究方向?yàn)槟蹜B(tài)物理.zhou-yuqing@263.net